1、第十三節(jié)【最新考綱】定積分與微積分基本定理(理科用)1了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2了解微積分基本定理的含義.夯實雙基II基礎梳理定積分的概念與幾何意義(1定積分的定義如果函數(shù)于(工)在區(qū)間譏上連續(xù)，用分點將區(qū)間債加等分成觀個小區(qū)間*在每個小區(qū)間上任取一點山)，作和式當xfg時上jL1?1述和式無限接近某個常數(shù)中這個常數(shù)叫做函數(shù)于(工在區(qū)0b間口上的定積分*記作/()djLEP，A-即f(刃山Jd=1JI(2)定積分的幾何意義當f(x)0時，定積分/：f(x)dx表示由直線x=a.x=b(azb).y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.當f(x)在a.

2、b上有正有負時，如圖所示，則定積分/bf(x)dx表示介于x軸，曲線y=f(x)以及直線x=a.x=b(aMb)之間各部分曲線梯形面積的代數(shù)和，即/af(x)dx=Ai+A3A?A4.定積分的性質(zhì)/bkf(x)dx=k/bf(x)dx(k為常數(shù))./bf1(x)(x)dx=/bfdx)dx士/Obfxldx./bf(x)dx=/Jf(x)dx+/Cf(x)dx(其中acb).3.微積分基本定理一般地，如果f(x)是在區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，且F(x)=f(x),那么/f(x)dx=F(b)F(a)，這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓一萊布尼茨公式.b為了方便，常把F(b)F(a)記作F(x

3、)廠,即arbb/bf(x)dx=F(x)=F(b)F(a).a學情自測(質(zhì)疑夯基)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“”，錯誤的打“X”)設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則/bf(x)dx=/bTOCo1-5hzf(t)dt()若f(x)是偶函數(shù)，貝y/aaf(x)dx=2/0f(x)dx()若f(x)是奇函數(shù)，貝y/aaf(x)dx=0.()曲線y=x2與y=x所圍成的面積是/：(x2x)dx()答案：(1)(2)V(3)V(4)X已知質(zhì)點的速率v=10t,則從t=0到t=to質(zhì)點所經(jīng)過的路程是()A.10t0B.52Ot5-3D2Ot5-3D解析:S=J0vdt=”0loM/=5r答案

4、：B(2015湖南卷)/0(x1)dx=.解析：/o(x1)dx=2Xx|0=222=0.答案：0(2015天津卷)曲線y=x2與直線y=x所圍成的封閉圖形的面積為.解析：如圖，陰影部分的面積即為所求.y=x2,由得A(1,1).y=x,故所求面積為S=/0(xx2)dx=；x2護J|0=61答案：1若/Tx2dx=9,則常數(shù)T的值為.i1、T3解析：丁/Jx2dx=3X3lT=3=9,二T=3.答案：3名師微博通法領悟一種關系由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求被積函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導與積分是互為逆運算的關系.兩種方法求定積分的兩種常用方法：一是利用微積分基本定理；二是利用定積分的

5、幾何意義.四點注意被積函數(shù)若含有絕對值號，應先去絕對值號，再分段積分.若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量.定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限.定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負.高效提龍1高效提龍1一、選擇題1.（2014東卷）直線y=4x與曲線y=x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為（）A.22B.42C.2D.4解析：令4x=x3,解得x=0或x=也，S=/o（4xx3）=2x2：|0=84=4.答案：D2.從空中自由下落的一物體，在第一秒末恰經(jīng)過電視塔頂，在第二秒末物體落地，已知自由落體的運動速度為v=gt（g為常

6、數(shù)），則電視塔高為()1B.g3D.2g解析：電視塔咼h=/2gtdt=It211=；g.答案：Cx0 x+丿o3t2dtf(f(1)=1,則a的值為()B.2解析：因為f(1)=lg1=0,f(0)=/a3t2dt=t3|a=a3,所以由f(f(1)=1得：a3=1,a=1.答案：A4.(2015福建卷改編)如圖，點A的坐標為(1,0),點C的坐標為(2,4)，函數(shù)f(x)=x2若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()B12B12C.3解析：S=j2(4x2)dx=134xX251=3,S所求概率P=S矩形5=L=_5ABCD1X412答案：B5.若S1=j2x2dx,

7、S2=j2dx,S3=j1exdx,則S1,S2,S3的大小關系為（）A.S1VS2VS3B.S2VS1VS3C.S2VS3VS1D.S3VS2VS1解析：S1=j2x2dx=Jx311=3X23=3,S2=jgdx=Inx|1=In2，S3=j2exdx=ex|2=e2e=e(e1)，In2vlne=1，且v25ve(e-1).所以In23e(e-1),即卩S2Si0,若曲線y=.x與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,貝Sa=.解：求曲線y=x與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積,封閉圖形如圖所示,設變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸正向從x=1運動到x=10,已知F(x

8、)=x2+1且方向和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為J(x的單位：m,力的單位：N).解析：變力F(x)=x2+1使質(zhì)點M沿x軸正向從x=1運動到x=10所做的功為W=/10F(x)dx=/10(x2+1)dx1310=3x3+x|10=342(J).答案：342三、解答題10.設函數(shù)f(x)=ax2+c(az0),/0f(x)dx=f(x0),0 x01,求X0的值.解：/0f(x)dx=/0(ax2+c)dxax3CT+cx,iax3CT+cx,i1a,0=3+c，故a+c=ax0+c,即ax2=3，又a0,所以x0=1又0wxo0）,由圖易知（5,2）在拋物線上,1(1II

9、IV2m#2m0X可得P=竽，拋物線方程為x2=務,所以當前最大流量對應的截面面積為2/5(2-25x2)d2/5(2-25x2)d40 x=3，2X（6+10）原始的最大流量對應的截面面積為（6+）=16.所以原始的最大流量與當前最大流量的比值為40=.3uj導數(shù)應用中的高考熱點題型高考導航函數(shù)是中學數(shù)學的核心內(nèi)容，而導數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，導數(shù)的應用是歷年高考的重點與熱點，常涉及的問題有：求單調(diào)區(qū)間、求極值、求最值、求函數(shù)的零點或方程的根、求參數(shù)的范圍，證明不等式等，涉及到的數(shù)學思想方法有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.中、高檔難度題型均有.熱點突破熱點1利用導

10、數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值問題.函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念，函數(shù)的最值是整體概念，研究函數(shù)的性質(zhì)，必須在定義域內(nèi)進行，因此，務必遵循定義域優(yōu)先的原則，本熱點主要有三種考查方式：(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍.列菸(2015課標全國H卷)已知函數(shù)f(x)=Inx+a(1x).討論f(x)的單調(diào)性；當f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍.1解:(1)f(x)的定義域為(0,+乂),f(x)=xa.當a0所以f(x)在(0,+乂)上單調(diào)遞增.若a0,則當x0,時，f(x)0;當xl】，+*時，f(

11、x)0a.丿ri所以f(x)在(0,上單調(diào)遞增，在+8上單調(diào)遞減.由知，當30時，f(x)在x=a處取得最大值，最大值為a1fa=InT+彗a丿1=Ina+a1.因此fa2等價于Ina+a10.令g(a)=Ina+a1,貝Sg(a)在(0,+8)上單調(diào)遞增，g(1)=0.于是，當0a1時，g(a)1時，g(a)0.因此，a的取值范圍是(0,1).規(guī)律方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值等問題，最終歸結(jié)到判斷廠(的符號問題上，而f(x)或f(x)_1T(31)1(1,+oo)十00極大值極小值所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一X,3)和(1,+x)；、(1、f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是3，1(

12、3)函數(shù)g(x)=(f(x)x3)ex=(x2x+c),有g(shù)，(x=(2x1)ex+(x2x+c)ex=(x23x+c1)ex,因為函數(shù)g(x)在x3,2上單調(diào)遞增，所以h(x)=x23x+c10在x3,2上恒成立.只要h(2)0,解得c11,所以c的取值范圍是11,+乂).熱點2利用導數(shù)研究函數(shù)的零點或曲線交點問題研究函數(shù)零點的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值的正負，為此，我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來解決，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點、圖象交點的個數(shù)；(2)由函數(shù)的零點、圖象交點的情況求參數(shù)的取值范圍.設函數(shù)f(x)=Inx+m,mR.當m=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))時，求f(x)的極小值；

13、x討論函數(shù)g(x)=f(x)3零點的個數(shù).exe解：(1)由題設，當m=e時，f(x)=Inx+x，則f(x)x2，由f(x)0,得x=e.當x(0,e),f(x)0,f(x)在(e,+=)上單調(diào)遞增，e當x=e時，f(x)取得極小值f(e)=Ine+e=2,f(x)的極小值為2.x1mx(2)由題設g(x)=f(=-壬-3(x0),1令g(x)=0,得m=3X3+x(x0).1設(x=-3X3+x(x0),則=)-x2+1=(x-1)(x+1),當x(0,1)時，(x)0,(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當x(1,+乂)時，(x)3時,2當m3時,2當m=3時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點；2

14、當0vm3時，函數(shù)g(x)有兩個零點；當m3時，函數(shù)g(x)無零點；2當m=3或m0時，函數(shù)g(x)有且只有一個零點;2當0m3時，函數(shù)g(x)有兩個零點.規(guī)律方法用導數(shù)研究函數(shù)的零點，常用兩種方法：一是用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點存在性定理判斷；二是將零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來解決.【變式訓練】已知函數(shù)/（工）=*14工0.（1）求的單調(diào)區(qū)間;（2）若在工=1處取得極值，直線與f（工）的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍.解析；（1）由已知得、f（Q=3x23a=3（j?za）f當a0,此時/G）的單調(diào)區(qū)間為（一+當0時解得工麗由t解得一此時/（工）的單調(diào)增區(qū)間為

15、（一8,掐幾/（工）的單調(diào)減區(qū)間為（一品忌.（2）因為于（小在,r=-l處取得極值，所以/（1）=3X（I）23=0,所以a=lt所以/（x）=jr3-3x1,/（jc）=3jt2-3.由于（才）=0,解得文1=一1,心=1”由（1）可知/（文）在工=一1處取得極大值/（-1）=1,在工=1處取得極小值/（1）=一:丄因為直線y=m與函數(shù)/Xz）的圖象有三個不同的交點*又/（-3）=-191,結(jié)合于（2的單調(diào)性甲可知朋的取值范圍是（-3,1）.熱點3利用導數(shù)研究不等式問題（滿分現(xiàn)場）導數(shù)在不等式中的應用問題是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題.歸納起來常見的命題角度

16、有：（1）證明不等式；不等式恒成立問題；（3）存在型不等式成立問=e2xalnx.=e2xalnx.題.（理）（2015課標全國I卷）（本小題滿分12分）設函數(shù)f（x）（1）討論f（x）的導函數(shù)f（零點的個數(shù);2(2)證明：當a0時，f(x)2a+aln一a規(guī)范解答：(1)f(x)的定義域為(0,+乂),f(x)=2e2x：(x0)2分當a0,f(x)沒有零點；3分當a0時，設u(x)=e2x,v(x)=:,a因為u(x)=e2x在(0,+乂)上單調(diào)遞增，v(x)=在(0,+乂)上單調(diào)遞增.所以f(在(0,+乂)上單調(diào)遞增.a1又f(a)0當b滿足0vbv；且b4時，f(b)0時，f(x)存在

17、唯一零點.6分(2)證明：由(1),可設廠(在(0,+乂)上的唯一零點為xo，當x(0,xo)時,f(x)0.故f(x)在(0,X。)上單調(diào)遞減，在(Xo,+乂)上單調(diào)遞增，所以當x=x0時，f(x)取得最小值，最小值為f(x).9分由于2e2x0=0,X0a22所以f(x0)=+2ax0+aln2a+aln.2x0aa2故當a0時，f(x)2a+aln.12分a【滿分規(guī)則】(1)本題易失分點是忽視f(x)的定義域；忽視當a0的情況；求解使f(b)v的b所滿足的約束條件；用f(X=0,求解f(xo)的表達式.(2)得滿分的原則討論函數(shù)的性質(zhì)應首先求出函數(shù)的定義域；當解析式中含有參數(shù)時，應注意分

18、類討論；準確計算，正確推理、論證，并用規(guī)范的文字語言、符號語言進行表述.【構(gòu)建模板】第一步：求函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)第二步：分類討論廠(的單調(diào)性；第三步：判斷廠(零點的個數(shù)；第四步：證明f(x)在f(x)零點取到最小值.第五步：求出f(x)最小值的表達式，證明結(jié)論成立；第六步：反思回顧，查看關鍵點、易錯點和解題規(guī)范.【變式訓練】1一a(2014課標全國I卷)設函數(shù)f(x)=alnx+廠x2bx(a1),曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線斜率為0.求b；a若存在xo1,使得f(xo)v，求a的取值范圍.a1解：(1)f快+(1a)xb.由題設知f(尊0,解得b=1.(2)f(x)的

19、定義域為(0,+乂),由(1)知，f(x)=alnx+lyx2x,a1aaif(x)=x+(1a)x11x1a丿(xi)-a若a2，則0,f(x)在1a(1,+x)上單調(diào)遞增.所以，存在xo1,使得f(xo)a彳的充要條件為a1f(1)aa11aa1解得一21a21.1a若za1,(a、故當x1,二時，f(x)0.(ay(a、f(x)在j,上單調(diào)遞減，在e單調(diào)遞增.a所以存在xo1,使得f(Xo)v勺充要條件為a1a)aTOCo1-5hzf彳七，所以不合題意.燈一a丿1a2(1a)a1a11aa1a若a1,則f(1)=1=2Vg恒成立，所以a1綜上，a的取值范圍是(一21,21)U(1，+乂)

20、.總盤燼高效提能I獺壟訓肆獻冊(2014課標全國H卷)已知函數(shù)f(x)=exe_x-2x.討論f(x)的單調(diào)性；設g(x)=f(2x)4bf(x)，當x0時，g(x)0,求b的最大值.解：(1)f兇ex-ex20,等號僅當x=0時成立，所以f(x)在(x,+x)上單調(diào)遞增.(2)g(x)=f(2x)4bf(x)=e2xe2x4b(ex+ex)+(8b4)x,gf(x)=2e2x+e2x2b(ex+ex)+(4b2)=2(ex+ex2)(ex+ex2b+2).當b0,等號僅當x=0時成立，所以g(x)在(00，+00)單調(diào)遞增.而g(0)=0,所以對任意x0,g(x)0;當b2時，若x滿足2ex

21、+ex2b2,即0vxvln(b1+b22b)時,g(x)0.而g(0)=0,因此當0 xvln(b1+b22b)時,g(x)0綜上，b的最大值為2.已知函數(shù)f(x)=ex(x2+axa),其中a是常數(shù).當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程；若存在實數(shù)k,使得關于x的方程f(x)=k在0,+o)上有兩個不相等的實數(shù)根，求k的取值范圍.解：由f(x)=ex(x2+axa)可得ff(x)=exx2+(a+2)x.當a=1時，f(1)=e,f(1)=4e.所以曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為ye=4e(x1),即y=4ex3e.(2)令f(x)exx2+(a+

22、2)x=0,解得x=(a+2)或x=0.當一(a+2)2時，在區(qū)間0,+乂)上,f(x)0,所以f(x)是0,+乂)上的增函數(shù)，所以方程f(x)=k在0,+乂)上不可能有兩個不相等的實數(shù)根.當(a+2)0,即a,00+aa+4etf+2由上表可知函數(shù)f(x)在0,+乂)上的最小值為a+4f(a+2)=ea+2因為函數(shù)f(x)是(0，(a+2)上的減函數(shù)，是(一(a+2)，+乂)上的增函數(shù)，且當xa時，有f(x)ea(a)a,又f(0)=a.所以要使方程f(x)=k在0,+乂)上有兩個不相等的實數(shù)根，則(a+41k的取值范圍是a,a.x,求a的取值范圍.解：(1)當a=1時，f(x)=x2Inx

23、x,(2x+1)(x1)f(x)=當x(0,1)時，f(x)0.所以f(x)的最小值為f(1)=0.由f(x)x,得f(x)x=x2lnx(a+1)x0.由于x0,所以f(x)x等價于x聽a+1.2Inxx1+Inx令g(x)=xx，貝Ug(x)x2當x(0,1)時，g(x)0.故g(x)有最小值g(1)=1.故a+11，即a的取值范圍是(一乂，0).4.已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx的圖象在點x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.求實數(shù)a的值；f(x)若kZ,且k1恒成立，求k的最大值.x1解：(1)因為f(x)=ax+xlnx,所以f(x)a+Inx+1.因為函數(shù)f(x)=ax+xlnx的圖象在點x=e處的切線斜率為3,所以fe(=3,即