1、. .57/57綜合測(cè)試題線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題一（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)D=M0，則D1= ( )A.2MB.2MC.6M D.6M2.設(shè) A、B、C為同階方陣，若由AB = AC必能推出 B = C，則A應(yīng)滿足( )A. A OB. A = O C.|A|= 0 D. |A|03.設(shè)A，B均為n階方陣，則( )A.|A+AB|=0，則|A|=0或|E+B|=0 B.(A+B)2=A2+2AB+B2C.當(dāng)AB=O時(shí)，有A=O或

2、B=O D.(AB)-1=B-1A-14.二階矩陣A，|A|=1，則A-1= ( ) A. B. C. D.5.設(shè)兩個(gè)向量組與，則下列說(shuō)確的是( )A.若兩向量組等價(jià)，則s = t .B.若兩向量組等價(jià)，則r()=r() C.若s = t，則兩向量組等價(jià).D.若r()=r()，則兩向量組等價(jià).6.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是( )A.中至少有一個(gè)零向量B.中至少有兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例C.中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示D.可由線性表示7.設(shè)向量組有兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組與，則下列成立的是( ) A. r與s未必相等 B. r + s = mC. r = s D. r + s m8.對(duì)方程組Ax

3、 = b與其導(dǎo)出組Ax = o，下列命題正確的是( )A. Ax = o有解時(shí)，Ax = b必有解.B. Ax = o有無(wú)窮多解時(shí)，Ax = b有無(wú)窮多解.C. Ax = b無(wú)解時(shí)，Ax = o也無(wú)解.D. Ax = b有惟一解時(shí)，Ax = o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k = ( )A. 2 B. 3 C. -1D. 110.n階對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是( )A. |A|0 B.存在n階方陣C使A=CTCC.負(fù)慣性指標(biāo)為零 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.四階行列式D中第3列元素

4、依次為 -1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則D= 12.若方陣A滿足A2= A，且AE，則|A|=.13.若A為3階方陣，且 ，則|2A|= 14.設(shè)矩陣的秩為2，則t = 15.設(shè)向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)=16.設(shè)n元齊次線性方程組Ax= o，r(A)= r n，則基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為個(gè).17.設(shè)(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是R3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為.18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則A2的特征值為 .19.二次型的矩陣A=.20.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為 .三、計(jì)算題（本大題

5、共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.22.解矩陣方程：.23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示.24.a取何值時(shí)，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.25.已知,求A的特征值與特征向量，并判斷A能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣P，使P 1AP =（對(duì)角形矩陣）26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個(gè)基.線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二（課程

6、代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.若三階行列式=0, 則k = ( ).A1 B0 C-1 D-22.設(shè)A、B為n階方陣,則成立的充要條件是 ( ).AA可逆BB可逆C|A|=|B|DAB=BA3.設(shè)A是n階可逆矩陣,A*是A的伴隨矩陣, 則 ( ).A BC D4.矩陣的秩為2，則 =( ).A2 B1 C0 D5.設(shè)34矩陣A的秩r(A)=1，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為 ( ).ABCD6.向量線性相關(guān),

7、則( ).Ak =-4Bk = 4Ck =-3Dk = 3 7.設(shè)u1, u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解, 若是其導(dǎo)出組Ax=o的解, 則有 ( ).Ac1+c2 =1Bc1= c2Cc1+ c2 = 0Dc1= 2c2 8.設(shè)A為n(n2)階方陣，且A2=E，則必有 ( ).AA的行列式等于1BA的秩等于nCA的逆矩陣等于EDA的特征值均為19.設(shè)三階矩陣A的特征值為2, 1, 1， 則A-1的特征值為( ).A1, 2B2, 1, 1C, 1D, 1, 110.二次型是 ( ).A正定的 B半正定的 C負(fù)定的 D不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的

8、空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.=_12.設(shè)A為三階方陣,且|A|=4，則|2A|=_13.設(shè)A=,B=, 則ATB=_14.設(shè)A=,則A-1=_15.向量表示為向量組的線性組合式為_(kāi)16.如果方程組有非零解, 則k=_17.設(shè)向量與正交，則a=_18.已知實(shí)對(duì)稱矩陣A=,寫(xiě)出矩陣A對(duì)應(yīng)的二次型_19.已知矩陣A與對(duì)角矩陣=相似，則A2=_20.設(shè)實(shí)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)形為_(kāi)三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式的值.22.設(shè)矩陣A=，B=，求矩陣A-1B.23.設(shè)矩陣，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1，2，3.

9、24.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示.25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.26.已知矩陣，求正交矩陣P和對(duì)角矩陣，使P-1AP=.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，證明：向量組也線性無(wú)關(guān).線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.當(dāng)( )成立時(shí)，階行列式的值為零.A.行列式主對(duì)角線上的元素全為零B.行列式中有個(gè)元素等于零C.行列式至少有一個(gè)階子式為零

10、D.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結(jié)論必然成立的是 ( ).A.ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3.設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( ).A. (AB)-1=A-1B-1 B.(A+B)-1=A-1+B-1C.(AB)T=ATBT D. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( ). A. B. C. D.5.設(shè)是4維向量組，則( ).A.線性無(wú)關(guān)B.至少有兩個(gè)向量成比例C.只有一個(gè)向量能由其余向量線性表示D.至少有兩個(gè)向量可由其余向量線性表示6.設(shè)A為mn矩陣，且m0 B.A的每一個(gè)元素都大于零C.D. A

11、的正慣性指數(shù)為n10.設(shè)A，B為同階方陣，且r(A) = r(B)，則 ( ). A. A與B相似 B. A與B合同C. A與B等價(jià) D.|A|=|B|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式.12.設(shè)A為三階矩陣，|A|=-2，將矩陣A按列分塊為，其中是A的第j列，,則|B|=.13.已知矩陣方程AX=B，其中A=，B=，則X=.14.已知向量組的秩為2，則k =.15.向量的長(zhǎng)度=.16.向量在基下的坐標(biāo)為.17.設(shè)是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩r(A)=.18.設(shè)是三階矩陣A的特征值，則a =

12、.19.若是正定二次型，則滿足. 20.設(shè)三階矩陣A的特征值為1,2,3，矩陣B=A2+2A,則|B|=.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣A=，E為三階單位矩陣.求：(1)矩陣A-2E與|A-2E|；(2).22.已知向量組求：(1)向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示.23.討論a為何值時(shí)，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的通解.24.已知向量組，討論該向量組的線性相關(guān)性.25.已知矩陣A=，(1)求矩陣A的特征值與特征向量；(2)判斷A可否與對(duì)角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P與相應(yīng)的對(duì)角形矩陣.2

13、6.設(shè)二次型(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).四、證明題（本大題共6分）27.已知A是n階方陣，且，證明矩陣A可逆，并求線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題四（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.三階行列式，則a = ( ).A. 2 B. 3 C. D. -3 2.設(shè)A，B均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是 ( ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (AB)-1 = B-1A-1C. 若AB= O, 則A=O或B=O

14、 D. |AB| = |A| |B| 3.設(shè)A，B，AB-BA= ( ).A. B. C.D. 4.設(shè)矩陣的秩為2，則 ( ).A. B.t = -4 C. t是任意實(shí)數(shù) D.以上都不對(duì)5.設(shè)向量，則( ).A.(1, 0, 5, 4 ) B.(1, 0, -5, 4) C.(-1, 0, 5, 4) D.(1, 0, 5, -6)6.向量組線性相關(guān),則( ).A. k =-4 B. k = 4 C. k = 3 D. k = 27.設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2也是方程組Ax = b的解，則 ( ).A. c1+c2 =1 B. c1= c2 C.

15、c1+ c2 = 0 D. c1= 2c2 8.設(shè)mn矩陣A的秩r(A) = n-3(n3)，是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系為( ).A. B. C. D.9.設(shè)三階矩陣A的特征值為1，1，2，則2A+E的特征值為( ). A. 3，5 B. 1，2 C.1，1，2 D. 3，3，5 10.n階對(duì)稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是 ( ). A. B.存在n階矩陣P，使得A=PTPC.負(fù)慣性指數(shù)為 D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11. 12.設(shè)A為三階方

16、陣，且|A|=2，A*是其伴隨矩陣，則|2A*| =.13.設(shè)矩陣A，則=.14.設(shè)，則積=.15.若向量不能由線性表示，且r()=2，則r(,)=.16.設(shè)線性方程組有解，則t = .17.方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是.18.設(shè)二階矩陣A與B相似，A的特征值為-1，2，則|B|=.19.設(shè)二次型的矩陣,則二次型.20.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為，則矩陣A的最小特征值為.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算n階行列式.22.解矩陣方程：.23.驗(yàn)證是R3的一個(gè)基，并求向量在此基下的坐標(biāo).24.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，令，試確定向量組的線性相關(guān)性.25.求線性方程組的

17、基礎(chǔ)解系，并表示其通解.26.求矩陣的特征值和全部特征向量.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)是三維向量組，證明：線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任一三維向量都可由它線性表示.線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題五（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.行列式,則k = ( ).A. 1 B. 4 C. -1或4 D. -12.設(shè)A，B，C均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是 ( ).A.若AB=AC，則B=C B. (A-C)2 = A2-2AC+C2C. ABC=

18、BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 3.設(shè)A，B均為n階方陣,則等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要條件是( ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA4.若，則初等矩陣P= ( ).A. B. C. D. 5.設(shè)向量,則 ( ).A. (-1, 3, 8, 9 ) B. (1, 3,8, 9) C. (-1, 0, 8, 6) D. (-1, 3, 9, 8) 6.下列結(jié)論正確的是 ( ). A.若存在一組數(shù)k1, k2, ,km, 使得成立，則向量組線性相關(guān).B.當(dāng)k1 = k2 =km=0時(shí)，則向量組線性無(wú)關(guān).C.若向量線性相關(guān)，則

19、線性相關(guān).D.若向量線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān).7. 設(shè)u1,u2是非齊次線性方程組Ax = b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2是其導(dǎo)出組Ax = o的解，則 ( ).A. c1+ c2 = 0 B. c1= c2 C. c1= 2c2 D. c1+c2 =18.線性方程組Ax=o只有零解的充分必要條件是 ( ).A. A的行向量組線性無(wú)關(guān) B. A的行向量組線性相關(guān)C. A的列向量組線性無(wú)關(guān) D. A的列向量組線性相關(guān)9.設(shè)，則2的特征值為 ( ).A.B.C.D.10. 設(shè)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則二次型的規(guī)形為 ( ).A. B. C. D. 二、填空題（本大題共10

20、小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式. 12.設(shè)A為三階方陣，|A|=2，則 |2A-1| = . 13.設(shè),則2A+B=. 14.設(shè)，則(AB)-1=. 15.向量的單位化向量為. 16.設(shè)向量組的兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組分別是和，r和t的關(guān)系是.17.設(shè)向量組的秩為2，則t = . 18.設(shè)向量與正交，則k =. 19.已知二次型，寫(xiě)出二次型f的矩陣A=. 20.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為3,3,0，則A的秩r(A)=.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式.22.已知矩陣A=，且A+X=XA，求X.23.設(shè)A=，已知

21、r(A)=2，求a, b的值.24.已知線性方程組，(1)問(wèn)常數(shù)a1，a2，a3滿足什么條件時(shí)，方程組有解？(2)當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解(用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).25.設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣A=，求正交矩陣Q，使得Q-1AQ=.其中，是對(duì)角矩陣.26.設(shè)二次型是正定二次型，求a的取值圍.四、證明題（本大題共6分）27. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，可由線性表示，而不能由線性表示.證明：向量組線性無(wú)關(guān).綜合測(cè)試答案綜合試題一參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案BDABBCCDDD二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）1

22、1. -15； 12. 0； 13. 4； 14. t=-3； 15. 0； 16. n-r； 17.(1, 1, 2)； 18. 1，1，4； 19.； 20.1, 2, 3.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解：=x2y2.22.解：令A(yù)=, B=.因?yàn)?AE)=，所以.由AX=B，得：X=A-1B=.23.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對(duì)其進(jìn)行行變換：.所以，極大無(wú)關(guān)組為24.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當(dāng)a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：為自由未知量，令x3=x4=0,得原方程組的一個(gè)特解：.與導(dǎo)出組

23、同解的方程組為：為自由未知量，令分別取，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的全部解為：，其中，c1 ，c2為任意常數(shù).25.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以，A的特征值為：.對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為：對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣A有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以，A相似于對(duì)角矩陣，且. 26.解：=.令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.四、證明題（本題6分）27.證：因?yàn)?，所以線性無(wú)關(guān)（方法多樣），所以向量組是R3空間中的一個(gè)基.綜合試題二參考答案一、單項(xiàng)選擇

24、題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案CDABDCBBDA二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）115 1232 13 1415 16-1 1721819. E 20. 二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21解：原式=22解：方法1得：. 所以，.方法2|A|=，=所以，.方法3 .23解：對(duì)矩陣A施行初等變換：.當(dāng)k=1時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=1；當(dāng)k= -2時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=2；當(dāng)k1且k-2時(shí)，A，矩陣A的秩r(A)=3.24解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換：，所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大

25、無(wú)關(guān)組為：，且有.25解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系：.方程組的通解為：. （c1 , c2為任意常數(shù)）26解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，得矩陣A的所有特征值為：.對(duì)于，求方程組的基礎(chǔ)解系.，得基礎(chǔ)解系為，將此線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，得：.再標(biāo)準(zhǔn)化，得：對(duì)于解方程組.，方程組的基礎(chǔ)解系為，將其單位化，得：.令P=，=，則P是正交矩陣，且P-1AP=.四、證明題（本大題共6分）27.證：令，整理得：因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以，解得：，故線性無(wú)關(guān). 綜合試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分

26、，共20分）題號(hào)12345678910答案DBDBDCDDDC二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 11.24 12.6 13. 14.-2 15.16.(3,-4,3) 17.1 18.1 19. 20.360三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解：(1) A-2E=| A-2E |= -1；(2).22.解：(1)將所給向量按列構(gòu)成矩陣A，然后實(shí)施初等行變換：.所以，向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有.23.解：對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換：.若方程組有解，則，從而a=1.當(dāng)a=1時(shí)，原方程組的通解方程組為：，為自由未知量.令，得原方

27、程組的一個(gè)特解：(0, 1, 0, 0)T.導(dǎo)出組的同解方程組為：，為自由未知量.令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(0, 1, 1, 0)T，(-4, 1, 0, 1)T.所以，方程組的通解為：(0, 1, 0, 0)T+c1(0, 1, 1, 0)T+c2(-4, 1, 0, 1)T，其中，c1，c2為任意常數(shù).24.解：因?yàn)?當(dāng)a=2或a=-6時(shí)，向量組相性相關(guān)；當(dāng)a2且a-6時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān).25.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以，A的特征值為：.對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為：，(c0).對(duì)于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解

28、系：，從而矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣A只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，所以，A不能相似于對(duì)角矩陣. 26.解：(1) 利用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：.令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.(2)由上述標(biāo)準(zhǔn)形知：二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2.四、證明題（本大題共6分）27.證：由，得： A2+2A= -E，從而A(A +2E)= -E, A(-A-2E)= E所以A可逆，且.綜合試題四參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案BDDAABACDD二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11. 2b-4a； 12.

29、 32； 13.； 14. 2； 15. 3； 16. 1；17. 3； 18. -2； 19.； 20. -1三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解：按第一列展開(kāi)，得：原式=22.解：方法1 . 所以，故，=. 解法2 |A|=，=，所以，=. 23解：因?yàn)?，所以是R3的一個(gè)基；令，對(duì)此方程組的增廣矩陣施以初等行變換：，得：，所以，.24解：令,即，整理得：.因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，所以，而此方程組有非零解，所以向量組線性相關(guān). 25.解：對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換：，原方程組的同解方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系：方程組的通解為：（c1 , c2為任意常數(shù)）26.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：，所以A的特征值為.對(duì)于，解方程組，由于，可得方程組的基礎(chǔ)解系為，.故A的對(duì)應(yīng)于特征值2的全部特征向量為(c1,c2不全為零) .四、證明題（本大題共