1、綜合評(píng)價(jià)方法之二綜合評(píng)價(jià)方法之二基于數(shù)據(jù)分析幾種方案基于數(shù)據(jù)分析幾種方案 方案一方案一主成份分析法主成份分析法問題實(shí)際背景n在現(xiàn)實(shí)生活中，人們往往會(huì)對(duì)樣品收集盡可能多的指標(biāo)，例如人口普查往往要調(diào)查每個(gè)人的姓名、年齡、性別、文化程度、住房、職業(yè)、收入、消費(fèi)等幾十項(xiàng)指標(biāo)，從收集資料的角度來看，收集較多的數(shù)據(jù)有利于完整反映樣品的特征，但是這些指標(biāo)從統(tǒng)計(jì)角度來看相互之間具有一定的依賴關(guān)系，從而使所觀測的數(shù)據(jù)在反映信息上有一定重疊。解決的問題之一：降維n主成份分析正是針對(duì)這類問題而產(chǎn)生的，是解決這類題的理想工具。 n主成分分析也稱主分量分析主成分分析也稱主分量分析（principal component

2、s analysis,PCA）是由是由美國的科美國的科學(xué)家哈羅德學(xué)家哈羅德霍特林霍特林（Harold Hotelling）于于1933年首先提出的。年首先提出的。人們希望通過克服相關(guān)性、重疊性，用較少的變量來代替原來較多的變量，而這種代替可以反映原來多個(gè)變量的大部分信息，這實(shí)際上是一種“降維”的思想。n多維數(shù)據(jù)的一種圖形表示方法。多維數(shù)據(jù)的一種圖形表示方法。 我們知道當(dāng)維數(shù)大于我們知道當(dāng)維數(shù)大于3時(shí)便不能畫出幾何圖時(shí)便不能畫出幾何圖形經(jīng)過主成分分析后，我們可以選取前兩個(gè)主形經(jīng)過主成分分析后，我們可以選取前兩個(gè)主成分或其中某兩個(gè)主成分，這樣既可以就這兩成分或其中某兩個(gè)主成分，這樣既可以就這兩個(gè)主

3、成分性質(zhì)加以分析，還可以根據(jù)主成分畫個(gè)主成分性質(zhì)加以分析，還可以根據(jù)主成分畫出出n個(gè)個(gè)樣品樣品在二維平面上的分布況，由圖形可在二維平面上的分布況，由圖形可直觀地看出各樣品在主成分中的地位，進(jìn)而還直觀地看出各樣品在主成分中的地位，進(jìn)而還可以對(duì)樣本進(jìn)行分類處理可以對(duì)樣本進(jìn)行分類處理 。解決的問題之二：幾何分析n選擇評(píng)價(jià)指標(biāo)體系后通過對(duì)各指標(biāo)加權(quán)的辦選擇評(píng)價(jià)指標(biāo)體系后通過對(duì)各指標(biāo)加權(quán)的辦法來進(jìn)行綜合。但是，如何對(duì)指標(biāo)加權(quán)是一法來進(jìn)行綜合。但是，如何對(duì)指標(biāo)加權(quán)是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作。指標(biāo)加權(quán)的依據(jù)是指項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作。指標(biāo)加權(quán)的依據(jù)是指標(biāo)的重要性，指標(biāo)在評(píng)價(jià)中的重要性判斷難標(biāo)的重要性，指標(biāo)在評(píng)價(jià)中的

4、重要性判斷難免帶有一定的主觀性，這影響了綜合評(píng)價(jià)的免帶有一定的主觀性，這影響了綜合評(píng)價(jià)的客觀性和準(zhǔn)確性。主成分分析法是根據(jù)指標(biāo)客觀性和準(zhǔn)確性。主成分分析法是根據(jù)指標(biāo)間的相對(duì)重要性進(jìn)行客觀加權(quán)，可以避免綜間的相對(duì)重要性進(jìn)行客觀加權(quán)，可以避免綜合評(píng)價(jià)者的主觀影響，所以在實(shí)際應(yīng)用中越合評(píng)價(jià)者的主觀影響，所以在實(shí)際應(yīng)用中越來越受到人們的重視。來越受到人們的重視。解決的問題之三：客觀加權(quán)有關(guān)數(shù)學(xué)模型與常見實(shí)例有關(guān)數(shù)學(xué)模型與常見實(shí)例l2008年美國數(shù)學(xué)建模競賽題：年美國數(shù)學(xué)建模競賽題：“評(píng)價(jià)國家公共衛(wèi)生體系上的應(yīng)評(píng)價(jià)國家公共衛(wèi)生體系上的應(yīng)用用 ”l啤酒風(fēng)味評(píng)價(jià)分析實(shí)例啤酒風(fēng)味評(píng)價(jià)分析實(shí)例l我國部分地區(qū)城鎮(zhèn)

5、居民家庭收支我國部分地區(qū)城鎮(zhèn)居民家庭收支基本情況分析實(shí)例基本情況分析實(shí)例 明確信息量大數(shù)學(xué)意義明確信息量大數(shù)學(xué)意義l我們知道，當(dāng)一個(gè)變量只取一個(gè)數(shù)據(jù)時(shí)，這個(gè)變量（數(shù)據(jù)）提供的信息量是非常有限的，當(dāng)這個(gè)變量取一系列不同數(shù)據(jù)時(shí)，我們可以從中讀出最大值、最小值、平均數(shù)等信息。變量的變異性越大，說明它對(duì)各種場景的“遍歷性”越強(qiáng)，提供的信息就更加充分，信息量就越大。主成分分析中的信息，就是指標(biāo)的變異性，用用標(biāo)準(zhǔn)差或方差表示它標(biāo)準(zhǔn)差或方差表示它。l為了便于理解以兩個(gè)指標(biāo)為例：主成分確定的準(zhǔn)則：信息損失小，之間重疊主成分確定的準(zhǔn)則：信息損失小，之間重疊少少假設(shè)共有n個(gè)樣品，每個(gè)樣品都測量了兩個(gè)指標(biāo)（X1，X

6、2），在坐標(biāo)系x1-O-x2中，觀察散點(diǎn)的分布，單獨(dú)看這n個(gè)點(diǎn)的分量X1和X2，它們沿著x1方向和x2方向都具有較大的離散性，其離散的程度可以分別分別用的X1方差和X2的方差測定。如果僅考慮X1或X2中的任何一個(gè)分量，那么包含在另一分量中的信息將會(huì)損失，因此，直接舍棄某個(gè)分量不是“確定主成分”的有效辦法。確定第一主成分方法確定第一主成分方法l事實(shí)上，散點(diǎn)的分布總有可能沿著某一個(gè)方向事實(shí)上，散點(diǎn)的分布總有可能沿著某一個(gè)方向略顯擴(kuò)張，這個(gè)方向就把它看作橢圓的長軸方略顯擴(kuò)張，這個(gè)方向就把它看作橢圓的長軸方向。向。1Y2Y2Y結(jié)論：結(jié)論： 為第一主成分，為第一主成分， 為第二主成分。為第二主成分。2Y

7、1Y主成分的數(shù)學(xué)模型：主成分的數(shù)學(xué)模型：推廣一般主成分確定的模型推廣一般主成分確定的模型l主成分分析的數(shù)學(xué)模型是，設(shè)p個(gè)變量構(gòu)成的q維隨機(jī)向量為lX = （X1，Xp）l對(duì)X作正交變換，令Y = TX，其中T為正交陣，要求Y的各分量是不相關(guān)的，并且Y的第一個(gè)分量的方差是最大的，第二個(gè)分量的方差次之，等等。為了保持信息不丟失，Y的各分量方差和與X的各分量方差和相等。Y是列向量T為正交陣有：TT=I;T=T(-1)新舊變量關(guān)系的表達(dá)式新舊變量關(guān)系的表達(dá)式1111122112211222221122pppppppppppYt Xt Xt XTYt Xt XtXTYt XtXtXTXXX新指標(biāo)的方差及

8、它們的協(xié)方差：新指標(biāo)的方差及它們的協(xié)方差：)(iYD其中 表示方差，Cov表示協(xié)方差， 表示X協(xié)方差陣主成分確定條件：主成分確定條件：l第一主成分為，滿足第一主成分為，滿足 ， 并且使得并且使得 達(dá)到最大的達(dá)到最大的 。l第二主成分為，滿足第二主成分為，滿足 ， 使得使得 達(dá)到最大的達(dá)到最大的 。l一般情形，第一般情形，第 主成分為，滿足主成分為，滿足 ，且且 （ ），使得），使得達(dá)到最大的達(dá)到最大的 。111T T111( )D YTT11YTX221T T2121(,)(,)0Cov Y YCov TTXX222()D YTT22YTXk1kkT T( , )(,)0kikiCov Y Y

9、Cov TTXXik()kkkD YTTkkYTX第一主成分求法第一主成分求法11TT0|I第二主成分求法第二主成分求法第第 主成分求法主成分求法K結(jié)論：結(jié)論：主成分保持信息總量不少主成分保持信息總量不少主成分個(gè)數(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn)主成分個(gè)數(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn)l第第 個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率：個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率：k主成分個(gè)數(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn)主成分個(gè)數(shù)確定的標(biāo)準(zhǔn) 構(gòu)造樣本陣構(gòu)造樣本陣l樣本陣 , 其中 是樣本容量即評(píng)價(jià)對(duì)象， 是評(píng)價(jià)指標(biāo)個(gè)數(shù)， 是第 個(gè)樣本中采集的第 項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)值。 mnijxX)(nmijxijmnnmnnnmmxxxxxxxxxxxx32122322211131211指標(biāo)正向化指標(biāo)正向化 l正向指標(biāo)是隨著該

10、指標(biāo)值的增長總系統(tǒng)評(píng)價(jià)結(jié)果越好，因而轉(zhuǎn)化公式為 是負(fù)向指標(biāo)是正向指標(biāo)ijij x, x, ijijijxxy轉(zhuǎn)化后樣本陣mnijyY)( 指標(biāo)規(guī)范化指標(biāo)規(guī)范化 l為克服單位差異對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響，須將指標(biāo)規(guī)范化 l其中mjnisyyzjjijij2 , 1;2 , 1,)(nyyniijj1,mjnyysnijijj2 , 1,1)(122 協(xié)方差矩陣：也是樣本陣的相關(guān)系數(shù)陣協(xié)方差矩陣：也是樣本陣的相關(guān)系數(shù)陣l顯然， 的協(xié)方差矩陣也是 的相關(guān)系數(shù)矩陣nYYY,21ZZnRZZnsyysyynrTmmnkjkikjjjknkiiikij11,11)()(1111mijrR)(確定主成分確定主成分構(gòu)

11、造綜合評(píng)價(jià)函數(shù)構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)函數(shù) kiwkiii,2,1,1iY1.求求 的權(quán)值公式：的權(quán)值公式：2.構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)函數(shù)構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)函數(shù)這里我們應(yīng)該注意，從本質(zhì)上說綜合評(píng)價(jià)函數(shù)是對(duì)原這里我們應(yīng)該注意，從本質(zhì)上說綜合評(píng)價(jià)函數(shù)是對(duì)原始指標(biāo)的線性綜合，從計(jì)算主成分到對(duì)之加權(quán)，經(jīng)過始指標(biāo)的線性綜合，從計(jì)算主成分到對(duì)之加權(quán)，經(jīng)過兩次線性運(yùn)算后得到綜合評(píng)價(jià)函數(shù)兩次線性運(yùn)算后得到綜合評(píng)價(jià)函數(shù)。 XTYYYYhkkkkii),(2122111啤酒風(fēng)味評(píng)價(jià)實(shí)例分析啤酒風(fēng)味評(píng)價(jià)實(shí)例分析題目：題目：啤酒是個(gè)多指標(biāo)風(fēng)味食品啤酒是個(gè)多指標(biāo)風(fēng)味食品, 為為了全面了解啤酒的風(fēng)味了全面了解啤酒的風(fēng)味, 啤酒企業(yè)開發(fā)啤酒企業(yè)開發(fā)

12、了大量的檢測方法用于分析啤酒的指了大量的檢測方法用于分析啤酒的指標(biāo)標(biāo), 但是面對(duì)大量的指標(biāo)數(shù)據(jù)但是面對(duì)大量的指標(biāo)數(shù)據(jù), 大多數(shù)大多數(shù)企業(yè)又感到茫然企業(yè)又感到茫然,不知道如何利用這些不知道如何利用這些大量的數(shù)據(jù)大量的數(shù)據(jù), 來對(duì)各品牌的啤酒加以評(píng)來對(duì)各品牌的啤酒加以評(píng)價(jià)，由上面的介紹可知價(jià)，由上面的介紹可知,在這種情況下在這種情況下,主成分分析法較為適合。主成分分析法較為適合。 l構(gòu)造樣本陣（1）確定原始評(píng)價(jià)指標(biāo)：即未經(jīng)簡化的指標(biāo)m個(gè)本題選有：乙醛、乙酸乙酯、異丁酯、乙酸異戊酯、異戊醇及己酸乙酯 （m=6）（2）確定評(píng)價(jià)對(duì)象：即定抽樣，一般樣本容量n個(gè)本題選有：百威啤酒、喜力啤酒和青島啤酒 ，南

13、方某種啤酒（n=4）（3）采集樣本數(shù)據(jù)：采集4個(gè)樣本的對(duì)應(yīng)指標(biāo)，得到4個(gè)6維的隨機(jī)向量。（4）構(gòu)造樣本陣： 。本題樣本陣乙醛乙酸乙酯異丁酯乙酸異戊酯異戊醇己酸乙酯百威啤酒喜力啤酒青島啤酒3.11.93南方某品牌3.21364)(ijxXl構(gòu)造構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化陣標(biāo)準(zhǔn)化陣Z 指標(biāo)規(guī)范化 為克服單位差異對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的響，須將樣本陣元素規(guī)范化，得標(biāo)準(zhǔn)化矩陣Z64)(ijzZ4 , 3 , 2 , 1; 6 , 2 , 1,)(jisxxzjjijij其中,441iijjxx6 , 2 , 1,14)(4

14、122jxxsijijj本題標(biāo)準(zhǔn)化矩陣本題標(biāo)準(zhǔn)化矩陣-1.000280.464991-0.5-1.46277-0.45111.5302351.2537311.6842111.4166671.9104482.4126980.440678-1.21086-1.51122-1.5-0.138-0.537020.0493621.316154-0.464990.5-0.0828-0.923670.049362Zl相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)矩陣：對(duì)角元為矩陣：對(duì)角元為1的實(shí)對(duì)稱的實(shí)對(duì)稱 ZZrRTij5166l本題相關(guān)系數(shù)陣乙醛乙酸乙酯異丁酯乙酸異戊酯異戊醇己酸乙酯乙醛1乙酸乙酯0.4210551異丁酯0.8633

15、970.8137331乙酸異戊酯0.6056130.4222220.6844671異戊醇0.3193610.7840870.6873860.8058141己酸乙酯-0.59667-0.36954-0.65158-0.99835-0.775321l相關(guān)系數(shù)陣的特征值及向量相關(guān)系數(shù)陣的特征值及向量（1）解樣本相關(guān)系數(shù)矩陣R 的特征方程 得6個(gè)特征根, （2）確定主成分個(gè)數(shù) k ：并由大到小排列：使信息的利用率達(dá)85%以上，621,6,|min611kdkkjjkjj85. 0d0ER （3）構(gòu)造個(gè)主成份）構(gòu)造個(gè)主成份 ： 對(duì)每個(gè)j, j=1,2,.,k, 解得單位特征向量 kbbb,21), 2

16、, 1( ,kjZbYjj則第j個(gè)主成份本題k=2，利用率d=45.1%+38.2%=83.3%l構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)價(jià)值函數(shù)：構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)價(jià)值函數(shù)： （1）首先構(gòu)造權(quán)向量：Twww2,1其中其中 （2）構(gòu)造構(gòu)造價(jià)值函數(shù)價(jià)值函數(shù)： 個(gè)指標(biāo)是第其中izzzzTTwwhiT,62121212,1,61iwiii本題結(jié)果：本題結(jié)果：83. 009. 02 . 12 . 0,4321hhhh綜合結(jié)論：由好到差排序喜力啤酒 百威啤酒 青島啤酒 南方某種啤酒隨機(jī)向量X的方差協(xié)方差陣對(duì)角線上的元素主成分的方差協(xié)方差矩陣的對(duì)角線元素正交矩陣T中對(duì)應(yīng)的第k行第i列元素主成分因子載荷量主成分因子載荷量:主成分因子載荷量：

17、以主成分因子載荷量：以為坐標(biāo)畫圖分析為坐標(biāo)畫圖分析),(21ii結(jié)果分析：結(jié)果分析：l從圖 可以看出, 主成分 1 主要由乙酸乙酯、乙酸異戊酯和己酸乙酯決定, 這些酯含量高, 主成分1 就越大, 即主成分1 代表了啤酒的酯香, 酯香越濃, 主成分 1就越大。主成分2 主要由乙醛、異丁醇和異戊醇決定,這些成分能夠代表啤酒的“酒勁”的大小, 這些成分含量越高,主成分2 就越大,即啤酒的酒味就越重。 模型結(jié)果分析（模型結(jié)果分析（2）：各樣本主成分）：各樣本主成分l各樣本主成分分析圖結(jié)論結(jié)論:關(guān)于個(gè)樣本結(jié)論關(guān)于個(gè)樣本結(jié)論l結(jié)合這種解釋, 就可以對(duì)圖2 中的分類做出分析, 其中百威啤酒是酒味適中和酯香相

18、對(duì)較濃的“濃香型”啤酒,l 喜力啤酒是酒味和酯香均較濃的“濃醇型”啤酒l 青島啤酒是酒味較重, 而酯香較弱的“醇型”啤酒l某品牌的啤酒則是酒味和酯香均弱的“淡型”啤酒。 SPSS實(shí)現(xiàn)主成分分析實(shí)現(xiàn)主成分分析l某市工業(yè)部門13個(gè)行業(yè)的8項(xiàng)重要經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的數(shù)據(jù)，這8項(xiàng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)分別是：X1：年末固定資產(chǎn)凈值，單位：萬元；X2：職工人數(shù)據(jù)，單位：人；X3：工業(yè)總產(chǎn)值，單位：萬元；X4：全員勞動(dòng)生產(chǎn)率，單位：元/人年；X5：百元固定資產(chǎn)原值實(shí)現(xiàn)產(chǎn)值，單位：元；X6：資金利稅率，單位：%；X7：標(biāo)準(zhǔn)燃料消費(fèi)量，單位：噸；X8：能源利用效果，單位：萬元/噸。樣本陣樣本陣l請(qǐng)問：如何從這些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)出發(fā)，對(duì)各工業(yè)

19、部門進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)與排序？l我們的目標(biāo)是：先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，得到相關(guān)矩陣R以后，計(jì)算該矩陣的8個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量。由下式建立8個(gè)主成分：l分別計(jì)算各主成分1111122112211222221122pppppppppppYt Xt Xt XTYt Xt XtXTYt XtXtXTXXX（一）利用SPSS進(jìn)行因子分析l將原始數(shù)據(jù)輸入SPSS數(shù)據(jù)編輯窗口，將8個(gè)變量分別命名為X1X8 。在SPSS窗口中選擇AnalyzeData ReductionFactor菜單項(xiàng)，調(diào)出因子分析主界面，并將變量X1X8移入Variables框中，其他均保持系統(tǒng)默認(rèn)選項(xiàng)，單擊OK按鈕，執(zhí)行因子分析過程。8因子

20、提取的方法：主成分用相關(guān)矩陣提取特征向量用X的方差協(xié)方差陣進(jìn)行分析：默認(rèn)數(shù)據(jù)無標(biāo)準(zhǔn)化由R矩陣計(jì)算的特征根前兩個(gè)特征根的方差解釋度達(dá)到80%lTotal列為各因子對(duì)應(yīng)的特征根，本例中共提取兩個(gè)公因子；% of Variance列為各因子的方差貢獻(xiàn)率；Cumulative %列為各因子累積方差貢獻(xiàn)率，由表中可以看出，前兩個(gè)因子已經(jīng)可以解釋79.31%的方差（二）利用因子分析結(jié)果進(jìn)行主成分分析1. 將下表中因子載荷陣中的數(shù)據(jù)輸入SPSS數(shù)據(jù)編輯窗口，分別命名為a1和a2。2. 為了計(jì)算第一個(gè)特征向量，點(diǎn)擊菜單項(xiàng)中的TransformCompute，調(diào)出Compute variable對(duì)話框，在對(duì)話框

21、中輸入等式： z1=a1 / SQRT(2.576) 點(diǎn)擊OK按鈕，即可在數(shù)據(jù)編輯窗口中得到以z1為變量名的第一特征向量。再次調(diào)出Compute variable對(duì)話框，在對(duì)話框中輸入等式： z2=a2 / SQRT(1.389)點(diǎn)擊OK按鈕，得到以z2為變量名第二特征向量。這樣，我們得到了特征向量矩陣： ijijjaz從而有，兩個(gè)主成分的表達(dá)式：3. 再次使用Compute命令，就可以計(jì)算得到兩個(gè)主成分。以下我們用SPSS對(duì)上例中13個(gè)行業(yè)的綜合排序：進(jìn)入SPSS的factor分析窗口，用相應(yīng)的命令獲得以下結(jié)果：對(duì)R矩陣計(jì)算得到的特征值得到因子載荷陣：此時(shí)僅提取前3個(gè)因子，已經(jīng)能夠解釋86%

22、的原變量方差l利用載荷陣與特征向量之間的關(guān)系，我們計(jì)算前三個(gè)特征向量：T1T2T3.4767.2961.1037.4727.2779.1628.4239.3778.1566-.2128.4512-.0083-.3882.3308.3215-.3524.4030.1452.2151-.3772.1400.0550.2726-.8918這三個(gè)主成分Y是在標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上提煉得到的，因此在計(jì)算綜合得分時(shí)，要注意先將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化。l由上表看出，第一主成分除了與X8的相關(guān)性最弱以外，基本反映了其它7個(gè)原始變量的信息；第二主成分與8個(gè)原始變量的相關(guān)性都差不多，也是綜合反映了信息；第三個(gè)主成分僅與X8的相關(guān)性最高，主要反映了工業(yè)行業(yè)中能源利用率的問題。l因此，我們得到三個(gè)主成分具體表達(dá)式：l接下來，利用各特征值的方差貢獻(xiàn)率做權(quán)重計(jì)算各行業(yè)的綜合得分：8721387212872118918.01400.01628.01037.02726.03772.02779.02961.0055.02151.04727.04767.0XXXXYXXXXYXXXXY38