1、人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)含30角的直角三角形的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1探索含30角的直角三角形的性質(zhì)（重點(diǎn)）2會(huì)運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算（難點(diǎn)）導(dǎo)入新課問(wèn)題引入問(wèn)題1 如圖，將兩個(gè)相同的含30角的三角尺擺放在一起，你能借助這個(gè)圖形，找到RtABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數(shù)量關(guān)系嗎？分離拼接ACB問(wèn)題2 將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對(duì)折，如圖所示，你有什么發(fā)現(xiàn)？講授新課含30角的直角三角形的性質(zhì) 一性質(zhì)： 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.ABCD如圖，ADC是ABC的軸對(duì)稱圖形，因此AB=AD, BAD=230=60，從而ABD是一個(gè)

2、等邊三角形.再由ACBD,可得BC=CD= AB.你還能用其他方法證明嗎？證法1證明：在ABC 中，C =90，A =30, B =60延長(zhǎng)BC 到D，使BD =AB，連接AD，則ABD 是等邊三角形又ACBD, 已知：如圖，在RtABC 中，C =90，A =30. 求證：BC = ABABCD 證明方法：倍長(zhǎng)法BC = ABBC = BDEABC 證明2： 在BA上截取BE=BC，連接EC. B= 60 ，BE=BC. BCE是等邊三角形， BEC= 60，BE=EC. A= 30， ECA=BEC-A=60-30 = 30. AE=EC， AE=BE=BC， AB=AE+BE=2BC.B

3、C = AB證明方法：截半法知識(shí)要點(diǎn)含30角的直角三角形的性質(zhì) 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.應(yīng)用格式：在RtABC 中，C =90，A =30，ABCBC = AB 判斷下列說(shuō)法是否正確：1）直角三角形中30角所對(duì)的直角邊等于另一直角邊的一半2）三角形中30角所對(duì)的邊等于最長(zhǎng)邊的一半。3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半。4）直角三角形的斜邊是30角所對(duì)直角邊的2倍例1 如圖，在RtABC中，ACB90，B30，CD是斜邊AB上的高，AD3cm，則AB的長(zhǎng)度是()A3cm B6cm C9cm D12cm典例精析注意：運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)

4、求線段長(zhǎng)時(shí)，要分清線段所在的直角三角形 D解析：在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，ADC90，ACDB30.在RtACD中，AC2AD6cm，在RtABC中，AB2AC12cm.AB的長(zhǎng)度是12cm.故選D.例2 如圖，AOPBOP15，PCOA交OB于C，PDOA于D，若PC3，則PD等于()A3 B2 C.1.5 D1解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PEOB于E，PCOA，AOPCPO，PCEBOPCPOBOPAOPAOB30.又PC3，PE1.5.AOPBOP，PDOA，PDPE1.5.故選C.EC方法總結(jié)：含30角的直角三角形與角平分線、垂直平分線的綜合運(yùn)用時(shí)，關(guān)鍵是尋找或作輔助線構(gòu)造含30角

5、的直角三角形例3 如圖，在ABC中，C90，AD是BAC的平分線，過(guò)點(diǎn)D作DEAB.DE恰好是ADB的平分線CD與DB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由解：理由如下：DEAB，AEDBED90.DE是ADB的平分線，ADEBDE.又DEDE，AEDBED(ASA)，在RtACD中，CAD30，ADBD，DAEB.BADCAD BAC，BADCADB.BADCADB90，BBADCAD30.CD AD BD，即CD DB.方法總結(jié)：含30角的直角三角形的性質(zhì)是表示線段倍分關(guān)系的一個(gè)重要的依據(jù)，如果問(wèn)題中出現(xiàn)探究線段倍分關(guān)系的結(jié)論時(shí)，要聯(lián)想此性質(zhì)想一想：圖中BC、DE 分別是哪個(gè)直角三角形的直角邊？它們

6、所對(duì)的銳角分別是多少度？ 例4如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D 是斜梁AB 的中點(diǎn)，立柱BC，DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，A =30，立柱BC、DE 要多長(zhǎng)？ABCDEABCDE解：DEAC,BC AC, A=30 ，BC= AB, DE= AD.BC= AB= 7.4=3.7(m).又AD= AB,DE= AD= 3.7=1.85 (m).答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m，DE的長(zhǎng)是1.85m.例5 已知:等腰三角形的底角為15 ,腰長(zhǎng)為20.求腰上的高. ACBD15 15 20解:過(guò)C作CDBA,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.B=ACB=15 (已知),DAC= B+ ACB= 15+1

7、5=30，)CD= AC= 20=10.方法總結(jié)：在求三角形邊長(zhǎng)的一些問(wèn)題中，可以構(gòu)造含30角的直角三角形來(lái)解決本題的關(guān)鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質(zhì)，得出30角，利用含30角的直角三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題.當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，一棵樹(shù)在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30角，這棵樹(shù)在折斷前的高度為( )A6米 B9米 C12米 D15米2.某市在舊城改造中，計(jì)劃在一塊如圖所示的ABC空地上種植草皮以美化環(huán)境，已知A150，這種草皮每平方米售價(jià)a元，則購(gòu)買這種草皮至少需要( )A300a元 B150a元C450a元 D225a元BB4.在ABC中,A: B: C=1:2:

8、3,若AB=10,則BC = .55.如圖，RtABC中，A= 30，AB+BC=12cm，則AB=_.ACB83.如圖，在ABC 中，ACB =90，CD 是高，A =30，AB =4則BD = . A B C D 1第3題圖第5題圖6.在ABC中，C=90，B=15，DE是AB的垂直平分線，BE=5，則求AC的長(zhǎng)解：連接AE，DE是AB的垂直平分線，BE=AE，EAB=B=15，AEC=EAB+B=30C=90，AC= AE= BE=2.57.在 ABC中 ，AB=AC，BAC=120 ，D是BC的中點(diǎn)，DEAB于E點(diǎn)，求證：BE=3EA.證明：AB=AC，BAC=120， B=C=30. D是BC的中點(diǎn)，ADBCADC=90，BAD=DAC=60.AB=2AD.DEAB，AED=90，ADE=30，AD=2AE.AB=4AE，BE=3AE.8.如圖，已知ABC是等邊三角形，D,E分別為BC、AC上的點(diǎn)，且CD=AE，AD、BE相交于點(diǎn)P，BQAD于點(diǎn)Q,求證:BP=2PQ.拓展提升ADCBEA.證明：ABC為等邊三角形， AC=BC=AB ,C=BAC=60，CD=AE，CAD=ABE.BAP+CAD=6