1、人口模型 在研究某些實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常無法直接得到各變量之間的聯(lián)系，問題的特征往往會(huì)給出關(guān)于變化率的一些關(guān)系。利用這些關(guān)系，我們可以建立相應(yīng)的微分方程模型。在自然界以及工程技術(shù)領(lǐng)域中，微分方程模型是大量存在的。它甚至可以滲透到人口問題以及商業(yè)預(yù)測等領(lǐng)域中去，其影響是非常廣泛的。 從現(xiàn)在起，我們將向大家介紹一些很著名的微分方程模型，它們中，最簡單，也是最直觀的，就是人口模型。對于人口模型，我們向大家介紹兩個(gè)模型。 、MALTHUS模型 世紀(jì)末，英國人Malthus在研究了百余年的人口統(tǒng)計(jì)資料后認(rèn)為，在人口自然增長過程中，凈相對增長率出生率減去死亡率為凈增長率是常數(shù)。 設(shè)時(shí)刻t的人口為t，凈相對增長

2、率為r，我們把t當(dāng)作連續(xù)變量來考慮。按照Malthus的理論，在t到t+t時(shí)間內(nèi)人口的增長量為 令t，那么得到微分方程、設(shè)t時(shí)人口為，即有 我們易求得微分方程在上面的初始條件下的解為如果r0，上式那么說明人口以指數(shù)規(guī)律無限增長。特別地，當(dāng)t，我們將會(huì)有(t) , 這似乎不太可能。 這個(gè)模型可以與世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的統(tǒng)計(jì)資料很好地吻合，但是后來人們用它來與世紀(jì)的人口資料比較時(shí)卻發(fā)現(xiàn)了相當(dāng)大的差異。人們還發(fā)現(xiàn)，遷往加拿大的法國移民后代的人口比較符合指數(shù)模型，而同一血統(tǒng)的法國外鄉(xiāng)居民人口的增長卻與指數(shù)模型大相徑庭。分析說明，以上這些現(xiàn)象的主要原因是，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增

3、長的限制作用越來越顯著。人口較少時(shí)，人口的自然增長率根本上是常數(shù)，而當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長率就要隨著人口的增加而減少。因此，我們將對指數(shù)模型關(guān)于凈增長率是常數(shù)的根本假設(shè)進(jìn)行修改，以得到與實(shí)際情況相符合的某些結(jié)論。 這個(gè)修改后的關(guān)于人口增長問題的數(shù)學(xué)模型就是我們現(xiàn)在稱之為邏輯斯蒂模型Logistic模型，這個(gè)數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)有的人口增長數(shù)據(jù)能夠充分吻合。 下面，我們就簡單地介紹一下修改后的人口增長的數(shù)學(xué)模型，即Logistic模型。 、Logistic模型 荷蘭生物數(shù)學(xué)家Verhulst引入常數(shù)m表示自然資源和環(huán)境條件所能容納的最大人口，并假定增長率等于即凈增長率隨著t的增加而減少。當(dāng)t

4、 m時(shí)，凈增長率等于零。這樣，上面模型中的方程就變?yōu)槿越o出與Malthus模型相同的初始條件，即那么上面微分方程的解為易看出，當(dāng)t時(shí)，當(dāng)t m。這個(gè)模型稱為Logistic模型，其結(jié)果經(jīng)過計(jì)算發(fā)現(xiàn)與實(shí)際情況比較吻合。上面所畫的是Logistic模型的的圖形。你也可從這個(gè)圖形中，觀察到微分方程解的某些性態(tài)。捕魚問題 在魚場中捕魚，捕的魚越多，所獲得的經(jīng)濟(jì)效益越大。但捕撈的魚過多，會(huì)造成魚量的急劇下降，勢必影響日后魚的總量。因此，我們希望在魚的總量保持穩(wěn)定的前提下，到達(dá)最大捕魚量或者最多的經(jīng)濟(jì)效益。 設(shè)時(shí)刻t魚場中的魚量為x(t)，魚場資源條件所限制的x的最大值為xm，類似人口模型中的Logist

5、ic模型，我們得到在無捕撈情況下的關(guān)于x(t)的微分方程其中r為魚量的自然增長。假設(shè)單位時(shí)間內(nèi)捕撈量與漁場的魚量成正比，捕撈率為K，那么在有捕撈的情況下，x(t)應(yīng)滿足 我并不去求解上面的方程以了解x(t)的性質(zhì)。下面我們介紹一種方法，可以利用上面的微分方程得到x(t)的平衡點(diǎn)，從而研究其穩(wěn)定性。 對于方程我們把代數(shù)方程f(x)=0的的實(shí)根x0稱為上面方程的平衡點(diǎn)。顯然，x=x0是它的一個(gè)解。另外，在點(diǎn)x0附近，有所以，假設(shè)f(x0)x0時(shí)，dx/dt0，從而當(dāng)t增加時(shí)，x向x0方向減少；當(dāng)x0，那么x0是穩(wěn)定的不平衡點(diǎn)。 我們不難求出方程的平衡點(diǎn)為假設(shè)在上面的微分方程中，令那么易求得 根據(jù)上

6、面關(guān)于平衡點(diǎn)的討論易知，當(dāng)Kr時(shí)，上面所求的x0即為平衡的穩(wěn)定點(diǎn)。換句話說，只要不是“竭澤而魚，Kr就是魚業(yè)生產(chǎn)所必須遵守的根本條件。 下面我們用圖解法討論在保持魚量穩(wěn)定的前提下，如何選取捕撈率使捕撈量最大。設(shè) 由上圖可知，f1(x)在原點(diǎn)處的切線為y=rx，從而，當(dāng)Kr時(shí)，曲線f1(x)與f2(x)必相交，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，也就是說，使?jié)O場內(nèi)捕魚量保持穩(wěn)定Kr)即意味著曲線f1(x)與f2(x)必相交。由此不難看出，在所有與拋物線相交的直線中，選擇過拋物線的頂點(diǎn)的直線將得到最大的捕撈量ym , 此時(shí)，穩(wěn)定平衡點(diǎn)x0=xm/2，因此我們可得到故我們得到結(jié)論：控制捕撈率r/2，或者說，控制使

7、漁場內(nèi)漁量保持在最大值xm的一半時(shí)，就可保持魚量穩(wěn)定的條件下使捕撈量最大。 下面我們還是在保持魚場漁量穩(wěn)定的前提下做進(jìn)一步分析，如何使經(jīng)濟(jì)利潤最大。設(shè)魚的單價(jià)為p，設(shè)開支與捕撈率成正比，比例系數(shù)為c，那么在保持魚量穩(wěn)定的條件下單位時(shí)間內(nèi)捕撈利潤是請注意，上面我們所得到的式子表示在Kr的條件下，漁場的穩(wěn)定魚量，從此式中，我們可以解出將此式代入上面的第一個(gè)式子中，得令(x0)=0，容易求得使(x0)最大的x0為此時(shí)捕撈量為3.3 新產(chǎn)品的推銷與廣告 1. 新產(chǎn)品推銷模型一種新產(chǎn)品問世，經(jīng)營者自然要關(guān)心產(chǎn)品的賣出情況。下面我們根據(jù)兩種不同的假設(shè)建立兩種推銷速度的模型。廣告模型 在當(dāng)今這個(gè)信息社會(huì)中，

8、廣告在商品推銷中起著極其重要的作用。當(dāng)生產(chǎn)者生產(chǎn)出一批產(chǎn)品后，下一步便去思考如何更快更多的賣出產(chǎn)品。由于廣告的群眾性和快捷性，其在促銷活動(dòng)中大受經(jīng)營者的青睞。當(dāng)然，經(jīng)營者在利用廣告這一手段時(shí)自然要關(guān)心：廣告與促銷到底有何關(guān)系，廣告在不同時(shí)期的效果如何？3.5 Van Meegeren 的藝術(shù)偽造品 在第二次世界大戰(zhàn)末期，比利時(shí)解放后，德國戰(zhàn)場平安部開始追捕納粹同黨。在與德國有業(yè)務(wù)往來的紀(jì)錄中，他們發(fā)現(xiàn)一位銀行家在拍賣17世紀(jì)荷蘭著名畫家Jan Vermeer的名畫中曾充當(dāng)過中間人。這位中間人后來成認(rèn)，他擔(dān)任過德國三流畫家HA Van Meegeren的代理人。年月日Meegeren以通敵罪被逮

9、捕。然而，在年月日，Meegeren一口咬定，他從未拍賣過Jan Vermeer的名畫，他聲稱這副畫以及等四幅畫都是他偽造的。同時(shí)偽造的還有世紀(jì)荷蘭另一位畫家de Hooghs的作品。為了證實(shí)這一切，他在獄中開始偽造Vermeer的畫?耶穌在學(xué)者中間?。 當(dāng)他的工作幾乎要完成時(shí)，他得悉他可能以偽造罪被判刑。于是，他拒絕將他的畫老化。為了解決這一問題，一個(gè)由著名化學(xué)家，物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際調(diào)查小組受命調(diào)查此時(shí)。調(diào)查小組用X射線透視等現(xiàn)代手段來分析檢驗(yàn)繪畫所用的顏料，從而檢驗(yàn)?zāi)承┠甏E象。盡管Van Meegeren千方百計(jì)地去掩飾，專家調(diào)查小組還是在油畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì)諸如鈷藍(lán)的痕跡。

10、這樣，偽造罪成立。Van Meegeren也因此被判處一年徒刑。年月他在獄中心臟病發(fā)作死去。 但是，許多人還是不相信? Emmaus的信徒們?等名畫是偽造的。他們的理由是，Van Meegeren在獄中快要完成的畫?耶穌在學(xué)者們中間?的質(zhì)量很差。調(diào)查小組解釋說，由于Van Meegeren對他在藝術(shù)界的三流畫家地位很不滿，因此帶著狂熱的決心臨摹了那副畫。當(dāng)他看到自己的“杰作未被識(shí)別而輕易出手后，他的決心也隨之消失了。 下面，我們需了解一些顏料方面的知識(shí)。畫家曾用白鉛作顏料已有年的歷史了，而白鉛中含有少量的鉛和更少的鐳。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦石中提煉出來的。在鉛礦中鉛210和鐳226本是處在放射平衡中，而在上述提取過程中，鉛210隨鉛金屬被提取出來，不過，90%-95%的鐳以及它的派生物都隨著爐渣中的廢物排出了，從圖3 6可以看出，鉛210的提取物都被排掉了。為了使鐳226與鉛210 在到達(dá)放射平衡，鉛210開始迅速衰減，其半衰期為22年。 為了使模型簡化，我們作如下假定：1由圖36可知，鐳的半衰期為1600年，而我們只對300年這一段時(shí)間感興趣，所以每分鐘鐳的衰變數(shù)可以近似看作常數(shù)。(2)鉛210的衰變大致為3.6 作戰(zhàn)模型混合型常規(guī)游擊