1、類型一折疊問(wèn)題專題六 圓的綜合題目錄類型三動(dòng)態(tài)問(wèn)題類型二旋轉(zhuǎn)問(wèn)題折疊問(wèn)題一折疊問(wèn)題題型多樣,變化靈活,從考查學(xué)生空間想象能力與動(dòng)手操作能力的實(shí)踐操作題,到直接運(yùn)用折疊相關(guān)性質(zhì)的說(shuō)理計(jì)算題,發(fā)展到基于折疊操作的綜合題,甚至是壓軸題.考查的著眼點(diǎn)日趨靈活,能力立意的意圖日漸明顯.這對(duì)于識(shí)別和理解幾何圖形的能力、空間思維能力和綜合解決問(wèn)題的能力都提出了比以往更高的要求.題型講解方法點(diǎn)撥折疊操作就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180,使它與另一部分圖形在這條直線的同旁重疊,其中“折”是過(guò)程,“疊”是結(jié)果.折疊問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是圖形的軸對(duì)稱變換,折疊更突出了軸對(duì)稱問(wèn)題的應(yīng)用.而且在解決這類問(wèn)題中,運(yùn)用的知識(shí)

2、點(diǎn)比較多,綜合性強(qiáng),如軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等形的相關(guān)知識(shí)、勾股定理等,這是培養(yǎng)學(xué)生識(shí)圖能力、靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題能力的一條非常有效的途徑.解決此類問(wèn)題需要注意:1.折疊重合部分一定全等,折痕所在的直線就是這兩個(gè)全等形的對(duì)稱軸;互相重合的兩點(diǎn)(對(duì)稱點(diǎn))之間的連線必被折痕垂直平分;對(duì)稱兩點(diǎn)與對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)連接所得的兩條線段相等;對(duì)稱線段所在的直線與對(duì)稱軸的夾角相等.2.在解題過(guò)程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論,借助輔助線構(gòu)造直角三角形,結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)解決相關(guān)的折疊問(wèn)題,可以使得解題思路更加清晰,解題步驟更加簡(jiǎn)潔.3.能夠熟練抓住折疊前后的不變量以及折疊問(wèn)題當(dāng)中的特殊背景圓,利用圓的性質(zhì)解

3、決問(wèn)題.解題技巧例題1分析：(1)連接OC,在RtCOM中,用勾股定理求CM的長(zhǎng)度,從而得到CD的長(zhǎng)度.(2)在OCP中,分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)度,再根據(jù)勾股定理證明OCP是直角三角形,即可證明PC是O的切線.(3)連接GO并延長(zhǎng),交O于點(diǎn)H,連接HF,證明OGEFGH,即可得到GEGF=OGGH.圖圖(3)GEGF是定值.證明如下:如圖,連接GO并延長(zhǎng),交O于點(diǎn)H,連接HF.【高分點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題,主要利用了翻折變換的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、圓的切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì),難點(diǎn)在于第(3)題中作輔助線構(gòu)造相似三角形.圖當(dāng)堂檢測(cè)1解:(1)由翻折變換的性質(zhì),得ABP

4、=ABP=10,ABA=20.故答案為20.旋轉(zhuǎn)問(wèn)題二旋轉(zhuǎn)是幾何圖形運(yùn)動(dòng)中的重要變換,隨著課程改革的進(jìn)一步深入,利用旋轉(zhuǎn)的知識(shí)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算或證明的題目有很多,小到填空、選擇題,大到綜合、推理題.尤其是題目中沒(méi)有涉及旋轉(zhuǎn)等文字,使不少學(xué)生在解答時(shí)無(wú)從著手,找不到解題的途徑,但如果能根據(jù)題目特征加以觀察,通過(guò)旋轉(zhuǎn),找到解題的突破口,那么問(wèn)題就簡(jiǎn)單化了.題型講解方法點(diǎn)撥此類問(wèn)題主要考查旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用,解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用圖形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)只改變圖形的位置而不改變圖形的形狀、大小,各對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離等性質(zhì).利用這些性質(zhì)可以求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度、圖形的面積等.利用旋轉(zhuǎn)的不變性還可以列出方程或函數(shù)解

5、析式等,幫助解決問(wèn)題.解決此類問(wèn)題一般需要注意:1.要理解旋轉(zhuǎn)變換的作用,旋轉(zhuǎn)改變圖形的位置但不改變圖形的形狀、大小.2.當(dāng)圖形過(guò)于分散或集中,無(wú)法有效利用時(shí),需要移動(dòng)圖形,而移動(dòng)圖形的手段就是三種變換.當(dāng)圖形中存在共頂點(diǎn)的等線段時(shí)就可以實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換.3.確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度.解題技巧(2020保定高陽(yáng)一模)如圖,點(diǎn)A為半圓O直徑MN所在直線上一點(diǎn),射線AB垂直于MN,垂足為點(diǎn)A,半圓繞點(diǎn)M順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)過(guò)的角度記作.設(shè)半圓O的半徑為R,AM的長(zhǎng)度為m,回答下列問(wèn)題:探究:(1)若R=2,m=1,如圖,當(dāng)旋轉(zhuǎn)30時(shí),圓心O到射線AB的距離是;如圖,當(dāng)=時(shí),半圓O與射線AB相切;例題

6、2圖圖(2)如圖,在(1)的條件下,為了使得半圓O轉(zhuǎn)動(dòng)30即能與射線AB相切,在保持線段AM長(zhǎng)度不變的條件下,調(diào)整半徑R的大小,請(qǐng)你求出滿足要求的R,并說(shuō)明理由;發(fā)現(xiàn):(3)如圖,在090時(shí),為了對(duì)任意旋轉(zhuǎn)角都保證半圓O與射線AB能夠相切,小明探究了cos 與R,m兩個(gè)量的關(guān)系,請(qǐng)你幫助他直接寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系:cos =(用含有R,m的代數(shù)式表示);拓展:(4)如圖,若R=m,當(dāng)半圓弧線與射線AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),的取值范圍是,并求出在這個(gè)變化過(guò)程中陰影部分(弓形)面積的最大值(用m表示).圖圖圖分析：(1)過(guò)點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)M作MFOE于點(diǎn)F,在RtMFO中,用勾股定理求OF的長(zhǎng)度,從而得

7、到OE的長(zhǎng)度;連接OF,作OEOA于點(diǎn)E,在RtOEM中,利用余弦值即可求得的度數(shù);(2)構(gòu)造RtOQM,利用余弦值求OQ,根據(jù)OQ+QP=OP,建立方程求R的大小;(3)構(gòu)造RtOQM,利用余弦函數(shù)求得cos ;(4)當(dāng)半圓與射線AB相切時(shí),開(kāi)始出現(xiàn)交點(diǎn),當(dāng)N落在AB上時(shí),是半圓與AB有兩個(gè)交點(diǎn)的最后時(shí)刻,分析出這兩種情況,即可求得的取值范圍;當(dāng)N落在AB上時(shí),可求出陰影部分的最大面積.圖圖圖圖【高分點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題,主要考查了旋轉(zhuǎn)變換、切線的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí),解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)變換的作用,旋轉(zhuǎn)可以改變圖形的位置而不改變圖形的形狀、大小.學(xué)會(huì)添加常用輔助線,構(gòu)造直角三角

8、形或特殊四邊形解決問(wèn)題.當(dāng)堂檢測(cè)2(2020石家莊模擬)如圖,是用量角器測(cè)量一個(gè)角的操作示意圖,量角器的讀數(shù)從點(diǎn)M開(kāi)始(即點(diǎn)M的讀數(shù)為0).如圖,把這個(gè)量角器與一塊30(CAB=30)角的三角板拼在一起,三角板的斜邊AB與量角器所在圓的直徑MN重合.現(xiàn)在射線CP繞點(diǎn)C從CA開(kāi)始沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?的速度旋轉(zhuǎn)到CB,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,射線CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E.連接BE.當(dāng)堂檢測(cè)2(1)當(dāng)射線CP經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)時(shí),點(diǎn)E處的讀數(shù)是,此時(shí)BCE的形狀是.(2)設(shè)旋轉(zhuǎn)x秒后,點(diǎn)E處的讀數(shù)為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)多少秒時(shí),BCE是等腰三角形?圖圖解:(1)如圖,設(shè)AB的中點(diǎn)為O,

9、ACB=90,OA=OB,OA=OB=OC. OCA=OAC=30.AOE=60. 點(diǎn)E處的讀數(shù)是60.OE=OB,E=BAC=30,OBE=E=30.EBC=OBE+ABC=90.BCE是直角三角形.故答案為60,直角三角形.圖(2)如圖中,設(shè)MN的中點(diǎn)為O,AB與MN重合,點(diǎn)C在以點(diǎn)O為圓心,MN為直徑的圓上.由題意,得ACE=(2x),AOE=y.根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半,得AOE=2ACE, y=(4x)(0 x45).圖(3)易知BC不可能等于CE.如圖,當(dāng)BE=CE時(shí),ECB=EBC.ACE=(2x),ACB=90,ABE=(2x),EBC=60+(2x),ECB=90-

10、(2x).60+(2x)=90-(2x),x=7.5.如圖,當(dāng)BE=BC時(shí),BEC=BCE, ACE=(2x),ABE=(2x),BCE=90-(2x).CBE=60+(2x).在BCE中,CBE+BCE+BEC=180,60+(2x)+90-(2x)+90-(2x)=180.x=30.綜上所述,當(dāng)CP旋轉(zhuǎn)7.5秒或30秒時(shí),BCE是等腰三角形.圖圖動(dòng)態(tài)問(wèn)題三以圓為背景的動(dòng)態(tài)問(wèn)題能有效地考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本技能、基本數(shù)學(xué)思想以及基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),常常被列為中考的壓軸問(wèn)題.這類問(wèn)題屬于運(yùn)動(dòng)型問(wèn)題,常在圓上設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn),并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、

11、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考查.問(wèn)題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體,有較強(qiáng)的綜合性.題型講解方法點(diǎn)撥解答此類問(wèn)題需要注意:1.把握點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程,要注意用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形,抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系,建立方程或函數(shù).2.特別關(guān)注一些不變的量、不變的關(guān)系或特殊關(guān)系,化動(dòng)為靜,由特殊情形(特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形等)過(guò)渡到一般情形.解決動(dòng)態(tài)問(wèn)題一般遵循這樣的方法:1.找臨界點(diǎn),分類討論,要抓住圖形在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止的某一瞬間,將這些點(diǎn)鎖定在某一位置上,問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就容易顯現(xiàn)出來(lái),從而得到解題的方法.2.當(dāng)一個(gè)問(wèn)題是有關(guān)確定圖形的變量之間的關(guān)系時(shí),通常建立函數(shù)模型求解;當(dāng)確定圖形之間

12、的特殊位置關(guān)系或者一些特殊值時(shí),通常建立方程模型求解.一般會(huì)涉及全等和相似.解題技巧(2019唐山路北模擬)如圖,在正方形ABCD中,AB=12,以AB為直徑作半圓O,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AD方向以每秒1個(gè)單位的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),沿CB方向以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),兩點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng),當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后,另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s).例題3 圖圖(3)不能相切.理由如下:若PQ與半圓O相切,設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)S,如圖,由切線長(zhǎng)定理,得AP=PS,BQ=QS,PQ=AP+BQ=t+12-3t=12-2t.過(guò)點(diǎn)P作PHBC于點(diǎn)H,則四邊形APHB是矩形,AP=BH.QH=BQ-

13、BH=12-3t-t=12-4t.在RtPHQ中,PH2+QH2=PQ2,122+(12-4t)2=(12-2t)2,即t2-4t+12=0.b2-4ac=16-412=-320,此方程無(wú)解.在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,PQ和半圓O不能相切.圖(4)點(diǎn)Q是以每秒3個(gè)單位的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),BC=12,03t12,即0t4.如圖,過(guò)點(diǎn)N作IJBC,交BC于點(diǎn)J,交AD于點(diǎn)I,過(guò)點(diǎn)N作NTAB于點(diǎn)T,則四邊形ATNI和四邊形BTNJ都是矩形,圖(2020石家莊新華區(qū)一模)如圖,水平放置一個(gè)三角板和一個(gè)量角器,三角板的邊AB和量角器的直徑DE在一條直線上,ACB=90,BAC=30,OD=3 cm,開(kāi)始的時(shí)候BD=

14、1 cm,現(xiàn)在三角板以2 cm/s的速度向右移動(dòng).(1)當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合的時(shí)候,求三角板運(yùn)動(dòng)的時(shí)間;(2)三角板繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)E重合時(shí),AC與半圓相切于點(diǎn)F,連接EF,如圖所示.求證:EF平分AEC;求EF的長(zhǎng).當(dāng)堂檢測(cè)3圖圖【高分點(diǎn)撥】本題是圓的綜合題,要抓住圖形在動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止的某一瞬間,將這些點(diǎn)鎖定在某一位置上,從而得到解題的方法.專題六 高效測(cè)評(píng)A.1 B.2 C.3 D.4圖圖解:(1)證明:AB是半圓的切線,OFAB.ABC=90,即BCAB,OFBC.BC=OD,OF=OD,OF=BC.四邊形OFCB是平行四邊形.OBCF,即DBCF.圖圖圖圖圖圖4.(2020廊坊

15、大城縣一模)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8,M是AB的中點(diǎn),P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn),連接PM,以點(diǎn)P為圓心,PM長(zhǎng)為半徑作P.(1)當(dāng)BP=時(shí),MBPDCP;(2)當(dāng)P與正方形ABCD的邊相切時(shí),求BP的長(zhǎng);(3)設(shè)P的半徑為x,請(qǐng)直接寫(xiě)出正方形ABCD中恰好有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓內(nèi)的x的取值范圍.圖圖圖5.(2019新華區(qū)一模)如圖,在RtOAB中,AOB=90,OA=OB=4,以點(diǎn)O為圓心、2為半徑畫(huà)圓,點(diǎn)C是O上任意一點(diǎn),連接BC,OC.將OC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90,交O于點(diǎn)D,連接AD.(1)當(dāng)AD與O相切時(shí),求證:BC是O的切線;求點(diǎn)C到OB的距離.(2)連接BD,CD,當(dāng)BCD的面積最大時(shí)

16、,點(diǎn)B到CD的距離為.解:(1)如圖,作AMBC于點(diǎn)M.圖圖7.(2020石家莊模擬)如圖,已知半圓O的直徑DE=12 cm,在ABC中,ACB=90,ABC=30,BC=12 cm,半圓O以2 cm/s的速度從左向右運(yùn)動(dòng),在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)D,E始終在直線BC上.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),當(dāng)t=0 s時(shí),半圓O在ABC的左側(cè),OC=8 cm.(1)當(dāng)t為何值時(shí),ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切?(2)當(dāng)ABC的一邊所在直線與半圓O所在的圓相切時(shí),如果半圓O與直線DE圍成的區(qū)域與ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分,求重疊部分的面積.圖圖圖圖8.(2020臨沂蘭山區(qū)一模)在矩形ABCD中,點(diǎn)P在AD上,A