1、主講人：左春玲主講人：左春玲E-mail:齊齊哈爾大學(xué)化工學(xué)院化工系齊齊哈爾大學(xué)化工學(xué)院化工系大型稀疏非線性方程組大型稀疏非線性方程組降維求解降維求解線性化后，聯(lián)立求解線性化后，聯(lián)立求解誤差誤差線性化后方程組的解線性化后方程組的解迭代迭代1、線性化方法、線性化方法對(duì)于對(duì)于n維非線性方程組維非線性方程組 F(x) = 0BAxQL1作臺(tái)勞展開可得到牛頓迭代解（下標(biāo)作臺(tái)勞展開可得到牛頓迭代解（下標(biāo)NR）：）：)()(11kkkkNRxFJxx該擬線性方程組的解（用下標(biāo)該擬線性方程組的解（用下標(biāo)QL表示）為：表示）為：用用n維線性方程組逼近維線性方程組逼近 F( x) Ax + B = 0F( x)

2、 Ax + B = 0)()(11kkkkNRxFJxx)()(11kkkkkkNRBxAJxx1111)()()(kQLkkkkkkkkNRxBABxAAxx令令J=A式中式中J為雅可比矩陣：為雅可比矩陣：牛頓迭代具有二階收斂特性。下面方程也具有二階收斂。牛頓迭代具有二階收斂特性。下面方程也具有二階收斂。kkkQLBAx11)(系數(shù)系數(shù)A和和B均是向量均是向量x的函數(shù)。的函數(shù)。從從x的第的第k次近似解次近似解xk可以計(jì)算得到可以計(jì)算得到Jk、F(xk)，從而得到，從而得到Ak和和Bk。將。將Ak和和Bk代入，得到線性方程組。代入，得到線性方程組。過程系統(tǒng)的模型方程組一般由線性方程和非線性方程

3、組過程系統(tǒng)的模型方程組一般由線性方程和非線性方程組成，因而線性化的對(duì)象應(yīng)該是非線性方程。成，因而線性化的對(duì)象應(yīng)該是非線性方程。kkkBxA12、稀疏線性方程組的解法、稀疏線性方程組的解法稀疏非線性方程組稀疏非線性方程組稀疏線性方程組稀疏線性方程組常規(guī)消去法：常規(guī)消去法：不經(jīng)濟(jì)的不經(jīng)濟(jì)的計(jì)算效率低計(jì)算效率低通常采用下列兩方面的技術(shù)通常采用下列兩方面的技術(shù)a.只對(duì)非零元素進(jìn)行計(jì)算只對(duì)非零元素進(jìn)行計(jì)算b.只存儲(chǔ)非零元素只存儲(chǔ)非零元素（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)）（如壓縮存儲(chǔ)技術(shù)）用高斯消去法進(jìn)行消元過程的同時(shí)，會(huì)在原來(lái)零元素處引用高斯消去法進(jìn)行消元過程的同時(shí)，會(huì)在原來(lái)零元素處引入非零元素入非零元素 。填充量：填

4、充量：新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量，填充時(shí)與消元成零的非零新出現(xiàn)的非零元素稱作填充量，填充時(shí)與消元成零的非零元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。元素之差稱作填充增量。填充量與主元選取的次序有關(guān)。高斯消去法高斯消去法就是通過矩陣的行變換達(dá)到消元的目的，從就是通過矩陣的行變換達(dá)到消元的目的，從而將方程組的系數(shù)矩陣由對(duì)稱矩陣變?yōu)槿蔷仃?，最后而將方程組的系數(shù)矩陣由對(duì)稱矩陣變?yōu)槿蔷仃?，最后獲得方程組的解。獲得方程組的解。假定假定a a111100，我們首先保留矩陣的第一行，并利用它來(lái)，我們首先保留矩陣的第一行，并利用它來(lái)消去其余三行中的第一列。消去其余三行中的第一列。 1)1(1ili（

5、其中（其中(1)和和i分別為矩陣中分別為矩陣中(1)行和行和i行），得行），得第一行與第一列非零元素間的交叉點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)新的填充量第一行與第一列非零元素間的交叉點(diǎn)會(huì)出現(xiàn)新的填充量 在求解大型稀疏線性方程組時(shí)，應(yīng)盡可能在求解大型稀疏線性方程組時(shí)，應(yīng)盡可能減少填充減少填充，否，否則會(huì)使則會(huì)使計(jì)算效率下降計(jì)算效率下降。 減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度是矛盾的減少填充與提高數(shù)值穩(wěn)定性和計(jì)算精度是矛盾的。如，。如，為減少填充，需把為減少填充，需把55作為主元素，但如果它的絕對(duì)值很小，作為主元素，但如果它的絕對(duì)值很小，會(huì)引入較大的誤差，使計(jì)算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變差。會(huì)引入較大的誤差，使計(jì)算精度、數(shù)值穩(wěn)定性變

6、差。 通常把絕對(duì)值最大的元素作為通常把絕對(duì)值最大的元素作為主元主元，進(jìn)行消元。目，進(jìn)行消元。目的是提高計(jì)算精度。但如果這樣選取的主元導(dǎo)致較大的的是提高計(jì)算精度。但如果這樣選取的主元導(dǎo)致較大的填充，將引起計(jì)算效率的下降。填充，將引起計(jì)算效率的下降。往往選擇一個(gè)絕對(duì)值不往往選擇一個(gè)絕對(duì)值不是最大，且不會(huì)引起填充量過大的元素作為主元是最大，且不會(huì)引起填充量過大的元素作為主元。主元容限：主元容限： 人為規(guī)定一個(gè)界限人為規(guī)定一個(gè)界限0。當(dāng)矩陣元素的絕對(duì)值大于。當(dāng)矩陣元素的絕對(duì)值大于，該元素就具備了作為主元的資格，若它引入的填充，該元素就具備了作為主元的資格，若它引入的填充量也不是很大，就可定為主元。這個(gè)

7、界限稱為量也不是很大，就可定為主元。這個(gè)界限稱為主元容限主元容限。經(jīng)驗(yàn)給定，但應(yīng)滿足提高計(jì)算精度和減少填充量的統(tǒng)一經(jīng)驗(yàn)給定，但應(yīng)滿足提高計(jì)算精度和減少填充量的統(tǒng)一要求。要求。 該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出來(lái)的一種求解該算法是在全元消去法的基礎(chǔ)上派生出來(lái)的一種求解稀疏線性方程組的算法。稀疏線性方程組的算法。其核心是避免填充，同時(shí)保證計(jì)其核心是避免填充，同時(shí)保證計(jì)算的精度。算的精度。b.橫列（橫列（rank）：未用過的方程中包含的未用過的變量數(shù)；：未用過的方程中包含的未用過的變量數(shù)；Bending-Hutchison算法：算法：a.用過的用過的：凡與被選作主元的元素有關(guān)的方程和變量都稱：凡與

8、被選作主元的元素有關(guān)的方程和變量都稱作作“用過的用過的”，反之為，反之為“未用過的未用過的”；c.縱列（縱列（file）：未用過的變量在未用過的方程中出現(xiàn)的次數(shù)。：未用過的變量在未用過的方程中出現(xiàn)的次數(shù)。定義：定義： 如果橫列最小的方程不止一個(gè)，則選擇絕對(duì)值最大的如果橫列最小的方程不止一個(gè)，則選擇絕對(duì)值最大的 元素作為主元；元素作為主元；挑選主元素的過程：挑選主元素的過程： 選擇縱列最小的變量，如不止一個(gè)，任選其一；選擇縱列最小的變量，如不止一個(gè)，任選其一； 在與此變量有關(guān)的方程中，選擇橫列最小的方程所對(duì)在與此變量有關(guān)的方程中，選擇橫列最小的方程所對(duì) 應(yīng)的元素作為主元；應(yīng)的元素作為主元； 上述

9、過程中，步驟上述過程中，步驟和和都是為了避免填充。而都是為了避免填充。而步驟步驟和和是為了保證計(jì)算精度和系數(shù)矩陣非奇異。是為了保證計(jì)算精度和系數(shù)矩陣非奇異。 檢驗(yàn)選出主元的絕對(duì)值是否大于用戶給出的主元容限。檢驗(yàn)選出主元的絕對(duì)值是否大于用戶給出的主元容限。不大于，則返回不大于，則返回,否則進(jìn)行下一步；否則進(jìn)行下一步； 用這樣選擇出的主元進(jìn)行常規(guī)的高斯消元，然后返回用這樣選擇出的主元進(jìn)行常規(guī)的高斯消元，然后返回。 列列2和列和列8只含一個(gè)元素，即縱列只含一個(gè)元素，即縱列=1。這兩個(gè)元素分別為方。這兩個(gè)元素分別為方程程1和和8的主元。這兩列中無(wú)其它元素，不用執(zhí)行消元過程。的主元。這兩列中無(wú)其它元素，

10、不用執(zhí)行消元過程。 第第3，5，7，9列均含兩個(gè)非零元素，即縱列列均含兩個(gè)非零元素，即縱列=2。選列。選列3，非，非零元素存在于方程零元素存在于方程2和和9中，方程中，方程2橫列橫列=2，方程，方程9橫列橫列=3，選方，選方程程2中的該元素為主元。中的該元素為主元。 消去方程消去方程9中第中第3列的元素，這將導(dǎo)致方程列的元素，這將導(dǎo)致方程9中的第一列產(chǎn)生中的第一列產(chǎn)生一個(gè)非零元素。一個(gè)非零元素。 反復(fù)進(jìn)行上述過程，然后進(jìn)行回代過程。反復(fù)進(jìn)行上述過程，然后進(jìn)行回代過程。完成主元選擇后的增廣矩陣完成主元選擇后的增廣矩陣回代后得到的變量值回代后得到的變量值方程的主元素選擇過程方程的主元素選擇過程兩種

11、系統(tǒng)模擬方法的比較兩種系統(tǒng)模擬方法的比較Comparison of two system simulation methods 聯(lián)立模塊法與序貫?zāi)K法的共同之處在于聯(lián)立模塊法與序貫?zāi)K法的共同之處在于面向模塊面向模塊；與面向方程；與面向方程法共同法共同在于聯(lián)立求解過程系統(tǒng)模型方程在于聯(lián)立求解過程系統(tǒng)模型方程。內(nèi)容內(nèi)容序貫?zāi)K法序貫?zāi)K法面向方程法面向方程法占用存儲(chǔ)空間占用存儲(chǔ)空間小小大大迭代循環(huán)圈迭代循環(huán)圈多多少少計(jì)算效率計(jì)算效率低低高高指定設(shè)計(jì)變量指定設(shè)計(jì)變量不靈活不靈活靈活靈活對(duì)初值要求對(duì)初值要求低低高高計(jì)算錯(cuò)誤診斷計(jì)算錯(cuò)誤診斷易易難難編制、修改程序編制、修改程序 較易較易較難較難2.4.

12、1 聯(lián)立模塊法的原理Principle of Simutaneous modular method由于簡(jiǎn)化模型是嚴(yán)格模塊的近似，所以計(jì)算結(jié)果往往不是由于簡(jiǎn)化模型是嚴(yán)格模塊的近似，所以計(jì)算結(jié)果往往不是問題的解，必須用嚴(yán)格模塊對(duì)這組解進(jìn)行計(jì)算，修正簡(jiǎn)化模問題的解，必須用嚴(yán)格模塊對(duì)這組解進(jìn)行計(jì)算，修正簡(jiǎn)化模型的系數(shù)。重復(fù)這一過程，直到收斂到原問題的解。型的系數(shù)。重復(fù)這一過程，直到收斂到原問題的解。嚴(yán)格模塊嚴(yán)格模塊12n簡(jiǎn)化模型方程簡(jiǎn)化模型方程聯(lián)立解聯(lián)立解狀態(tài)變量狀態(tài)變量圖圖2-24 聯(lián)立模塊法聯(lián)立模塊法.2.4.1 聯(lián)立模塊法的原理Principle of Simutaneous modular m

13、ethod 把序貫?zāi)K法中最費(fèi)時(shí)、收斂最慢的回路迭代計(jì)算，把序貫?zāi)K法中最費(fèi)時(shí)、收斂最慢的回路迭代計(jì)算，用由用由簡(jiǎn)化模型簡(jiǎn)化模型組成的方程組的聯(lián)解而代之，使計(jì)算加速，尤組成的方程組的聯(lián)解而代之，使計(jì)算加速，尤其是處理有多重再循環(huán)流或有設(shè)計(jì)規(guī)定要求的問題時(shí)具有較其是處理有多重再循環(huán)流或有設(shè)計(jì)規(guī)定要求的問題時(shí)具有較好的收斂行為。因此，好的收斂行為。因此，聯(lián)立模塊法計(jì)算效率較高。聯(lián)立模塊法計(jì)算效率較高。特點(diǎn)：特點(diǎn)： 能能利用大量原有的豐富的序貫?zāi)K軟件利用大量原有的豐富的序貫?zāi)K軟件?？稍谠小？稍谠行蜇?zāi)K模擬器上修改得到聯(lián)立模塊模擬器。序貫?zāi)K模擬器上修改得到聯(lián)立模塊模擬器。 因單元模塊數(shù)比之

14、過程方程數(shù)要少得多，所以簡(jiǎn)化因單元模塊數(shù)比之過程方程數(shù)要少得多，所以簡(jiǎn)化模型方程組的維數(shù)比面向方程法也小得多，模型方程組的維數(shù)比面向方程法也小得多，求解起來(lái)也容易求解起來(lái)也容易得多。得多。2.4.1 聯(lián)立模塊法的原理Principle of Simutaneous modular method優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)： 計(jì)算效率較高；計(jì)算效率較高； 對(duì)初值要求較低；對(duì)初值要求較低； 迭代循環(huán)圈較少；迭代循環(huán)圈較少； 計(jì)算出錯(cuò)時(shí)診斷較容易；計(jì)算出錯(cuò)時(shí)診斷較容易； 能利用大量原有的軟件。能利用大量原有的軟件。 2.4.1 聯(lián)立模塊法的原理Principle of Simutaneous modular meth

15、od2.4.1 聯(lián)立模塊法的原理Principle of Simutaneous modular method初值的選取方法：初值的選取方法：（1） 猜值；猜值；（2）用序貫?zāi)K法迭代求解幾次，得到個(gè)點(diǎn)的初值。）用序貫?zāi)K法迭代求解幾次，得到個(gè)點(diǎn)的初值。聯(lián)立模塊法的計(jì)算效率主要依賴于聯(lián)立模塊法的計(jì)算效率主要依賴于簡(jiǎn)化模型的形式簡(jiǎn)化模型的形式。2.4.2 建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式Establishment of tearing mode for simple model （1）以過程單元為基本單位建立簡(jiǎn)化模型；）以過程單元為基本單位建立簡(jiǎn)化模型； （2）以回路為基本單位建立簡(jiǎn)

16、化模型。）以回路為基本單位建立簡(jiǎn)化模型。 簡(jiǎn)化模型對(duì)象范圍的劃分：簡(jiǎn)化模型對(duì)象范圍的劃分：這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對(duì)應(yīng)：這兩種劃分策略分別與兩種切斷方式相對(duì)應(yīng)：（1）聯(lián)結(jié)物流全切斷方式；）聯(lián)結(jié)物流全切斷方式； （2）回路切斷方式。）回路切斷方式。2.4.2 建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式Establishment of tearing mode for simple model聯(lián)結(jié)物流全切斷方式：聯(lián)結(jié)物流全切斷方式： 這種方式相當(dāng)于把所有過程單元之間的聯(lián)結(jié)物流全這種方式相當(dāng)于把所有過程單元之間的聯(lián)結(jié)物流全部切斷，形成一系列互相獨(dú)立的過程單元。部切斷，形成一系列互相獨(dú)立的

17、過程單元。x4y4y3y1y2x1x2x32.4.2 建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式Establishment of tearing mode for simple model 流股全切斷方式類似于面向方程法。主要區(qū)別在流股全切斷方式類似于面向方程法。主要區(qū)別在于后者是嚴(yán)格模型方程，變量數(shù)也要大得多。于后者是嚴(yán)格模型方程，變量數(shù)也要大得多。 因此，對(duì)于較大系統(tǒng)，流股全切斷方式建立的簡(jiǎn)因此，對(duì)于較大系統(tǒng)，流股全切斷方式建立的簡(jiǎn)化模型方程數(shù)是很大的?；Ｐ头匠虜?shù)是很大的?；芈非袛喾绞剑夯芈非袛喾绞剑?相當(dāng)于把若干個(gè)單元作為一個(gè)相當(dāng)于把若干個(gè)單元作為一個(gè)“虛擬單元虛擬單元”處理，處理，

18、建立虛擬單元的簡(jiǎn)化模型。建立虛擬單元的簡(jiǎn)化模型。 虛擬單元所包含的各單元間的連接流股變量則不虛擬單元所包含的各單元間的連接流股變量則不出現(xiàn)在簡(jiǎn)化模型中，從而大大降低了簡(jiǎn)化模型的維數(shù)。出現(xiàn)在簡(jiǎn)化模型中，從而大大降低了簡(jiǎn)化模型的維數(shù)。2.4.2 建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式建立簡(jiǎn)化模型的切斷方式Establishment of tearing mode for simple model 通常以循環(huán)回路為一個(gè)虛擬單元，切斷再循環(huán)流通常以循環(huán)回路為一個(gè)虛擬單元，切斷再循環(huán)流股，故稱為回路切斷方式。股，故稱為回路切斷方式。312y=G（x）x虛擬單元xy=G（x）查找甲苯加氫脫烷基過程的合成查找甲苯加氫脫烷基

19、過程的合成 工藝路線及工藝參數(shù)工藝路線及工藝參數(shù)作業(yè)：作業(yè)：化工過程分析的作用化工過程分析的作用傳遞方程傳遞方程Equations of transport相平衡相平衡Phase-equilibria化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)化學(xué)反應(yīng)動(dòng)力學(xué)Chemical kinetics物料衡算物料衡算Material balance能量衡算能量衡算Energy balance適當(dāng)?shù)牟僮鳁l件適當(dāng)?shù)牟僮鳁l件(溫度、壓力）溫度、壓力）1.定態(tài)：不隨時(shí)間變化定態(tài)：不隨時(shí)間變化2.確定未知的定態(tài)條件確定未知的定態(tài)條件下的溫度、壓力和總流下的溫度、壓力和總流率。率。1.動(dòng)態(tài)：隨時(shí)間變化動(dòng)態(tài)：隨時(shí)間變化2.確定動(dòng)態(tài)條件下的操確定動(dòng)

20、態(tài)條件下的操作條件，作為擾動(dòng)和操作條件，作為擾動(dòng)和操作點(diǎn)變化的響應(yīng)。作點(diǎn)變化的響應(yīng)。定態(tài)模擬定態(tài)模擬動(dòng)態(tài)模擬動(dòng)態(tài)模擬基本方案設(shè)計(jì)的基本方案設(shè)計(jì)的工藝流程工藝流程過程合成的任務(wù)過程合成的任務(wù)集成后工藝流程集成后工藝流程早期步驟后不完整早期步驟后不完整工藝流程工藝流程模擬軟件模擬軟件未知壓力未知壓力未知溫度未知溫度未知流率未知流率工藝流程和模擬流程工藝流程和模擬流程Process flowsheets and Simulation flowsheetsS2蒸汽蒸汽過熱爐（器）過熱爐（器）H1新鮮原料新鮮原料精餾塔精餾塔D1S1S3S4S9反應(yīng)器反應(yīng)器R1S5輕餾分輕餾分S7S6閃蒸器閃蒸器F1產(chǎn)物

21、產(chǎn)物S8圖圖4.1 工藝流程圖工藝流程圖物料流和能量流物料流和能量流模擬流程：是一組代表模擬過程單元的計(jì)算機(jī)程序（子程模擬流程：是一組代表模擬過程單元的計(jì)算機(jī)程序（子程序或模型）的模擬單元，和代表模擬單元之間的信息流的序或模型）的模擬單元，和代表模擬單元之間的信息流的曲線。曲線。重點(diǎn)為信息流。重點(diǎn)為信息流。工藝流程和模擬流程工藝流程和模擬流程Process flowsheets and Simulation flowsheetsHEATERH1MIXERM1RSTOICR1FLASH2F1DISTLD1S2S3S4S5S6S7S8S1SOLVEROS9S10圖圖4.2 ASPEN PLUS模擬

22、流程（方框圖）模擬流程（方框圖）工藝流程和模擬流程工藝流程和模擬流程Process flowsheets and Simulation flowsheetsH1M1R1F1D1S2S3S6S9S8S7S4S1S5圖圖4.3 ASPEN PLUS模擬流程（圖標(biāo)）模擬流程（圖標(biāo)）v通過調(diào)用模擬軟件中的模塊（子程序），完成工藝流程通過調(diào)用模擬軟件中的模塊（子程序），完成工藝流程向模擬流程的轉(zhuǎn)化。向模擬流程的轉(zhuǎn)化。計(jì)算順序計(jì)算順序Order of calculation確定最終參數(shù)確定最終參數(shù)加熱器加熱器H1HEATER混合器混合器M1MIXER反應(yīng)器反應(yīng)器R1RSTOIC閃蒸罐閃蒸罐F1FLASH2

23、精餾塔精餾塔D1DISTL甲苯加氫脫烷基過程的合成甲苯加氫脫烷基過程的合成Synthesis of the Toluene Hydrodealkylation Process反應(yīng)部分反應(yīng)部分 Reaction section主反應(yīng)主反應(yīng)C7H8 + H2 C6H6 + CH4副反應(yīng)副反應(yīng) 2C6H6 2C12H10 + H2反應(yīng)器部分、原料和兩股循環(huán)流的條件如圖所示，急冷反應(yīng)器部分、原料和兩股循環(huán)流的條件如圖所示，急冷物流的流率應(yīng)達(dá)到使反應(yīng)器流出物被急冷到物流的流率應(yīng)達(dá)到使反應(yīng)器流出物被急冷到1150 的要的要求。甲苯在反應(yīng)器中轉(zhuǎn)化率為求。甲苯在反應(yīng)器中轉(zhuǎn)化率為75%（mol）。第一步反）。第一步反應(yīng)后物料中苯有應(yīng)后物料中苯有2%（mol）轉(zhuǎn)化為聯(lián)苯。應(yīng)用過程