1、1、證明線段相等或角相等兩條線段或兩個(gè)角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關(guān)系。很多其它問題最后都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質(zhì)，其它如線段中垂線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等也經(jīng)常用到。例1.已知：如圖1所示，ABC中，ZC，90,AC，BC,AD，DB,AE，CF。求證：DE=DF分析：由ABC是等腰直角三角形可知，ZA，ZB，45,由D是AB中點(diǎn)，可考慮連結(jié)CD,易得CD，AD，ZDCF，45。從而不難發(fā)現(xiàn)DCFDAE證明：連結(jié)CDAC，BCZA，ZBZACB，90，AD，DB:.CD，BD，AD，ZDCB，Z

2、B，ZAAE，CF，ZA，ZDCB,AD，CD:.ADECDF:.DE，DF說明：在直角三角形中，作斜邊上的中線是常用的輔助線；在等腰三角形中，作頂角的平分線或底邊上的中線或高是常用的輔助線。顯然，在等腰直角三角形中，更應(yīng)該連結(jié)CD，因?yàn)镃D既是斜邊上的中線，又是底邊上的中線。本題亦可延長(zhǎng)ED到G,使DG=DE，連結(jié)BG,證EFG是等腰直角三角形。有興趣的同學(xué)不妨一試。例2.已知：如圖2所示，AB=CD,AD=BC,AE=CF。求證：ZE=ZFAB=CD,BC=AD,AC=CA,ABC=CDA(SSS),B=DAB=CD,AE=CF,BE=DF在BCE和DAF中,BE=DFAC。求證：BDDC

3、,DCE,B:.,DCE,E:.DEDC,:.BDDC證明二：如圖10所示，在AB上截取AF=AC,連結(jié)DFA12圖10則易證ADFADC:.,3=,4,DF=DCBFD,3,4,B,BFD,B:.BDDFBDDC說明：在有角平分線條件時(shí)，常以角平分線為軸翻折構(gòu)造全等三角形，這是常用輔助線【實(shí)戰(zhàn)模擬】1.已知：如圖11所示，ABC中，,C=90,D是AB上一點(diǎn)，DE丄CD于D,交BC1于E,且有AC=AD=CE。求證：DE=亍CD3.已知：如圖13所示，過ABC的頂點(diǎn)A,在ZA內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC的中點(diǎn)。求證：MP=MQAMPB圖13AC+BC)14.ABC中，ZBAC，90。,ADBC于D,求證：AD(AB+4/.Z4Z3ACCEAACF仝ACED(ASA)CFED:.DE1CD22.分析：本題從已知和圖形上看好象比較簡(jiǎn)單，但一時(shí)又不知如何下手，那么在證明一條線段等于兩條線段之和時(shí)，我們經(jīng)常采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的手法?！敖亻L(zhǎng)”即將長(zhǎng)的線段截成兩部分，證明這兩部分分別和兩條短線段相等；“補(bǔ)短”即將一條短線段延長(zhǎng)出另一條短線段之長(zhǎng)，證明其和等于長(zhǎng)的線段。E證明：延長(zhǎng)CA至E,使CE=CB，連結(jié)ED在ACBD和ACED中，CBCE/BCDZECDCDCD:.ACBD仝ACED/