1、2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、設(shè)，若直線和橢圓有公共點，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.、四面體的六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、若對所有實數(shù)，均有，則（ ）. 、；、；、；、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當時，的值（ ）、必為無理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無理數(shù)或有理數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對于以下兩個命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對乙錯； B. 甲錯乙對； C.甲乙都對； D.甲乙都不一定對.二、填空題（每小題分

2、，共分）、過點作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點恰為，則直線的方程為 .、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .、四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 、 .、數(shù)列滿足：，且對每個，是方程的兩根，則 .、從前個正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負實數(shù)，滿足，證明：、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）試確定集共有多少個“等和劃分”2008年全國高

3、中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西省預(yù)賽試題解答一、選擇題（每小題分,共分）、若函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（ ）. 、 ；、；、；、答案：解：欲使的值域為，當使真數(shù)可取到一切正數(shù)，故或者；或者且，解得、設(shè)，若直線和橢圓有公共點，則的取值范圍是（）.、； 、； 、； 、.答：解：將代入橢圓方程并整理得，因直線和橢圓有公共點，則判別式，利用，化簡得，所以即、四面體的六條棱長分別為，且知，則 .、； 、； 、； 、答案：.解：四面體中，除外，其余的棱皆與相鄰接，若長的棱與相鄰，不妨設(shè)，據(jù)構(gòu)成三角形條件，可知，于是中，兩邊之和小于第三邊，矛盾。因此只有.另一方面，使的四面體可作出，例如取.故選 、若對所有實數(shù)，均有

4、，則（ ）. 、；、；、；、答： .解：記 ，則由條件，恒為，取，得，則為奇數(shù)，設(shè)，上式成為，因此為偶數(shù)，令，則，故選擇支中只有滿足題意、設(shè)，是的小數(shù)部分，則當時，的值（ ）、必為無理數(shù)；、必為偶數(shù)；、必為奇數(shù)；、可為無理數(shù)或有理數(shù)答：解：令，則，是方程的兩根，則，所以當時，令，則當時，故所有為偶數(shù)，因，所以為的小數(shù)部分，即，奇數(shù)、設(shè)為正整數(shù)，且與皆為完全平方數(shù)，對于以下兩個命題：（甲）.必為合數(shù)；（乙）.必為兩個平方數(shù)的和.你的判斷是（ ）A.甲對乙錯； B. 甲錯乙對； C.甲乙都對； D.甲乙都不一定對.答案:解：設(shè)，為正整數(shù)；則 eq oac(,1)，由此知，為正整數(shù)，且，因為若，則，

5、即，則，記，得不為平方數(shù)，矛盾！所以，故由 eq oac(,1)得，為合數(shù)；又因為，故選.（例如是上述之一）.二、填空題（每小題分，共分）、過點作直線，使得它被橢圓所截出的弦的中點恰為，則直線的方程為 .答案：解：設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，整理得，設(shè)其兩根為，則， 即，所以直線的方程為，即、設(shè)，則函數(shù)的最小值為 .答案：.解：如圖，取為數(shù)軸原點，再作垂線，使，在數(shù)軸上取點，使 ，則，當共線時，值最小，此時.、四面體中，面與面成的二面角，頂點在面上的射影是的垂心，是的重心，若，則 答案：解：設(shè)面交于，則因，故在上，且，于是，在三角形中，由余弦定理得、 .答案：解：，所以 、數(shù)列滿足：，且對每

6、個，是方程的兩根，則 .答：解：對每個， eq oac(,1)， eq oac(,2)，將 eq oac(,1)寫作，因此是一個公比為的等比數(shù)列，故 ，即，；于是；、從前個正整數(shù)構(gòu)成的集中取出一個元子集，使得中任兩數(shù)之和不能被這兩數(shù)之差整除，則的最大值為 答案：.解：首先，我們可以取元集，中任兩數(shù)之和不能被整除，而其差是的倍數(shù)；其次，將中的數(shù)自小到大按每三數(shù)一段，共分為段：從中任取個數(shù)，必有兩數(shù)取自同一段，則或，注意與同奇偶，于是因此的最大值為.三、解答題：、（分）是直角三角形斜邊上的高，（），分別是的內(nèi)心，的外接圓分別交于，直線交于點；證明：分別是的內(nèi)心與旁心證：如圖，連，由，則圓心在上，設(shè)

7、直徑交于，并簡記的三內(nèi)角為，由，所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故與重合，即圓心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的內(nèi)心，是的旁心證二：如圖，因為，故的外接圓圓心在上，連，則由為內(nèi)心知， 所以，于是四點共圓，所以，又因，因此點在上，即為與的交點設(shè)與交于另一點，而由，可知，分別為的中點，所以，因此，點分別為的內(nèi)心與旁心、（分）設(shè)為非負實數(shù)，滿足，證明：簡證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個為；據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則，對正數(shù)作調(diào)整，由于 ，取等號當且僅當，此時條件式成為，則，且有，于是，只要證，即，也即，此為顯然，取等號當且僅當，故命題得證詳證：為使所證式有意義，三數(shù)中至多有一個

8、為；據(jù)對稱性，不妨設(shè)，則；、當時，條件式成為，而，只要證，即，也即，此為顯然；取等號當且僅當、再證，對所有滿足的非負實數(shù)，皆有顯然，三數(shù)中至多有一個為，據(jù)對稱性，仍設(shè)，則，令，為銳角，以為內(nèi)角，構(gòu)作，則，于是，且由知，；于是，即是一個非鈍角三角形下面采用調(diào)整法，對于任一個以為最大角的非鈍角三角形，固定最大角，將調(diào)整為以為頂角的等腰，其中，且設(shè)，記，據(jù)知，今證明，即 eq oac(,1)即要證 eq oac(,2)先證 eq oac(,3)，即證 ，即 ，此即 ，也即，即 ，此為顯然由于在中，則；而在中，因此 eq oac(,2)式成為 eq oac(,4)，只要證， eq oac(,5)，即證

9、 ，注意 eq oac(,3)式以及，只要證，即，也即 eq oac(,6)由于最大角滿足：，而，則，所以，故 eq oac(,6)成立，因此 eq oac(,5)得證，由 eq oac(,3)及 eq oac(,5)得 eq oac(,4)成立，從而 eq oac(,1)成立，即，因此本題得證、（分）對于元集合，若元集，滿足：，且，則稱是集的一個“等和劃分”（與算是同一個劃分）試確定集共有多少個“等和劃分”解一：不妨設(shè)，由于當集確定后，集便唯一確定，故只須考慮集的個數(shù)，設(shè)，為最大數(shù)，由，則，于是 ，故中有奇數(shù)個奇數(shù)、若中有個奇數(shù)，因中的六個奇數(shù)之和為，而，則，這時得到唯一的；、若中有個奇數(shù)、兩個偶數(shù)；用表示中這兩個偶數(shù)之和；表示中這三個奇數(shù)之和，則，于是共得的種情形其中，、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形；、當，則，；可搭配成的個情形、若中有一個奇數(shù)、四個偶數(shù)，由于中除外，其余的五個偶數(shù)和，從中去掉一個偶數(shù)，補加一個奇數(shù)，使中五數(shù)之和為，分別得到的個情形：綜合以上三步討論，可知集有種情形，即有種“