1、第一章 矢量(shling)分析1共五十頁本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)1.2 常用正交曲線坐標(biāo)系1.3 標(biāo)量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流和旋度1.6 無旋場與無散場(sn chng)1.7 拉普拉斯運(yùn)算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理2共五十頁1. 標(biāo)量(bioling)和矢量矢量的大小或模：矢量(shling)的單位矢量(shling)：標(biāo)量：一個(gè)只用大小描述的物理量。矢量的代數(shù)表示：1.1 矢量代數(shù)矢量：一個(gè)既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示：一個(gè)矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。 矢量的幾何表示

2、常矢量：大小和方向均不變的矢量。 3共五十頁矢量(shling)用坐標(biāo)分量表示zxy4共五十頁（1）矢量(shling)的加減法 兩矢量的加減(ji jin)在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運(yùn)算 矢量的加法矢量的減法 在直角坐標(biāo)系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律交換律5共五十頁（2）標(biāo)量(bioling)乘矢量（3）矢量(shling)的標(biāo)積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)積符合交換律q矢量 與 的夾角6共五十頁（4）矢量(shling)的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積用坐標(biāo)(zubio)分量表示為寫成行列式形式為若 ，則若 ，則7

3、共五十頁（5）矢量(shling)的混合運(yùn)算 分配律 分配律 標(biāo)量(bioling)三重積 矢量三重積8共五十頁 三維空間任意(rny)一點(diǎn)的位置可通過三條相互正交曲線的交點(diǎn)來確定。1.2 三種(sn zhn)常用的正交曲線坐標(biāo)系 在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。9共五十頁1、直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系 位置矢量面元矢量(shling)線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量 點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面

4、） o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐標(biāo)系 x yz直角坐標(biāo)系的長度元、面積元、體積元 odzd ydx10共五十頁2、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量(shling)11共五十頁3、球面(qimin)坐標(biāo)系球面(qimin)坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量12共五十頁4、坐標(biāo)單位(dnwi)矢量之間的關(guān)系 直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓 柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq ofxy單位圓 直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)

5、系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系 f13共五十頁1.3 標(biāo)量(bioling)場的梯度如果物理量是標(biāo)量，稱該場為標(biāo)量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時(shí)間無關(guān)，稱為(chn wi)靜態(tài)場，反之為時(shí)變場。時(shí)變標(biāo)量場和矢量場可分別表示為： 確定空間區(qū)域上的每一點(diǎn)都有確定物理量與之對應(yīng)，稱在該區(qū)域上定義了一個(gè)場。從數(shù)學(xué)上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標(biāo)量場和矢量場靜態(tài)標(biāo)量場和矢量場可分別表示為：14共五十頁標(biāo)量(bioling)場的等值面標(biāo)量(bioling)場的等值線(面)等值面: 標(biāo)量場取得同一數(shù)值的點(diǎn)在空 間形成的曲

6、面。等值面方程：常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標(biāo)量場的等值面充滿場所在的整個(gè)空間；標(biāo)量場的等值面互不相交。 等值面的特點(diǎn)：意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態(tài)。15共五十頁2. 方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)意義：方向性導(dǎo)數(shù)表示(biosh)場沿某方向的空間變化率。概念： u(M)沿 方向增加； u(M)沿 方向減??； u(M)沿 方向無變化。 M0M方向?qū)?shù)的概念 特點(diǎn)：方向性導(dǎo)數(shù)既與點(diǎn)M0有關(guān)，也與 方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。 式中： 16共五十頁梯度(t d)的表達(dá)式：圓柱面坐標(biāo)系 球面坐標(biāo)系直

7、角面坐標(biāo)系 3、標(biāo)量場的梯度（ 或 ）意義：描述標(biāo)量場在某點(diǎn)的最大變化(binhu)率及其變化(binhu)最大的方向概念： ，其中 取得最大值的方向17共五十頁標(biāo)量場的梯度是矢量場，它在空間某點(diǎn)的方向表示該點(diǎn)場變化(binhu)最大（增大）的方向，其數(shù)值表示變化(binhu)最大方向上場的空間變化(binhu)率。標(biāo)量場在某個(gè)方向上的方向?qū)?shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度(t d)的性質(zhì)：梯度運(yùn)算的基本公式：標(biāo)量場的梯度垂直于通過該點(diǎn)的等值面（或切平面）18共五十頁 例1.2.1 設(shè)一標(biāo)量函數(shù) (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標(biāo)量場。試求： (1) 該函數(shù) 在點(diǎn)P(1,1,1)處的

8、梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量； (2) 求該函數(shù) 沿單位矢量 el= ex cos60ey cos45 ez cos60方向的方向?qū)?shù)，并以點(diǎn)P(1,1,1)處的方向?qū)?shù)值與該點(diǎn)的梯度值作以比較(bjio)，得出相應(yīng)結(jié)論。 解 (1)由梯度(t d)計(jì)算公式，可求得P點(diǎn)的梯度為19共五十頁表征其方向的單位(dnwi)矢量 (2) 由方向(fngxing)導(dǎo)數(shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el方向的方向?qū)?shù)為對于給定的P點(diǎn)，上述方向?qū)?shù)在該點(diǎn)取值為20共五十頁而該點(diǎn)的梯度(t d)值為 顯然，梯度 描述了P點(diǎn)處標(biāo)量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方向?qū)?shù)，故 恒成立。21共五十頁1.4 矢量(sh

9、ling)場的通量與散度 1、矢量(shling)線 意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態(tài)。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點(diǎn)的切線方向代表了該點(diǎn)矢量場 的方向。矢量線oM 22共五十頁2、矢量(shling)場的通量 問題：如何定量描述(mio sh)矢量場的大??？ 引入通量的概念。 通量的概念：其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元 的通量； 如果曲面 S 是閉合的，則規(guī)定曲面法矢由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量23共五十頁通過閉合(b h)曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量(shling)線進(jìn)入進(jìn)入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通

10、過閉合曲面通量的三種可能結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義24共五十頁3、矢量(shling)場的散度 為了定量研究場與源之間的關(guān)系，需建立場空間任意點(diǎn)（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關(guān)系。利用(lyng)極限方法得到這一關(guān)系：稱為矢量場的散度。 散度是矢量通過包含該點(diǎn)的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。25共五十頁柱面坐標(biāo)系球面(qimin)坐標(biāo)系直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系散度的表達(dá)式：散度的有關(guān)公式：26共五十頁直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系下散度表達(dá)式的推導(dǎo) 由此可知

11、，穿出前、后兩側(cè)(lin c)面的凈通量值為oxy在直角坐標(biāo)系中計(jì)算FzzDxDyDP 不失一般性，令包圍P點(diǎn)的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則27共五十頁根據(jù)(gnj)定義，則得到直角坐標(biāo)系中的散度 表達(dá)式為 同理，分析(fnx)穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點(diǎn)P 穿出該六面體的凈通量為28共五十頁4、散度定理(dngl)體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間任意閉合(b h)曲面的通量等于該閉合(b h)曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個(gè)變換關(guān)系，在電磁理論中有著廣泛的應(yīng)用。29共五十頁1

12、.5 矢量(shling)場的環(huán)流和旋度 矢量(shling)場的環(huán)流與旋渦源 例如：流速場 不是所有的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。30共五十頁 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過(tnggu)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環(huán)流(hun li)與電流的關(guān)系。 31共五十頁如果矢量場的任意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線(qxin)的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源

13、。電流是磁場的旋渦源。環(huán)流(hun li)的概念 矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即32共五十頁 過點(diǎn)M 作一微小曲面S，它的邊界(binji)曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當(dāng)S0時(shí)，極限稱為矢量(shling)場在點(diǎn)M 處沿方向n的環(huán)流面密度。 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源的宏觀聯(lián)系。為了給出空間任意點(diǎn)矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。 特點(diǎn)：其值與點(diǎn)M 處的方向n有關(guān)。2、矢量場的旋度（ ） （1）環(huán)流面密度33共五十頁而 推導(dǎo) 的示意圖如圖所示。oyDz DyCMzx1234計(jì)算 的示意圖 直角坐標(biāo)系中

14、 、 、 的表達(dá)式34共五十頁于是 同理可得故得概念：矢量場在M點(diǎn)處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M點(diǎn)的環(huán)流面 密度最大值，其方向(fngxing)為取得環(huán)量密度最大值時(shí)面積元的法 線方向，即物理(wl)意義：旋渦源密度矢量。性質(zhì)：（2）矢量場的旋度35共五十頁旋度的計(jì)算公式:直角坐標(biāo)系圓柱面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系36共五十頁旋度的有關(guān)(yugun)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標(biāo)量場的梯度的旋度恒為零37共五十頁3、Stokes定理(dngl) Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個(gè)變換(binhun)關(guān)系式，也在電磁理論中有廣泛的應(yīng)用。曲面的剖分方向相反大小相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，

15、可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即38共五十頁4、散度和旋度的區(qū)別(qbi) 39共五十頁1、矢量(shling)場的源散度源：是標(biāo)量，產(chǎn)生的矢量(shling)場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內(nèi)所包圍的源的總和， 源在一給定點(diǎn)的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點(diǎn)的散度； 旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環(huán)量，在給定點(diǎn)上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點(diǎn)的旋度。1.6 無旋場與無散場40共五十頁2、矢量(shling)場按源的分類（1

16、）無旋場性質(zhì)：，線積分與路徑無關(guān)，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標(biāo)量場的梯度(t d)表示為例如：靜電場41共五十頁（2）無散場(sn chng) 僅有旋度源而無散度源的矢量(shling)場，即性質(zhì)：無散場可以表示為另一個(gè)矢量場的旋度例如，恒定磁場42共五十頁（3）無旋、無散場(sn chng)（源在所討論(toln)的區(qū)域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分43共五十頁1.7 拉普拉斯運(yùn)算(yn sun)與格林定理 1、拉普拉斯運(yùn)算(yn sun) 標(biāo)量拉普拉斯運(yùn)算概念： 拉普拉斯算符直角坐標(biāo)系計(jì)算公式：圓柱坐標(biāo)系

17、球坐標(biāo)系44共五十頁 矢量拉普拉斯運(yùn)算概念(ginin)：即注意(zh y)：對于非直角分量，直角坐標(biāo)系中：如：45共五十頁2. 格林定理(dngl) 設(shè)任意兩個(gè)標(biāo)量場 及，若在區(qū)域 V 中具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，那么，可以(ky)證明該兩個(gè)標(biāo)量場 及 滿足下列等式。 根據(jù)方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標(biāo)量場 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導(dǎo)數(shù)。以上兩式稱為標(biāo)量第一格林定理。SV,46共五十頁基于上式還可獲得(hud)下列兩式：上兩式稱為標(biāo)量(bioling)第二格林定理。 格林定理說明了區(qū)域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定

18、理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吔缟蠄龅那蠼鈫栴}。 此外，格林定理反映了兩種標(biāo)量場之間滿足的關(guān)系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。47共五十頁亥姆霍茲定理(dngl): 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界，源分布在有限(yuxin)區(qū)域中，則當(dāng)矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 式中： 亥姆霍茲定理說明：在無界空間區(qū)域，矢量場可由其散度及旋度確定。1.8 亥姆霍茲定理48共五十頁有界區(qū)域(qy) 在有界區(qū)域，矢量場不但與該區(qū)域中的散度和旋度有關(guān)(yugun)，還與區(qū)域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關(guān)。49共五十頁內(nèi)容摘要第一章 矢量分析。矢量的標(biāo)積符合交換律。 分配律。