1、為什么會有等參元來源一：來源一： 在有限元的網(wǎng)格劃分中常用的一些單元，像三角形、矩形、在有限元的網(wǎng)格劃分中常用的一些單元，像三角形、矩形、六面體單元等，都是形狀很規(guī)則的單元。對于形狀規(guī)則的連續(xù)六面體單元等，都是形狀很規(guī)則的單元。對于形狀規(guī)則的連續(xù)體，用這些單元來離散可以獲得比較好的結果。體，用這些單元來離散可以獲得比較好的結果。 但是，對于一些幾何形狀比較復雜的連續(xù)體，再用這些單但是，對于一些幾何形狀比較復雜的連續(xù)體，再用這些單元離散就比較困難了。于是出現(xiàn)了坐標變換的方法來解決這個元離散就比較困難了。于是出現(xiàn)了坐標變換的方法來解決這個問題。通過一一對應的坐標變換，把規(guī)則的單元轉變成形狀不問題。

2、通過一一對應的坐標變換，把規(guī)則的單元轉變成形狀不規(guī)則的單元，就可以用它們來離散幾何形狀復雜的連續(xù)體。規(guī)則的單元，就可以用它們來離散幾何形狀復雜的連續(xù)體。為什么會有等參元來源二：來源二： 有些求解問題的域的幾何形狀比較規(guī)則，那么采用原來的有些求解問題的域的幾何形狀比較規(guī)則，那么采用原來的坐標進行積分運算就不是很復雜，但是有些幾何形狀比較畸形，坐標進行積分運算就不是很復雜，但是有些幾何形狀比較畸形，會使運算處理很麻煩，于是就有這樣的想法，能不能去把這個會使運算處理很麻煩，于是就有這樣的想法，能不能去把這個畸形的形狀轉換到一個比較規(guī)則，比較普遍的通用的形體上，畸形的形狀轉換到一個比較規(guī)則，比較普遍的

3、通用的形體上，在這個形體上去研究它的性質，卻不改變原來的問題。在這個形體上去研究它的性質，卻不改變原來的問題。 等參元基本概念例如：例如： 將原來的將原來的任意四邊形單元（子單元）任意四邊形單元（子單元）變換為變換為一個正方形單一個正方形單元（母單元）。元（母單元）。子單元來自結構，它代表了真實結構的幾何特子單元來自結構，它代表了真實結構的幾何特征，然后通過坐標變換轉換到母單元上去，進行一系列有限元征，然后通過坐標變換轉換到母單元上去，進行一系列有限元運算。運算。 等參元基本概念在有限元分析中，恰當?shù)倪x擇位移函數(shù)是整個方法中最重要的在有限元分析中，恰當?shù)倪x擇位移函數(shù)是整個方法中最重要的部分。位

4、移函數(shù)的描述通?？捎脙煞N方式，其中一種是采用含部分。位移函數(shù)的描述通?？捎脙煞N方式，其中一種是采用含有若干待定系數(shù)有若干待定系數(shù) i（也稱為廣義坐標）的簡單多項式，其二是（也稱為廣義坐標）的簡單多項式，其二是可以采用形函數(shù)（插值函數(shù)）直接描述，形函數(shù)通常是用插值可以采用形函數(shù)（插值函數(shù)）直接描述，形函數(shù)通常是用插值多項式表示，多項式表示，對于二維位移場來說，可以寫成：對于二維位移場來說，可以寫成：式中式中Ni（x,y）由具體單元和節(jié)點確定。由具體單元和節(jié)點確定。等參元基本概念對于高階插值單元來說，所選擇的位移函數(shù)除了應滿足完備和對于高階插值單元來說，所選擇的位移函數(shù)除了應滿足完備和協(xié)調條件外，

5、協(xié)調條件外，除待定系數(shù)的數(shù)目還應和單元的節(jié)點自由度都一除待定系數(shù)的數(shù)目還應和單元的節(jié)點自由度都一致外（以便由節(jié)點位移值唯一的確定全部系數(shù)），在此多項式致外（以便由節(jié)點位移值唯一的確定全部系數(shù)），在此多項式中還應滿足幾何各向同性條件，中還應滿足幾何各向同性條件，即位移函數(shù)對于坐標的任何線即位移函數(shù)對于坐標的任何線性變換都能保持不變。性變換都能保持不變。 采用高階單元能夠得到較高的精度，得階數(shù)過高會導致計算采用高階單元能夠得到較高的精度，得階數(shù)過高會導致計算復雜、計算量大為增加，故一般選用不高于三次的多項式函數(shù)。復雜、計算量大為增加，故一般選用不高于三次的多項式函數(shù)。 多項式是位移函數(shù)的一種普遍形

6、式，其原因是建立單元方程多項式是位移函數(shù)的一種普遍形式，其原因是建立單元方程及進行數(shù)學處理較為容易，此外，任意多項式可以近似的表示真及進行數(shù)學處理較為容易，此外，任意多項式可以近似的表示真實解，無限次的多項式可以與正確解相對應。實解，無限次的多項式可以與正確解相對應。等參元基本概念拉格朗日插值函數(shù)拉格朗日插值函數(shù)對于規(guī)則區(qū)域，可以利用某些位置的插值函數(shù)，直接寫出其對于規(guī)則區(qū)域，可以利用某些位置的插值函數(shù)，直接寫出其形函數(shù)。形函數(shù)。在一維情況下，拉格朗日插值函數(shù)的一般形式為：在一維情況下，拉格朗日插值函數(shù)的一般形式為：只要只要 （x）在在x0，x1，xn處的值處的值 0 ， 1 n 已知，就能已

7、知，就能用下列用下列n次多項式近似的表示次多項式近似的表示 （x）與形函數(shù)的定義是一致與形函數(shù)的定義是一致等參元基本概念拉格朗日插值函數(shù)拉格朗日插值函數(shù)將拉格朗日插值函數(shù)使用于二維或三維情況。二維問題的位將拉格朗日插值函數(shù)使用于二維或三維情況。二維問題的位移函數(shù)可寫成：移函數(shù)可寫成：n、m分別為在分別為在x和和y方向的分段數(shù)。方向的分段數(shù)。二維拉格朗日單元見下圖：二維拉格朗日單元見下圖：這種插值方法的優(yōu)點是直接采用這種插值方法的優(yōu)點是直接采用了一維拉格朗日插值函數(shù)的結果。了一維拉格朗日插值函數(shù)的結果。其缺點是出現(xiàn)了內點，增加了計其缺點是出現(xiàn)了內點，增加了計算工作量，同時節(jié)點數(shù)目不一定算工作量，

8、同時節(jié)點數(shù)目不一定和完備多項式的數(shù)目一致。和完備多項式的數(shù)目一致。二維情況母單元的插值函數(shù)以四邊形單元為例以四邊形單元為例 只討論具有邊界節(jié)點而無內部節(jié)點的單元，在推導各類單只討論具有邊界節(jié)點而無內部節(jié)點的單元，在推導各類單元的形函數(shù)時，采用的是局部坐標系或自然坐標系，它在單元元的形函數(shù)時，采用的是局部坐標系或自然坐標系，它在單元內部的變化范圍是從內部的變化范圍是從-1-1到到+1+1。 這對有限元中推導形函數(shù)及進行數(shù)值積分都是方便的。這對有限元中推導形函數(shù)及進行數(shù)值積分都是方便的。無量綱的拉格朗日多項式無量綱的拉格朗日多項式插值函數(shù)計算插值函數(shù)計算2個節(jié)點個節(jié)點二維情況母單元的插值函數(shù)無量綱

9、的拉格朗日多項式無量綱的拉格朗日多項式插值函數(shù)計算插值函數(shù)計算3個節(jié)點個節(jié)點插值函數(shù)計算插值函數(shù)計算4個節(jié)點個節(jié)點二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形四節(jié)點四邊形四節(jié)點如果用總體坐標（如果用總體坐標（x x，y y）表示位移函數(shù)時）表示位移函數(shù)時二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形四節(jié)點四邊形四節(jié)點如果用局部坐標，如果用局部坐標，可以用可以用線性拉格朗日插值多項式的乘積線性拉格朗日插值多項式的乘積構造這種單元的形函數(shù)構造這種單元的形函數(shù)節(jié)點節(jié)點i二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形四節(jié)點四邊形四節(jié)點節(jié)點節(jié)點j同理：對節(jié)點同理：對節(jié)點k，l有：有：二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形四節(jié)點四邊形四節(jié)點則可以用公式統(tǒng)一表

10、達為：則可以用公式統(tǒng)一表達為：二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形八節(jié)點四邊形八節(jié)點局部坐標系下原習慣的位移函數(shù)形式為：局部坐標系下原習慣的位移函數(shù)形式為：這種單元共有這種單元共有8 8個節(jié)點，個節(jié)點，沿每條邊有沿每條邊有3 3個節(jié)點。個節(jié)點。位移函數(shù)在每條邊上位移函數(shù)在每條邊上呈二次曲線變化。呈二次曲線變化?？紤]根據(jù)拉格朗日插值函數(shù)可求出其形函數(shù)考慮根據(jù)拉格朗日插值函數(shù)可求出其形函數(shù)二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形八節(jié)點四邊形八節(jié)點節(jié)點節(jié)點2因此對邊中點（節(jié)點因此對邊中點（節(jié)點2，6）有）有同理對邊中點（節(jié)點同理對邊中點（節(jié)點4，8）有）有二維情況母單元的插值函數(shù)四邊形八節(jié)點四邊形八節(jié)點對于角節(jié)點，

11、其形函數(shù)要進行修正對于角節(jié)點，其形函數(shù)要進行修正如果仍然采用如果仍然采用則節(jié)點則節(jié)點1處處節(jié)點節(jié)點8在節(jié)點在節(jié)點1處的形函數(shù)值為處的形函數(shù)值為0.5。修正的方法修正的方法所有角節(jié)點處形函數(shù)的計算：所有角節(jié)點處形函數(shù)的計算：二維情況母單元的插值函數(shù)對于高次單元（三次）及立體單元，其形函數(shù)的構成與平面對于高次單元（三次）及立體單元，其形函數(shù)的構成與平面二次的相同。只是稍微復雜一些。其做法包含：二次的相同。只是稍微復雜一些。其做法包含：（1）采用拉格朗日多項式來進行組合構造）采用拉格朗日多項式來進行組合構造（2）構造好的形函數(shù)要對其進行驗證保證有：）構造好的形函數(shù)要對其進行驗證保證有：（3）不滿足的

12、節(jié)點要進行修正。）不滿足的節(jié)點要進行修正。二維情況子單元 在二維問題中，我們詳細的介紹了三角形常應變單元，在二維問題中，我們詳細的介紹了三角形常應變單元，其精度是受到限制的，其精度是受到限制的，為了提高精度可以采用高階插值函數(shù)，為了提高精度可以采用高階插值函數(shù)，可以采用矩形高階的插值的單元?？梢圆捎镁匦胃唠A的插值的單元。 在一些具有曲線邊界的問題中，如果采用直線邊界的單在一些具有曲線邊界的問題中，如果采用直線邊界的單元。就會產(chǎn)生用折線代替曲線所帶來的誤差。因此元。就會產(chǎn)生用折線代替曲線所帶來的誤差。因此希望構造希望構造出一些曲邊的高精度單元，以便在給定的精度下，用數(shù)目較出一些曲邊的高精度單元，

13、以便在給定的精度下，用數(shù)目較少的單元，解決工程實際的具體問題少的單元，解決工程實際的具體問題。二維情況子單元首先來看圖示矩形單元：首先來看圖示矩形單元：總體坐標系下的位移函數(shù)可寫為：總體坐標系下的位移函數(shù)可寫為：如果把坐標原點移到單元的中心，形函數(shù)可寫成統(tǒng)一的形式：如果把坐標原點移到單元的中心，形函數(shù)可寫成統(tǒng)一的形式：這是一個雙線性的插值函數(shù)，在矩形的每一個邊上（這是一個雙線性的插值函數(shù)，在矩形的每一個邊上（x= 1或或y= 1上）上）函數(shù)函數(shù)函數(shù)函數(shù)u和和v分別是分別是x,y的線性函數(shù)，它們完全可以由該邊上的兩個節(jié)點的線性函數(shù)，它們完全可以由該邊上的兩個節(jié)點的函數(shù)值唯一確定。因此這樣構造的位

14、移函數(shù)在相鄰兩個矩形單元的公的函數(shù)值唯一確定。因此這樣構造的位移函數(shù)在相鄰兩個矩形單元的公共邊上均能保證連續(xù)性的要求。即滿足相容性條件。共邊上均能保證連續(xù)性的要求。即滿足相容性條件。二維情況子單元這種雙線性插值用來描述幾何位置的坐標這種雙線性插值用來描述幾何位置的坐標變量也必然成立，即：變量也必然成立，即：這種單元的位移函數(shù)（即其節(jié)點位移值的插值公式）和幾何這種單元的位移函數(shù)（即其節(jié)點位移值的插值公式）和幾何位置的坐標變量（其節(jié)點坐標值的插值公式）具有完全相同位置的坐標變量（其節(jié)點坐標值的插值公式）具有完全相同的形式，它們都用同樣數(shù)目的相應的節(jié)點值做為參數(shù)，并且的形式，它們都用同樣數(shù)目的相應的

15、節(jié)點值做為參數(shù)，并且具有完全相同的形狀函數(shù)作為節(jié)點值前面的系數(shù)，具有這種具有完全相同的形狀函數(shù)作為節(jié)點值前面的系數(shù)，具有這種性質的單元就叫等參單元，簡稱等參元。性質的單元就叫等參單元，簡稱等參元。二維情況子單元設在設在4邊形四個頂點布置節(jié)點，分邊形四個頂點布置節(jié)點，分別為別為1，2，3，4。如果形函數(shù)仍如果形函數(shù)仍然取上述矩形單元的雙線性函數(shù)，然取上述矩形單元的雙線性函數(shù)，則在單元的邊界上，一般不能滿則在單元的邊界上，一般不能滿足相容性條件。足相容性條件。如果四邊形不是矩形呢？如果四邊形不是矩形呢？因為在不平行于因為在不平行于x（或（或y）軸的任一邊上（如）軸的任一邊上（如43邊）這條邊的直邊

16、）這條邊的直線方程為：線方程為： y=ax+b（a 0）把它代入到位移函數(shù)式中，則位移為把它代入到位移函數(shù)式中，則位移為x x的二次函數(shù)即的二次函數(shù)即u=Ax2+Bx+C二維情況子單元這樣表明在這條邊上這樣表明在這條邊上u u不再是線性不再是線性變化的（變化的（v v亦如此），因此這條邊亦如此），因此這條邊上的位移就不能由兩個節(jié)點值的上的位移就不能由兩個節(jié)點值的插值函數(shù)所唯一確定，從而在相插值函數(shù)所唯一確定，從而在相鄰兩個單元的公共邊上將不能保鄰兩個單元的公共邊上將不能保證證 位移是連續(xù)的。即相容性條件位移是連續(xù)的。即相容性條件不滿足。不滿足。如果四邊形不是矩形呢？如果四邊形不是矩形呢？4 4

17、節(jié)點斜四邊形單元不能象矩形單元那樣，直接采用原直角坐節(jié)點斜四邊形單元不能象矩形單元那樣，直接采用原直角坐標（標（x,yx,y）表示的雙線性函數(shù)為形函數(shù)。為此，引入一個局部）表示的雙線性函數(shù)為形函數(shù)。為此，引入一個局部坐標系，使得斜四邊形單元能夠變換到相應的矩形單元上去。坐標系，使得斜四邊形單元能夠變換到相應的矩形單元上去。子單元向母單元的變換我們通過總體坐標我們通過總體坐標（x , y）與局部坐標與局部坐標（ ， ）之間的變換之間的變換（或稱為幾何映射），使在總體坐標下的斜四邊形單元變換為（或稱為幾何映射），使在總體坐標下的斜四邊形單元變換為在局部坐標下，邊長為在局部坐標下，邊長為2，坐標原點

18、位于單元中心的正方形單元。，坐標原點位于單元中心的正方形單元。（x,y）下下1，2，3，4 （ ， ）下下1，2，3，4 各邊長的等分點各邊長的等分點各邊的等分點各邊的等分點這種變換是否存在？這種變換是否存在？子單元向母單元的變換假設變換存在：則在局部坐標假設變換存在：則在局部坐標（ ， ）下，單元是一個正下，單元是一個正方形，不難看出其位移函數(shù)為：方形，不難看出其位移函數(shù)為：而且肯定有：而且肯定有：局部坐標下的位移函數(shù)能滿足常應變準則條件。局部坐標下的位移函數(shù)能滿足常應變準則條件。子單元向母單元的變換位移函數(shù)為局部坐標位移函數(shù)為局部坐標（ ， ）的表達式，在有限元分析時，需要的表達式，在有限

19、元分析時，需要計算位移計算位移u，v對總體坐標的偏導數(shù)，因此，采用上述做法時就必對總體坐標的偏導數(shù)，因此，采用上述做法時就必須找出總體坐標須找出總體坐標（x, y）對局部坐標對局部坐標（ ， ）之間的變換式。之間的變換式?？傮w坐標變量當做函數(shù)：總體坐標變量當做函數(shù)：采用這種形式變換對采用這種形式變換對不對，直邊是不是仍不對，直邊是不是仍然是直邊？然是直邊？我們可以看到位移函數(shù)式和坐標我們可以看到位移函數(shù)式和坐標變換式具有完全相同的構造。它變換式具有完全相同的構造。它們用同樣數(shù)目的相應的節(jié)點值作們用同樣數(shù)目的相應的節(jié)點值作為參數(shù)，并具有完全相同的形函為參數(shù)，并具有完全相同的形函數(shù)數(shù)NiNi（ ，

20、 ）這樣構造的單元稱這樣構造的單元稱坐等參數(shù)單元，簡稱等參元。坐等參數(shù)單元，簡稱等參元。子單元向母單元的變換4 4節(jié)點斜四邊形單元，稱作節(jié)點斜四邊形單元，稱作4 4節(jié)點四邊形的單元。節(jié)點四邊形的單元。這種單元是能滿足有限元解的收斂的這種單元是能滿足有限元解的收斂的“常應變準則常應變準則”的。的。從剛才的變換可以看出：從剛才的變換可以看出： 兩個相鄰的斜四邊形單元在公共邊上坐標變換是連續(xù)的。兩個相鄰的斜四邊形單元在公共邊上坐標變換是連續(xù)的。 兩單元公共邊上的公共點在坐標變換后仍保持為公共點，兩單元公共邊上的公共點在坐標變換后仍保持為公共點，他們即不脫離也不重疊，由此，位移函數(shù)在總體坐標下也滿足他

21、們即不脫離也不重疊，由此，位移函數(shù)在總體坐標下也滿足相容性條件。相容性條件。 根據(jù)以上分析，對于一些單元進行分析時，在局部坐標根據(jù)以上分析，對于一些單元進行分析時，在局部坐標（ ， ）中進行，這時單元形狀是正方形，位移函數(shù)簡單，計中進行，這時單元形狀是正方形，位移函數(shù)簡單，計算較為方便。算較為方便。 形函數(shù)形函數(shù)Ni（ ， ）可以是二次或更高次的，這時單元在局可以是二次或更高次的，這時單元在局部坐標部坐標（ ， ）平面上的直邊變換到總體總體坐標時為曲邊形平面上的直邊變換到總體總體坐標時為曲邊形狀，正好適應曲邊單元的要求。狀，正好適應曲邊單元的要求。子單元向母單元的變換為什么叫等參元為什么叫等參

22、元單元位移采用形函數(shù)單元位移采用形函數(shù)節(jié)點節(jié)點位移方式，位移插值函數(shù)取位移方式，位移插值函數(shù)取決于節(jié)點數(shù)目決于節(jié)點數(shù)目事實上，兩種變換并不一定需要采用相同的節(jié)點數(shù)和相同的形事實上，兩種變換并不一定需要采用相同的節(jié)點數(shù)和相同的形函數(shù)，若描述單元位移的節(jié)點數(shù)目函數(shù)，若描述單元位移的節(jié)點數(shù)目n1少于描述坐標變換的節(jié)點少于描述坐標變換的節(jié)點數(shù)目數(shù)目n2(相應的單元位移形函數(shù)相應的單元位移形函數(shù)Ni的階次也比坐標變換形函數(shù)階的階次也比坐標變換形函數(shù)階次低次低)，這種單元稱為，這種單元稱為“超參元超參元”。反之稱為。反之稱為“亞參元亞參元”或或“次次參元參元”。坐標變換采用形函數(shù)坐標變換采用形函數(shù)節(jié)點節(jié)點

23、坐標方式，坐標變換函數(shù)取坐標方式，坐標變換函數(shù)取決于節(jié)點數(shù)目決于節(jié)點數(shù)目子單元向母單元的變換超參元超參元描述單元位移的節(jié)點數(shù)目描述單元位移的節(jié)點數(shù)目n1少于描述坐標變換的節(jié)點數(shù)目少于描述坐標變換的節(jié)點數(shù)目n2除了一些特殊情況外，一般是不適用的除了一些特殊情況外，一般是不適用的 單元可能是曲線邊界，而單元的位移函數(shù)是線性的，其位移單元可能是曲線邊界，而單元的位移函數(shù)是線性的，其位移顯然不能適應邊界的變化情況，單元會出現(xiàn)不連續(xù)位移。顯然不能適應邊界的變化情況，單元會出現(xiàn)不連續(xù)位移。次參元次參元描述單元位移的節(jié)點數(shù)目描述單元位移的節(jié)點數(shù)目n1多于描述坐標變換的節(jié)點數(shù)目多于描述坐標變換的節(jié)點數(shù)目n2可

24、以用，但位移需要進行降階處理可以用，但位移需要進行降階處理 單元的邊界可能為直線，而位移均為曲線，但在邊界上可能只單元的邊界可能為直線，而位移均為曲線，但在邊界上可能只有兩個節(jié)點，故位移要降階為線性，能夠保證位移的連續(xù)性有兩個節(jié)點，故位移要降階為線性，能夠保證位移的連續(xù)性 適用于形狀復雜而應力變化較小的離散情形適用于形狀復雜而應力變化較小的離散情形 適用于形狀規(guī)則而應力變化劇烈的離散情形適用于形狀規(guī)則而應力變化劇烈的離散情形 子單元向母單元的變換在平面應力問題的分析中，要求出在平面應力問題的分析中，要求出 ， 及及Ke ，它們都依賴于，它們都依賴于u, v對對x, y的導數(shù)。而位移函數(shù)式只給出

25、了的導數(shù)。而位移函數(shù)式只給出了u, v關于局部坐標的函數(shù)，關于局部坐標的函數(shù)，因此需要對坐標變換式進行復合求導。因此需要對坐標變換式進行復合求導。上式可寫為：上式可寫為：J稱為坐標變換矩陣或雅可比矩陣稱為坐標變換矩陣或雅可比矩陣子單元向母單元的變換上式求逆：上式求逆：回代后得：回代后得：利用上式可以把形函數(shù)利用上式可以把形函數(shù)Ni（ ， ）對對x, y求導問題化為對求導問題化為對 ， 求導的問題。求導的問題。子單元向母單元的變換為了計算單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷，還要把總體坐標下的微為了計算單元剛度矩陣及等效節(jié)點載荷，還要把總體坐標下的微元面積元面積 dA 換為局部坐標上去。換為局部坐標上去。

26、子單元向母單元的變換對雅克比矩陣進行展開觀察對雅克比矩陣進行展開觀察由此可看出，只要由此可看出，只要（xi, yi）i=1,2,3,4給出，給出，J就確定，且僅是就確定，且僅是 ， 的線性函數(shù)的線性函數(shù)子單元向母單元的變換為簡化，令為簡化，令于是于是為了求得雅可比變換列陣的逆矩陣為了求得雅可比變換列陣的逆矩陣J-1及單元剛度矩陣積分及單元剛度矩陣積分式中的微元面積式中的微元面積dA,要求變換行列式在整個單元上不等于零要求變換行列式在整個單元上不等于零,而且不能為負值。而且不能為負值。子單元向母單元的變換具體到單元網(wǎng)格上：具體到單元網(wǎng)格上：上述限制雖然是由四節(jié)點斜四邊形單元分析得出來上述限制雖然

27、是由四節(jié)點斜四邊形單元分析得出來, ,但其結但其結論可推廣到一般等參元論可推廣到一般等參元. .為了能確保進行等參變換為了能確保進行等參變換, ,在總體坐標下所劃分的斜四邊形在總體坐標下所劃分的斜四邊形單元必須是凸四邊形單元必須是凸四邊形, ,而不能有一內角大于或等于而不能有一內角大于或等于180180度的度的四邊形四邊形. .如下圖如下圖: :積分運算的轉化當將一個子單元轉換為母單元后，原來對子單元的積分就變當將一個子單元轉換為母單元后，原來對子單元的積分就變成在母單元上進行：成在母單元上進行：由此可見被積函數(shù)的表達式必將非常復雜，進行積分運算需由此可見被積函數(shù)的表達式必將非常復雜，進行積分

28、運算需要較大的工作量要較大的工作量. .由多元微積分的變量替換規(guī)則可知由多元微積分的變量替換規(guī)則可知 積分運算的轉化采用高斯積分（采用高斯積分（Gauss積分）可以解決這一問題積分）可以解決這一問題 ：高斯積分的精度？高斯積分的精度？在單元內選某些點做為積分點，把這些點的坐標值代入，在單元內選某些點做為積分點，把這些點的坐標值代入，算出其被積函數(shù)值，在乘以加權系數(shù)，然后求其總和就得算出其被積函數(shù)值，在乘以加權系數(shù)，然后求其總和就得到近似的積分值。到近似的積分值?；静襟E基本步驟由此必然會帶來一定的誤差。一般來講，數(shù)值積分的精確度由此必然會帶來一定的誤差。一般來講，數(shù)值積分的精確度與所采用的求積

29、分公式及所取的積分點數(shù)有關，對同一種積與所采用的求積分公式及所取的積分點數(shù)有關，對同一種積分方法，積分點數(shù)越多則產(chǎn)生的誤差越小，但所需的計算工分方法，積分點數(shù)越多則產(chǎn)生的誤差越小，但所需的計算工作量也就越大。兩者（精度與計算時間）需做統(tǒng)一安排。作量也就越大。兩者（精度與計算時間）需做統(tǒng)一安排。積分運算的轉化高斯積分的精度可以保證高斯積分的精度可以保證數(shù)值積分的精確度與選取積分點的數(shù)目和位置以及數(shù)值積分的精確度與選取積分點的數(shù)目和位置以及HK中的插中的插值表達式密切相關，若對積分值表達式密切相關，若對積分 K及及HK中的插值表達式相關，中的插值表達式相關，求積公式為求積公式為積分點坐標積分點數(shù)加權系數(shù)在選擇適當?shù)脑谶x擇適當?shù)?K 和和HK之后，之后，對任何次數(shù)不超過對任何次數(shù)不超過2n-1次的多次的多項式函數(shù)項式函數(shù)f（ ）均能精確成立，均能精確成立，這就是高斯積分公式，這就是高斯積分公式， K 稱稱為為Gauss點點 。高斯積分公式的積分點及加權系高斯積分公式的積分點及加權系數(shù)可以根據(jù)勒讓德多項式的數(shù)可以根據(jù)勒讓德多項式的n n個個不同的實根求得，通常應用時，不同的實根求得，通常應用時，根據(jù)積分點數(shù)的根據(jù)積分點數(shù)的n n可查表求得?？刹楸砬蟮?。積分運算的轉化一維高斯積分