1、第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例考試要求1.了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向 量夾角的關(guān)系，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性；2.了解一元線性回 歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義，了解最小二乘原理，掌握一元線性 回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件，會(huì)用一元線性回 歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；3.理解2X2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義，了解2X2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及 其應(yīng)用. HYPERLINK 89/ 創(chuàng)新設(shè)計(jì) I知識(shí)衍化體驗(yàn)讒?回顧教林遞夯實(shí)基礎(chǔ)鑿鴛知識(shí)梳理1相關(guān)關(guān)系與回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性 的常用統(tǒng)計(jì)圖

2、是：散點(diǎn)圖；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從_左下角_到_右上角_的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相 關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到 右下角的區(qū)域,兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān) 系稱為負(fù)相關(guān).如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在_一條直線_附近，稱兩個(gè)變量具有 線性相關(guān)關(guān)系.線性回歸方程最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的 距離的平方和最小的方法叫做最 小二乘法.回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(勸，必)，(2，乃)，(Xn,n_ n_ _AAA幾)，其回歸方程為 尹二加+dA 乙仇一朗仇一尹)Zxty-nx y ,貝二E (xx)Z=1AA

3、其中，b是回歸方程的斜率Q是在y軸上的截距.回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(x, y).3回歸分析定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)街，尹1), (x2,尹2)，(X”幾)，其中(兀，刃稱為樣本點(diǎn)的中心.-相關(guān)系數(shù)當(dāng)Q0時(shí)，表明兩個(gè)變量一正相關(guān)_當(dāng)廠0時(shí)，表明兩個(gè)變量_負(fù)相關(guān)廠的絕對(duì)值越接近于1,表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性 越強(qiáng) 廠的絕對(duì)值越接近于0,表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常惻大于_075_時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.n人J (yiyd2、 2相關(guān)指數(shù)心若e廠刃其中E(Vz-；7y是殘差平方和，其值越小，

4、i=l則J?越大(接近1)，模型的擬合效果越好.4.獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量莊來(lái)判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系 ”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類(lèi)變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y, 它們的可能取值分別為可，勺和U1，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2X2列聯(lián)表)為yiy2總計(jì)x1aba+bx2cdc+d總計(jì)a+cb+da+b+c+dn(ad bcf則隨機(jī)變量(Q+b)(d+c)(b+J)(c+J)，其中a+b+c+d 為樣本容量根據(jù)疋的值可以判斷兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類(lèi)變量有關(guān)的把握越大.A根據(jù)回歸方程計(jì)算的尹值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.基礎(chǔ)自測(cè)疑誤辨

5、析1判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“丁”或“ X”)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系()AAA通過(guò)回歸直線方y(tǒng)=bx+a可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢(shì).()因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)()事件X, Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的疋的觀測(cè)值越大()答案丁V (3)X (4)7教材衍化2.（選修2 3P91探究改編）為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校男生150名中有80名近視， 在140名女生中有70名近視在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種 方法最有說(shuō)服力（）回歸分析B.均值與方差C.獨(dú)立性檢驗(yàn)D.概率解

6、析 “近視”與“性別”是兩類(lèi)變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷. 答案C（選修2 3P85講解改編）兩個(gè)變量尹與兀的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們 的相關(guān)指數(shù)莊如下，其中擬合效果最好的模型是（）模型1的相關(guān)指數(shù)莊為0.98模型2的相關(guān)指數(shù)0為0.80模型3的相關(guān)指數(shù)0為0.50模型4的相關(guān)指數(shù)莊為0.25解析 在兩個(gè)變量尹與兀的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)莊越近于1,模擬效果越好， 在四個(gè)選項(xiàng)中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1.答案A考題體驗(yàn)(2019 臨沂模擬)已知變量x和尹的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:34y2.5356744.56AAAA64B.6.25C.6.55D.6.45

7、根據(jù)上表可得回歸直線方程為尹=加一0.25，據(jù)此可以預(yù)測(cè)當(dāng)x=8時(shí)，y=()解析由題意M = 3+4+! + 6+7 = 5,廠2.5 + 3+?+4.5 + 6=4,將點(diǎn)勺代入AAAAAy=bx025,解得6 = 0.85,貝Jj=0.85x0.25,所以當(dāng) x=8 時(shí)，尹=0.85X8 0.25 = 6.55,故選 C.答案C（2015全國(guó)II卷）根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量（單位：萬(wàn)噸） 柱形圖，以下結(jié)論不正確的是（）逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)2006年以

8、來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)解析對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正 確.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對(duì)于C 選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以 C正確.由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D不正確.答案D（2019天津和平區(qū)檢測(cè)）某校為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度（支持與不支持）的關(guān)系，運(yùn)用2X2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2 = 6.705,則所得到的統(tǒng)計(jì)學(xué)結(jié)論是：有的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)沒(méi)有關(guān)系”.（）P 心 k)0

9、.1000.0500.0250.0100.001ko2.7063.8415.0246.63510.82899.9%B.99%C.l%D.0.1%解析因?yàn)?.6356.70510.828,因此有1%的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)沒(méi) 有關(guān)系”，故選C.答案CI考點(diǎn)聚焦突破蠹熏霾矗窪窪勞類(lèi)講練讒以例求法鑿誇考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷 二其中兩個(gè)變量X,歹具有相關(guān)關(guān)系的圖是（）A.B.C.D.(2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分 析方法分別求得相關(guān)系數(shù)廠與殘差平方和加如下表：甲乙丙7r0.820.780.690.85m106115124103則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)/，

10、B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性()A. 甲B.乙C. 丙D. 丁解析(1)由散點(diǎn)圖知中的點(diǎn)都分布在一條直線附近.中的點(diǎn)都分布在一條曲線 附近，所以中的兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系.(2)在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,相關(guān)性 越強(qiáng)，在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有 丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相 關(guān)性.答案(1)C (2)D規(guī)律方法1.散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就 有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系. 若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的

11、區(qū)域，則正相關(guān).利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)岡越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù) 越大，相關(guān)性越強(qiáng).若Q0,則正相關(guān)；廠0時(shí)，正相關(guān)；農(nóng)0時(shí)，負(fù)相關(guān).【訓(xùn)練1】已知變量兀和尹滿足關(guān)系y=0.1x+1,變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的 是（）x與y正相關(guān)，x與二負(fù)相關(guān)x與y正相關(guān)，x與二正相關(guān)x與y負(fù)相關(guān)，x與二負(fù)相關(guān)x與y負(fù)相關(guān)，x與二正相關(guān)(2)兀和尹的散點(diǎn)圖如圖所示，3 0002 500則下列說(shuō)法中所有正確命題的序號(hào)為2 0001 5001 000500 1111111IY*012345 678 9 10 %X,尹是負(fù)相關(guān)關(guān)系；AAA在該相關(guān)關(guān)系中，若用y=c1eC2X擬合時(shí)的相關(guān)

12、指數(shù)為用，用尹=加+擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為用，則用7&兀，尹之間不能建立線性回歸方程.解析 由y=O.lx+1,知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān), 所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以邪隨:的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān).(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x, p是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故AAA正確；由散點(diǎn)圖知用y=c擬合比用y=bx擬合效果要好，則用用,故 正確；x,，之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故錯(cuò)誤.答案(1)C (2)考點(diǎn)二，線性回歸方程及應(yīng)用【例2】（2019日照調(diào)研）某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款

13、（年底余額），如下表1：年份兀20132014201520162017儲(chǔ)蓄存款X千億元）567810表1為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t=x2 012, z=y5得到下表2：時(shí)間代號(hào)t12345z01235表2(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；通過(guò)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少?n_ _a a aa y-nxy A _ A_(附：對(duì)于線性回歸方程其中b=, a=y bx)p 2_2Lx】nxZ-lAA _a = zbt =“一一5解(1)/ = 3, z = 2.2, 佃=45,2.2 3X1.2= 1.4

14、,所以z= 1.2/-1.4.AA(2)將/=x2 012, z=y5,代入z=1.2/1.4,得尹一5 = 1,2(x2 012)1.4,即尹=1.2x2 410.8.A因?yàn)?.2X2 0222 410.8=156所以預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)15.6千億元.AA規(guī)律方法1.(1)正確理解計(jì)算b, Q的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵.AAA_(2)回歸直線方程尹=&t+q必過(guò)樣本點(diǎn)中心(兀，尹).2.(1)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè).(2)對(duì)于非線性回歸分析

15、問(wèn)題，應(yīng)先進(jìn)行變量代換， 求出代換后的回歸直線方程， 再求非線性回歸方程.【訓(xùn)練2】（2018全國(guó)II卷）如圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額尹（單位: 億元）的折線圖.為了預(yù)測(cè)該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了 y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性 回歸模型.根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量（的值依次為1, 2,，17）建立A模型:30.4+13.51；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次為1,2,，7）建立模型：j=99+17.5/.（1）分別利用這兩個(gè)模型，求該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值；（2）你認(rèn)為用哪個(gè)模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠？并

16、說(shuō)明理由.解（1）利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為尹=30.4 + 13.5X19=226.1（億元）.A利用模型，該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測(cè)值為歹=99+17.5X9 = 256.5（億元）.利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.理由如下：（i）從折線圖可以看出，2000年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)沒(méi)有隨機(jī)散布在直線j = 30.4+13.5/上下，這說(shuō)明利用2000年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型不能 很好地描述環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的趨勢(shì).2010年相對(duì)2009年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額 有明顯增加,2010年至2016年的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于一條直線的附近，這說(shuō)明從

17、2010 年開(kāi)始環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化規(guī)律呈線性增長(zhǎng)趨勢(shì)，利用2010年至2016年的數(shù)據(jù)建立的線性模型尹=99+17.5/可以較好地描述2010年 以后的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的變化趨勢(shì)，因此利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.(ii)從計(jì)算結(jié)果看，相對(duì)于2016年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額220億元，由模型得到 的預(yù)測(cè)值226.1億元的增幅明顯偏低，而利用模型得到的預(yù)測(cè)值的增幅比較合理， 說(shuō)明利用模型得到的預(yù)測(cè)值更可靠.以上給出了 2種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)【例3】（2019湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考）環(huán)境問(wèn)題是當(dāng)今世界共同關(guān) 注的問(wèn)題，我國(guó)環(huán)?？偩指?/p>

18、據(jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：空氣污染指數(shù)(0， 50(50，100(100， 150(150， 200(200，300(300,+)空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開(kāi)始考察了連續(xù)六年11月份的空 氣污染指數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經(jīng)過(guò)分析研究，決定從2016年11月1日起在 空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)重污染的日子對(duì)機(jī)動(dòng)車(chē)輛限號(hào)出行，即車(chē)牌尾號(hào)為單號(hào)的車(chē) 輛單號(hào)出行，車(chē)牌尾號(hào)為雙號(hào)的車(chē)輛雙號(hào)出行（尾號(hào)是字母的，前13個(gè)視為單號(hào)， 后13個(gè)視為雙號(hào)）.王先生有一輛車(chē)，若11月份被限行的概率為0.05.求頻率分布直方圖中

19、加的值；若按分層抽樣的方法，從空氣質(zhì)量良好與中度污染的天氣中抽取6天，再?gòu)倪@6 天中隨機(jī)抽取2天，求至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率；該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車(chē)尾氣排放對(duì)空氣質(zhì)量的影響，對(duì)限行兩年來(lái)的11月份 共60天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如下表：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)112711731根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計(jì)算并填寫(xiě)2X2列聯(lián)表，并回答是否有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車(chē)尾氣的排放有關(guān).空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前限行后總計(jì)參考數(shù)據(jù):P 心 k)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8

20、415.0246.6357.879參考公式：宀（卄冊(cè)+如+艸+疔其中n=a+h+c+d-_解（1）因?yàn)橄扌蟹謫坞p號(hào)，王先生的車(chē)被限行的概率為0.05, 所以空氣重度污染和嚴(yán)重污染的概率應(yīng)為0.05X2 = 0.1,由頻率分布直方圖可知（0.004 + 0.006 + 0.005+加）X 50 + 0.1 = 1，解得m = 0.003.因?yàn)榭諝赓|(zhì)量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3 : 0.15 = 2 : 1,按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質(zhì)量良好的天氣被抽取的有4天，記作厶, 力2，A3，A4，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，記作Bi，B2，從這6天中隨機(jī)抽取2天，所包含的基本

21、事件有（Ai，A2）, （Ai，A3），（Ai，A4），（Ai， Bi），（A1， B2），（A2， A3），（A2， A4），（A2， Bl），（A2， B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3,B2），（A4, Bl），（A4, b2），（Bl，B2），共 15個(gè)，記事件A為“至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染”，則事件A所包含的事件有（Ai，Bi）, （A1， B2），（A2， Bi），（A2， B2），（A3，Bi），（A3，B2），（A4， Bi），（A4， B2），（Bi，B2），共9個(gè)，933故即至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率為g.(3)2X2列聯(lián)表如下:空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前9090180限行后382260總計(jì)1281122402由表中數(shù)據(jù)可得，2 =240X (90X22 90X38)180X60X128X1123.2142.706,所以有 90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車(chē)尾氣的排放有關(guān).規(guī)律方法1.在2X2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad-bc