1、1通信原理2通信原理第第10章章 數(shù)字信號最佳接收數(shù)字信號最佳接收3第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.1數(shù)字信號的統(tǒng)計特性數(shù)字信號的統(tǒng)計特性n以二進制為例研究接收電壓的統(tǒng)計特性。n假設(shè)：通信系統(tǒng)中的噪聲是均值為0的帶限高斯白噪聲，其單邊功率譜密度為n0；并設(shè)發(fā)送的二進制碼元為“0”和“1”，其發(fā)送概率分別為P(0)和P(1)，則有P(0) + P(1) = 1n若此通信系統(tǒng)的基帶截止頻率小于fH，則根據(jù)低通信號抽樣定理，接收噪聲電壓可以用其抽樣值表示，抽樣速率要求不小于其奈奎斯特速率2fH。n設(shè)在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)以2fH的速率抽樣，共得到k個抽樣值：，則有k 2fHTs。4第10章 數(shù)字

2、信號最佳接收n由于每個噪聲電壓抽樣值都是正態(tài)分布的隨機變量，故其一維概率密度可以寫為式中，n 噪聲的標(biāo)準(zhǔn)偏差； n2 噪聲的方差，即噪聲平均功率； i 1，2，k。n設(shè)接收噪聲電壓n(t)的k個抽樣值的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為 222exp21)(nininnf),(21kknnnf5第10章 數(shù)字信號最佳接收n由高斯噪聲的性質(zhì)可知，高斯噪聲的概率分布通過帶限線性系統(tǒng)后仍為高斯分布。所以，帶限高斯白噪聲按奈奎斯特速率抽樣得到的抽樣值之間是互不相關(guān)、互相獨立的。這樣，此k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示為n當(dāng)k 很大時，在一個碼元持續(xù)時間Ts內(nèi)接收的噪聲平均功率可以表示為：或者將上式左端的求和式寫成積

3、分式，則上式變成kiinknkkknnfnfnfnnnf122212121exp21)()()(),(kiisHkiinTfnk1212211kiisHTsnTfdttnTs120221)(16第10章 數(shù)字信號最佳接收n利用上式關(guān)系，并注意到 式中 n0 噪聲單邊功率譜密度則前式的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以改寫為：式中 n = (n1, n2, , nk) k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)噪聲的k個抽樣值。n需要注意，f(n)不是時間函數(shù)，雖然式中有時間函數(shù)n(t)，但是后者在定積分內(nèi)，積分后已經(jīng)與時間變量t無關(guān)。n是一個k維矢量，它可以看作是k 維空間中的一個點。 Hnfn02sTkndttnnf02

4、0)(1exp21)(n)()()(),()(2121kkknfnfnfnnnffn n7第10章 數(shù)字信號最佳接收n在碼元持續(xù)時間Ts、噪聲單邊功率譜密度n0和抽樣數(shù)k（它和系統(tǒng)帶寬有關(guān)）給定后，f(n)僅決定于該碼元期間內(nèi)噪聲的能量：n由于噪聲的隨機性，每個碼元持續(xù)時間內(nèi)噪聲的波形和能量都是不同的，這就使被傳輸?shù)拇a元中有一些會發(fā)生錯誤，而另一些則無錯。sTdttn02)(8第10章 數(shù)字信號最佳接收n設(shè)接收電壓r(t)為信號電壓s(t)和噪聲電壓n(t)之和:r(t) = s(t) + n(t)則在發(fā)送碼元確定之后，接收電壓r(t)的隨機性將完全由噪聲決定，故它仍服從高斯分布，其方差仍為n

5、2，但是均值變?yōu)閟(t)。所以，當(dāng)發(fā)送碼元“0”的信號波形為s0(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為式中 r = s + n k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)接收電壓的k個抽 樣值； s k 維矢量，表示一個碼元內(nèi)信號電壓的k個抽樣值。dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r r9第10章 數(shù)字信號最佳接收n同理，當(dāng)發(fā)送碼元“1“的信號波形為s1(t)時，接收電壓r(t)的k維聯(lián)合概率密度函數(shù)為n順便指出，若通信系統(tǒng)傳輸?shù)氖荕 進制碼元，即可能發(fā)送s1，s2，si，sM之一，則按上述原理不難寫出當(dāng)發(fā)送碼元是si時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為仍需記住，以上三式

6、中的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)不是時間t的函數(shù)，并且是一個標(biāo)量，而r 仍是k維空間中的一個點，是一個矢量。dttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r rdttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r10第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.2 數(shù)字信號的最佳接收數(shù)字信號的最佳接收n“最佳”的準(zhǔn)則：錯誤概率最小n產(chǎn)生錯誤的原因：暫不考慮失真的影響，主要討論在二進制數(shù)字通信系統(tǒng)中如何使噪聲引起的錯誤概率最小。n判決規(guī)則設(shè)在一個二進制通信系統(tǒng)中發(fā)送碼元“1”的概率為P(1)，發(fā)送碼元“0”的概率為P(0)，則總誤碼率Pe等于式中Pe1 = P(0/1) 發(fā)送“1”時，收到

7、“0”的條件概率； Pe0 = P(1/0) 發(fā)送“0”時，收到“1”的條件概率；上面這兩個條件概率稱為錯誤轉(zhuǎn)移概率。01)0() 1 (eeePPPPP11第10章 數(shù)字信號最佳接收按照上述分析，接收端收到的每個碼元持續(xù)時間內(nèi)的電壓可以用一個k 維矢量表示。接收設(shè)備需要對每個接收矢量作判決，判定它是發(fā)送碼元“0”，還是“1”。由接收矢量決定的兩個聯(lián)合概率密度函數(shù)f0(r)和f1(r)的曲線畫在下圖中（在圖中把r 當(dāng)作1維矢量畫出。）：可以將此空間劃分為兩個區(qū)域A0和A1，其邊界是r0 ，并將判決規(guī)則規(guī)定為： 若接收矢量落在區(qū)域A0內(nèi)，則判為發(fā)送碼元是“0”；若接收矢量落在區(qū)域A1內(nèi)，則判為發(fā)

8、送碼元是“1”。A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)12第10章 數(shù)字信號最佳接收顯然，區(qū)域A0和區(qū)域A1是兩個互不相容的區(qū)域。當(dāng)這兩個區(qū)域的邊界r0 確定后，錯誤概率也隨之確定了。這樣，總誤碼率可以寫為式中，P(A0/1)表示發(fā)送“1”時，矢量r落在區(qū)域A0的條件概率 P(A1/0)表示發(fā)送“0”時， 矢量r落在區(qū)域A1的條件概率這兩個條件概率可以寫為：這兩個概率在圖中分別由兩塊陰影面積表示。 A0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe0)() 1/(10AdfAPr rr r1)()0/(

9、01AdfAPr rr r13第10章 數(shù)字信號最佳接收將上兩式代入得到參考上圖可知，上式可以寫為上式表示Pe是r0的函數(shù)。為了求出使Pe最小的判決分界點r0，將上式對r0求導(dǎo) 并令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出最佳分界點r0的條件：)0/()0() 1/() 1 (10APPAPPPe10)()0()() 1 (01AAedfPdfPPr rr rr rr r00)()0()() 1 (01rredfPdfPPr rr rr rr rA0A1rf0(r)f1(r)r0 P(A0/1)P(A1/0)()0()() 1 (00010r rr rr rfPfPPe0)()0()() 1 (0001r rr r

10、fPfP14第10章 數(shù)字信號最佳接收即當(dāng)先驗概率相等時，即P(1) = P(0)時，f0(r0) = f1(r0)，所以最佳分界點位于圖中兩條曲線交點處的r 值上。在判決邊界確定之后，按照接收矢量r 落在區(qū)域A0應(yīng)判為收到的是“0”的判決準(zhǔn)則，這時有：若 則判為“0” ；反之，若則判為“1” 。在發(fā)送“0”和發(fā)送“1”的先驗概率相等時，上兩式的條件簡化為：0)()0()() 1 (0001r rr rfPfP)()()0() 1 (0100r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPP)()()0() 1 (10r rr rffPPA0A1rf0(r)f1(r)r0 P

11、(A0/1)P(A1/0) 若f0(r) f1(r)，則判為“0” 若f0(r) f1(r)，則判為“1”15第10章 數(shù)字信號最佳接收這個判決準(zhǔn)則常稱為最大似然準(zhǔn)則。按照這個準(zhǔn)則判決就可以得到理論上最佳的誤碼率，即達到理論上的誤碼率最小值。p以上對于二進制最佳接收準(zhǔn)則的分析，可以推廣到多進制信號的場合。設(shè)在一個M 進制數(shù)字通信系統(tǒng)中，可能的發(fā)送碼元是s1，s2，si，sM之一，它們的先驗概率相等，能量相等。當(dāng)發(fā)送碼元是si時，接收電壓的k 維聯(lián)合概率密度函數(shù)為于是，若 則判為si(t)，其中，dttstrnfsTikni200)()(1exp21)(r r),()(r rr rjiffMji

12、j, 2, 116第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.3 確知數(shù)字信號的最佳接收機確知數(shù)字信號的最佳接收機n確知信號：指其取值在任何時間都是確定的、可以預(yù)知的信號。n判決準(zhǔn)則當(dāng)發(fā)送碼元為“0”，波形為so(t)時，接收電壓的概率密度為當(dāng)發(fā)送碼元為“1”，波形為s1(t)時，接收電壓的概率密度為因此，將上兩式代入判決準(zhǔn)則式，經(jīng)過簡化，得到：dttstrnfsTkn20000)()(1exp21)(r rdttstrnfsTkn20101)()(1exp21)(r r17第10章 數(shù)字信號最佳接收若則判為發(fā)送碼元是s0(t)；若 則判為發(fā)送碼元是s1(t)。 將上兩式的兩端分別取對數(shù)，得到若則判為發(fā)

13、送碼元是s0(t)；反之則判為發(fā)送碼元是s1(t)。由于已經(jīng)假設(shè)兩個碼元的能量相同，即所以上式還可以進一步簡化。 ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrnPdttstrnP02002010)()(1exp)0()()(1exp) 1 (ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnssTTdttsdtts021020)()(18第10章 數(shù)字信號最佳接收若式中則判為發(fā)送碼元是s0(t)；反之，則判為發(fā)送碼元是s1(t)。W0和W1可以看作是由先驗概率決定的

14、加權(quán)因子。n最佳接收機u按照上式畫出的最佳接收機原理方框圖如下：ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()()0(ln200PnW ) 1 (ln201PnW 19第10章 數(shù)字信號最佳接收W1r(t)S1(t)S0(t)W0t = Ts比較判決積分器積分器ssTTodttstrWdttstrW00011)()()()(20r(t)S0(t)S1(t)積分器積分器比較判決t = Ts第10章 數(shù)字信號最佳接收若此二進制信號的先驗概率相等，則上式簡化為最佳接收機的原理方框圖也可以簡化成 ssTTdttstrdttstr0001()()()(）ssTTodttstrWdttst

15、rW00011)()()()(21第10章 數(shù)字信號最佳接收由上述討論不難推出M 進制通信系統(tǒng)的最佳接收機結(jié)構(gòu) u上面的最佳接收機的核心是由相乘和積分構(gòu)成的相關(guān)運算，所以常稱這種算法為相關(guān)接收法。u由最佳接收機得到的誤碼率是理論上可能達到的最小值。 積分器r(t)SM(t)S0(t)S1(t)比較判決積分器積分器22第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.4 確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率確知數(shù)字信號最佳接收的誤碼率n總誤碼率在最佳接收機中，若則判為發(fā)送碼元是s0(t)。因此，在發(fā)送碼元為s1(t)時，若上式成立，則將發(fā)生錯誤判決。所以若將r(t) = s1(t) + n(t)代入上式，則上式成立的概

16、率就是在發(fā)送碼元“1”的條件下收到“0”的概率，即發(fā)生錯誤的條件概率P(0 / 1)。此條件概率的計算結(jié)果如下 ssTTdttstrPndttstrPn00200210)()()0(1ln)()() 1 (1lnaxdxeaPP22221)() 1/0(23第10章 數(shù)字信號最佳接收式中同理，可以求出發(fā)送s0(t)時，判決為收到s1(t)的條件錯誤概率式中axdxeaPP22221)() 1/0(sTdttstsPPna02010)()(21) 1 ()0(ln2sTdttstsnD020102)()(2)(bxdxebPP22221)()0/1 (STdttstsPPnb02100)()(2

17、1)0() 1 (ln224第10章 數(shù)字信號最佳接收因此，總誤碼率為n先驗概率對誤碼率的影響當(dāng)先驗概率P(0) = 0及P(1) = 1時，a = - 及b = ，因此由上式計算出總誤碼率Pe = 0。在物理意義上，這時由于發(fā)送碼元只有一種可能性，即是確定的“1”。因此，不會發(fā)生錯誤。同理，若P(0) = 1及P(1) = 0 ，總誤碼率也為零。 21)0(21) 1 ()0/1 ()0() 1/0() 1 (222222dxePdxePPPPPPbxaxe25第10章 數(shù)字信號最佳接收u當(dāng)先驗概率相等時：P(0) = P(1) = 1/2，a = b。這樣，上式可以化簡為式中上式表明，當(dāng)先

18、驗概率相等時，對于給定的噪聲功率2，誤碼率僅和兩種碼元波形之差s0(t) s1(t)的能量有關(guān)，而與波形本身無關(guān)。差別越大，c 值越小，誤碼率Pe也越小。 u當(dāng)先驗概率不等時：由計算表明，先驗概率不等時的誤碼率將略小于先驗概率相等時的誤碼率。就誤碼率而言，先驗概率相等是最壞的情況。dxePcxe22221sTdttstsc0210)()(2126第10章 數(shù)字信號最佳接收n先驗概率相等時誤碼率的計算在噪聲強度給定的條件下，誤碼率完全決定于信號碼元的區(qū)別?，F(xiàn)在給出定量地描述碼元區(qū)別的一個參量，即碼元的相關(guān)系數(shù) ，其定義如下：式中E0、E1為信號碼元的能量。當(dāng)s0(t) = s1(t)時，1，為最

19、大值；當(dāng)s0(t) = -s1(t)時，1，為最小值。所以 的取值范圍在-1 +1。 10010021020010)()()()()()(EEdttstsdttsdttsdttstsssssTTTTsTdttsE0200)(sTdttsE0211)(27第10章 數(shù)字信號最佳接收當(dāng)兩碼元的能量相等時，令E0 = E1 = Eb，則上式可以寫成并且將上式代入誤碼率公式，得到為了將上式變成實用的形式，作如下的代數(shù)變換：令則有bTEdttstsS010)()()1 ()()(210210bTEdttstscSdxedxePbExcxe)1(22222221212/xz 2222/xz 2/dxdz

20、28第10章 數(shù)字信號最佳接收于是上式變?yōu)槭街?利用下式中2和n0關(guān)系代入上式，得到誤碼率最終表示式：2)1 (121221112212/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2/ )1 (2222bEzEzEzEzeEerfdzedzedzedzePbbbbxzdzexerf022)()1 ()()(2)(0020102bTEndttstsnDs002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbe29第10章 數(shù)字信號最佳接收式中 誤差函數(shù) 補誤差函數(shù) Eb 碼元能量； 碼元相關(guān)系數(shù)； n0 噪聲功率譜密度。上式是一個非常重要的理論公式，它給出了理論上二進制等能量數(shù)字信號誤碼率的

21、最佳（最小可能）值。在下圖中畫出了它的曲線。實際通信系統(tǒng)中得到的誤碼率只可能比它差，但是絕對不可能超過它。002)1 (212)1 (121nEerfcnEerfPbbexzdzexerf022)()(1)(xerfxerfc30第10章 數(shù)字信號最佳接收n誤碼率曲線dB31第10章 數(shù)字信號最佳接收n最佳接收性能特點u誤碼率僅和Eb / n0以及相關(guān)系數(shù)有關(guān)，與信號波形及噪聲功率無直接關(guān)系。 u碼元能量Eb與噪聲功率譜密度n0之比，實際上相當(dāng)于信號噪聲功率比Ps/Pn。因為若系統(tǒng)帶寬B等于1/Ts，則有按照能消除碼間串?dāng)_的奈奎斯特速率傳輸基帶信號時，所需的最小帶寬為(1/2Ts) Hz。對于

22、已調(diào)信號，若采用的是2PSK或2ASK信號，則其占用帶寬應(yīng)當(dāng)是基帶信號帶寬的兩倍，即恰好是(1/Ts) Hz。所以，在工程上，通常把(Eb/n0)當(dāng)作信號噪聲功率比看待。nssssssbPPBnPTnPnTPnE0000)/1 (32第10章 數(shù)字信號最佳接收u相關(guān)系數(shù) 對于誤碼率的影響很大。當(dāng)兩種碼元的波形相同，相關(guān)系數(shù)最大，即 = 1時，誤碼率最大。這時的誤碼率Pe = 1/2。因為這時兩種碼元波形沒有區(qū)別，接收端是在沒有根據(jù)的亂猜。當(dāng)兩種碼元的波形相反，相關(guān)系數(shù)最小，即 = -1時，誤碼率最小。這時的最小誤碼率等于 例如，2PSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于 -1。u當(dāng)兩種碼元正交，即相關(guān)系數(shù)

23、等于0時，誤碼率等于u例如，2FSK信號的相關(guān)系數(shù)就等于或近似等于零。0021121nEerfcnEerfPbbe002212121nEerfcnEerfPbbe33第10章 數(shù)字信號最佳接收u若兩種碼元中有一種的能量等于零，例如2ASK信號，則誤碼率為u比較以上3式可見，它們之間的性能差3dB，即2ASK信號的性能比2FSK信號的性能差3dB，而2FSK信號的性能又比2PSK信號的性能差3dB。sTdttsc020)(21004214121nEerfcnEerfPbbe34第10章 數(shù)字信號最佳接收n多進制通信系統(tǒng)u若不同碼元的信號正交，且先驗概率相等，能量也相等，則其最佳誤碼率計算結(jié)果如下

24、：式中，M 進制數(shù)； E M 進制碼元能量； n0 單邊噪聲功率譜密度。由于一個M 進制碼元中含有的比特數(shù)k 等于log2M，故每個比特的能量等于并且每比特的信噪比為下圖畫出了誤碼率Pe與Eb/n0關(guān)系曲線。 dyedxePyMnEyxe212/12220221211MEEb2log/knEMnEnEb0200log35第10章 數(shù)字信號最佳接收u誤碼率曲線由此曲線看出，對于給定的誤碼率，當(dāng)k增大時，需要的信噪比Eb/n0減小。當(dāng)k 增大到時，誤碼率曲線變成一條垂直線；這時只要Eb/n0等于0.693(-1.6 dB)，就能得到無誤碼的傳輸。Pe0.693Eb/n036第10章 數(shù)字信號最佳接

25、收l10.5 隨相數(shù)字信號的最佳接收隨相數(shù)字信號的最佳接收n假設(shè)：u 2FSK信號的能量相等、先驗概率相等、互不相關(guān)；u通信系統(tǒng)中存在帶限白色高斯噪聲；u接收信號碼元相位的概率密度服從均勻分布。n因此，可以將此信號表示為：及將此信號隨機相位的概率密度表示為：)cos(),()cos(),(11110000tAtstAts其他處, 020,2/1)(00f其他處, 020,2/1)(11f37第10章 數(shù)字信號最佳接收n判決條件：由于已假設(shè)碼元能量相等，故有在討論確知信號的最佳接收時，對于先驗概率相等的信號，按照下式條件作判決：若接收矢量r使f1(r) f0(r)，則判發(fā)送碼元是“0”，若接收矢

26、量r使f0(r) f1(r)，則判發(fā)送碼元是“1”?，F(xiàn)在，由于接收矢量具有隨機相位，故上式中的f0(r)和f1(r)分別可以表示為：上兩式經(jīng)過復(fù)雜的計算后，代入判決條件，就可以得出最終的判決條件：ssTTbEdttsdtts00121020),(),(2000000)/()()(dfffr rr r2011111)/()()(dfffr rr r38第10章 數(shù)字信號最佳接收 若接收矢量r 使M12 M02，則判為發(fā)送碼元是“0”， 若接收矢量r 使M02 M12，則判為發(fā)送碼元是“1”。上面就是最終判決條件，其中：按照上面判決準(zhǔn)則構(gòu)成的隨相信號最佳接收機的結(jié)構(gòu)示于下圖中。 ,20200YXM

27、,21211YXMSTtdttrX000cos)(STtdttrY000sin)(STtdttrX011cos)(STtdttrY011sin)(39第10章 數(shù)字信號最佳接收n最佳接收機的結(jié)構(gòu)相關(guān)器平 方cos0t相 加相關(guān)器平 方sin0t相關(guān)器平 方cos1t相 加相關(guān)器平 方sin1t比 較r(t)Y0X1Y1X040第10章 數(shù)字信號最佳接收n誤碼率：隨相信號最佳接收機的誤碼率，用類似10.4節(jié)的分析方法，可以計算出來，結(jié)果如下：n最后指出，上述最佳接收機及其誤碼率也就是2FSK確知信號的非相干接收機和誤碼率。因為隨相信號的相位帶有由信道引入的隨機變化，所以在接收端不可能采用相干接收

28、方法。換句話說，相干接收只適用于相位確知的信號。對于隨相信號而言，非相干接收已經(jīng)是最佳的接收方法了。)2/exp(210nEPbe41第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.6 起伏數(shù)字信號的最佳接收起伏數(shù)字信號的最佳接收n仍以2FSK信號為例簡要地討論其最佳接收問題。n假設(shè)：u通信系統(tǒng)中的噪聲是帶限白色高斯噪聲；u信號是互不相關(guān)的等能量、等先驗概率的2FSK信號。u2FSK信號的表示式式中，A0和A1是由于多徑效應(yīng)引起的隨機起伏振幅，它們服從同一瑞利分布： )cos(),()cos(),(111111000000tAAtstAAts2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii42第

29、10章 數(shù)字信號最佳接收式中，s2為信號的功率；而且0和1的概率密度服從均勻分布：此外，由于Ai是余弦波的振幅，所以信號si(t, i, Ai)的功率s2和其振幅Ai的均方值之間的關(guān)系為2 , 1, 0,2exp)(222iAAAVfisisii2 , 1,20,2/1)(ifii222siAE43第10章 數(shù)字信號最佳接收n接收矢量的概率密度:u由于接收矢量不但具有隨機相位，還具有隨機起伏的振幅，故此概率密度f0(r)和f1(r)分別可以表示為： 20000000000),/()()()(ddAAffAffrr r 20111111011),/()()()(ddAAffAffrr r44第1

30、0章 數(shù)字信號最佳接收經(jīng)過繁復(fù)的計算，上兩式的計算結(jié)果如下：式中n0 噪聲功率譜密度； n2 噪聲功率。knTsdttrnK2)(1exp020)(2exp)(2002022000sssssTnnMTnnKfr r)(2exp)(2002122001sssssTnnMTnnKfr r45第10章 數(shù)字信號最佳接收n誤碼率：實質(zhì)上，和隨相信號最佳接收時一樣，比較f0(r)和f1(r)仍然是比較M02和M12的大小。所以，不難推論，起伏信號最佳接收機的結(jié)構(gòu)和隨相信號最佳接收機的一樣。但是，這時的最佳誤碼率則不同于隨相信號的誤碼率。這時的誤碼率等于 式中， 接收碼元的統(tǒng)計平均能量。)/(210nEP

31、eE46第10章 數(shù)字信號最佳接收n誤碼率曲線由此圖看出，在有衰落時，性能隨誤碼率下降而迅速變壞。當(dāng)誤碼率等于10-2時，衰落使性能下降約10 dB；當(dāng)誤碼率等于10-3時，下降約20 dB。47相干2ASK信號非相干2ASK信號相干2FSK信號非相干2FSK信號相干2PSK信號差分相干2DPSK信號同步檢測2DPSK信號第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.7 實際接收機和最佳接收機的性能比較實際接收機和最佳接收機的性能比較4/21rerfc04/21nEerfcb4/exp21r04/exp21nEb2/21rerfc02/21nEerfcb2/exp21r02/exp21nEbrerfc21

32、0/21nEerfcbrexp210/exp21nEbrerfcrerfc21100211nEerfcnEerfcbb實際接收機的Pe最佳接收機的Pe48第10章 數(shù)字信號最佳接收l10.8 數(shù)字信號的匹配濾波接收法數(shù)字信號的匹配濾波接收法n什么是匹配濾波器？ 用線性濾波器對接收信號濾波時，使抽樣時刻上輸出信號噪聲比最大的線性濾波器稱為匹配濾波器。n假設(shè)條件：u接收濾波器的傳輸函數(shù)為H(f)，沖激響應(yīng)為h(t)，濾波器輸入碼元s(t)的持續(xù)時間為Ts，信號和噪聲之和r(t)為式中，s(t) 信號碼元， n(t) 高斯白噪聲；sTttntstr0),()()(49第10章 數(shù)字信號最佳接收u并設(shè)

33、信號碼元s(t)的頻譜密度函數(shù)為S(f)，噪聲n(t)的雙邊功率譜密度為Pn(f) = n0/2，n0為噪聲單邊功率譜密度。 n輸出電壓u假定濾波器是線性的，根據(jù)線性電路疊加定理，當(dāng)濾波器輸入電壓r(t)中包括信號和噪聲兩部分時，濾波器的輸出電壓y(t)中也包含相應(yīng)的輸出信號so(t)和輸出噪聲no(t)兩部分，即式中)()()(tntstyoodfefSfHtsftjo2)()()(50第10章 數(shù)字信號最佳接收n輸出噪聲功率由這時的輸出噪聲功率No等于n輸出信噪比在抽樣時刻t0上，輸出信號瞬時功率與噪聲平均功率之比為)()()()()(*)(2fPfHfPfHfHfPRRYdffHndfn

34、fHNo2002)(22)(dffHndfefSfHNtsrftjoo2022200)(2)()()(051第10章 數(shù)字信號最佳接收n匹配濾波器的傳輸特性：利用施瓦茲不等式求 r0的最大值若其中k為任意常數(shù)，則上式的等號成立。將上信噪比式右端的分子看作是上式的左端，并令則有式中 dxxfdxxfdxxfxf2221221)()()()()()(*21xkfxf0221)()(),()(ftjefSxffHxf0022022022)()(2)()(nEndffSdffHndffSdffHrdffSE2)(52第10章 數(shù)字信號最佳接收而且當(dāng)時，上式的等號成立，即得到最大輸出信噪比2E/n0。上

35、式表明，H(f)就是我們要找的最佳接收濾波器傳輸特性。它等于信號碼元頻譜的復(fù)共軛（除了常數(shù)因子外）。故稱此濾波器為匹配濾波器。 02)(*)(ftjefkSfH53第10章 數(shù)字信號最佳接收n匹配濾波器的沖激響應(yīng)函數(shù)：由上式可見，匹配濾波器的沖激響應(yīng)h(t)就是信號s(t)的鏡像s(-t)，但在時間軸上（向右）平移了t0。 )()()()()()(*)()(00)(2)(2*2222000ttksdttskdsdfekdfedeskdfeefkSdfefHthttfjttfjfjftjftjftj54000tttt1-t1t2-t1-t2t2s(t)s(-t)h(t)t0(a)(b)(c)第1

36、0章 數(shù)字信號最佳接收n圖解 55第10章 數(shù)字信號最佳接收n實際的匹配濾波器一個實際的匹配濾波器應(yīng)該是物理可實現(xiàn)的，其沖激響應(yīng)必須符合因果關(guān)系，在輸入沖激脈沖加入前不應(yīng)該有沖激響應(yīng)出現(xiàn)，即必須有：即要求滿足條件或滿足條件上式的條件說明，接收濾波器輸入端的信號碼元s(t)在抽樣時刻t0之后必須為零。一般不希望在碼元結(jié)束之后很久才抽樣，故通常選擇在碼元末尾抽樣，即選t0 = Ts。故匹配濾波器的沖激響應(yīng)可以寫為0, 0)(tth當(dāng)0, 0)(0ttts當(dāng)0, 0)(ttts當(dāng))()(tTksths56第10章 數(shù)字信號最佳接收這時，若匹配濾波器的輸入電壓為s(t)，則輸出信號碼元的波形為：上式表

37、明，匹配濾波器輸出信號碼元波形是輸入信號碼元波形的自相關(guān)函數(shù)的k倍。k是一個任意常數(shù)，它與r0的最大值無關(guān)；通常取k 1。)()()()()()()()(sssoTtkRdTtsskdTstskdhtsts57第10章 數(shù)字信號最佳接收n【例10.1】設(shè)接收信號碼元s(t)的表示式為試求其匹配濾波器的特性和輸出信號碼元的波形。【解】上式所示的信號波形是一個矩形脈沖，如下圖所示。其頻譜為由令k = 1，可得其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為由令k = 1，還可以得到此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為tTttss其他, 00, 1)(sfTjftjefjdtetsfS22121)()(tTss(t)102)(*)(f

38、tjefkSfHssfTjfTjeefjfH22121)()()(0ttksthssTttTsth0),()(58第10章 數(shù)字信號最佳接收此沖激響應(yīng)示于下圖。表面上看來，h(t)的形狀和信號s(t)的形狀一樣。實際上，h(t)的形狀是s(t)的波形以t = Ts / 2為軸線反轉(zhuǎn)而來。由于s(t)的波形對稱于t = Ts / 2，所以反轉(zhuǎn)后，波形不變。由式可以求出此匹配濾波器的輸出信號波形如下： tTsh(t)1ssTttTsth0),()()()(soTtkRtstTsso(t)59第10章 數(shù)字信號最佳接收由其傳輸函數(shù)可以畫出此匹配濾波器的方框圖如下：因為上式中的(1/j2f)是理想積分

39、器的傳輸函數(shù)，而exp(-j2fTs)是延遲時間為Ts的延遲電路的傳輸函數(shù)。 ssfTjfTjeefjfH22121)(延遲Ts理想積分器60第10章 數(shù)字信號最佳接收n【例10.2】 設(shè)信號的表示式為試求其匹配濾波器的特性和匹配濾波器輸出的波形?！窘狻可鲜浇o出的信號波形是一段余弦振蕩，如右圖所示：其頻譜為tTttftss其他, 00,2cos)(0)(41)(412cos)()(0)(20)(2020200ffjeffjedttefdtetsfSssTffjTffjTftjftjTs61第10章 數(shù)字信號最佳接收因此，其匹配濾波器的傳輸函數(shù)為上式中已令t0 = Ts。此匹配濾波器的沖激響應(yīng)為

40、：為了便于畫出波形簡圖，令式中，n = 正整數(shù)。這樣，上式可以化簡為h(t)的曲線示于下圖： )(41)(41)(*)(*)(02)(202)(222000ffjeeffjeeefSefSfHsssssfTjTffjfTjTffjfTjftjsssTttTftTsth0),(2cos)()(00/ fnTssTttfth0,2cos)(062第10章 數(shù)字信號最佳接收這時的匹配濾波器輸出波形可以由卷積公式求出：由于現(xiàn)在s(t)和h(t)在區(qū)間(0, Ts)外都等于零，故上式中的積分可以分為如下幾段進行計算：顯然，當(dāng)t 2Ts時，式中的s()和h(t-)不相交，故s0(t)等于零。 (b) 沖激

41、響應(yīng)Tsdthstso)()()(ssssTtTtTTtt2,2,0, 063第10章 數(shù)字信號最佳接收當(dāng)0 t d)是噪聲抽樣值大于d 的概率?，F(xiàn)在來計算上式中的P(| |d) 。設(shè)接收濾波器輸入端高斯白噪聲的單邊功率譜密度為n0，接收濾波器輸出的帶限高斯噪聲的功率為2，則有dPMPe11dffHndffGnR22/10202)(2)(280第10章 數(shù)字信號最佳接收上式中的積分值是一個實常數(shù)，我們假設(shè)其等于1，即假設(shè)故有這樣假設(shè)并不影響對誤碼率性能的分析。由于接收濾波器是一個線性濾波器，故其輸出噪聲的統(tǒng)計特性仍服從高斯分布。因此輸出噪聲的一維概率密度函數(shù)等于對上式積分，就可以得到抽樣噪聲值超過d 的概率：dffHndffGnR22/10202)(2)(21)(22/1dffH202n222exp21)(f81第10章 數(shù)字信號最佳接收上式中已作了如下變量代換：將上式代入誤碼率公式，得到 2exp22exp2122/222derfcdzzddPdd