1、關(guān)于函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)第一張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0, 得x1， 則f(x)單增區(qū)間（，0）,（1，+）令x(x-1)0,得0 x1, f(x)單減區(qū)(0,2).注意:求單調(diào)區(qū)間: 1:首先注意 定義域, 2:其次區(qū)間不能用 U 連接（第一步）解：（第二步）（第三步）上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第三張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 yxOaby=f(x)x1 f (x1)x2 f(x2)x3 f(x3)x4 f(x4)在x1 、 x3處函數(shù)值f(x1)、 f(x3) 與x1 、 x3左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值相比

2、,有什么特點(diǎn)?f (x2)、 f (x4)比x2 、x4左右近旁各點(diǎn)處的函數(shù)值相比呢?觀察圖像：上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第四張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月函數(shù)的極值定義設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有f(x)f(x0), 則f(x0) 是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值= f(x0)；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值. (極值即峰谷處的函數(shù)值值）使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第五張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月（1）函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的，在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)可能有多個(gè)極大值或極小值（2）極大值

3、不一定比極小值大（3）可導(dǎo)函數(shù)f(x),點(diǎn)是極值點(diǎn)的必要條件是在該 點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0或者不存在例：y=x2上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第六張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月1理解極值概念時(shí)需注意的幾點(diǎn)(1)函數(shù)的極值是一個(gè)局部性的概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)附近的點(diǎn)而言的(2)極值點(diǎn)是函數(shù)定義域內(nèi)的點(diǎn)，而函數(shù)定義域的端點(diǎn)絕不是函數(shù)的極值點(diǎn)(3)若f(x)在a，b內(nèi)有極值，那么f(x)在a，b內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在定義域上單調(diào)的函數(shù)沒有極值總結(jié)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第七張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 (4)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系一個(gè)函數(shù)在其定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，

4、在某一點(diǎn)的極小值可能大于另一點(diǎn)的極大值(如圖(1)(5)若函數(shù)f(x)在a，b上有極值，它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的(如圖(2)所示)，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第八張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)： 下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 試找出函數(shù) 的極值點(diǎn), 并指出哪些是極大值點(diǎn), 哪些是極小值點(diǎn).abxyx1Ox2x3x4x5x6上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第九張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 yxO探究：極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)值(即切線斜率）有何特點(diǎn)？結(jié)論:極值點(diǎn)處，如果有切線，切線水平即:k切= f (x)=0aby=

5、f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考;若 f (x0)=0，則x0是否為極值點(diǎn)？結(jié)論：導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，但都叫駐點(diǎn)。x yO分析yx3上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月進(jìn)一步探究:極值點(diǎn)兩側(cè)函數(shù)圖像單調(diào)性有何特點(diǎn)?極大值極小值即: 極值點(diǎn)兩側(cè)單調(diào)性互異上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十一張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 f (x)0 yxOx1aby=f(x)極大值點(diǎn)兩側(cè)極小值點(diǎn)兩側(cè) f (x)0 f (x)0探究:極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)正負(fù)符號(hào)有何規(guī)律?x2 xXx2 f (x) f(x) xXx1 f (x)

6、 f(x)增f (x) 0f (x) =0f (x) 0極大值減f (x) 0注意:(1) f (x0) =0， x0不一定是極值點(diǎn)(2)只有f ( x0) =0且x0兩側(cè)單調(diào)性不同 ， x0才是極值點(diǎn). (3)求極值點(diǎn)，可以先求f (x0) =0的點(diǎn)，再列表判斷單調(diào)性結(jié)論：極值點(diǎn)處，f (x) =0上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十二張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月因?yàn)?所以例1 求函數(shù) 的極值.解:令 解得 或當(dāng) , 即 , 或 ;當(dāng) , 即 .當(dāng) x 變化時(shí), f (x) 的變化情況如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) +單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以, 當(dāng)

7、x = 2 時(shí), f (x)有極大值 28 / 3 ;當(dāng) x = 2 時(shí), f (x)有極小值 4 / 3 .上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十三張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變式求下列函數(shù)的極值:解: 令 解得 列表:x0f (x)+單調(diào)遞增單調(diào)遞減 所以, 當(dāng) 時(shí), f (x)有極小值上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十四張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求下列函數(shù)的極值:解: 解得 列表:x(, 3)3(3, 3)3( 3, +)00f (x) +單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以, 當(dāng) x = 3 時(shí), f (x)有極大值 54 ;當(dāng) x = 3 時(shí), f (x)有極小值 54 .上頁(yè)下頁(yè)

8、鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十五張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月求下列函數(shù)的極值:解: 解得 所以, 當(dāng) x = 2 時(shí), f (x)有極小值 10 ;當(dāng) x = 2 時(shí), f (x)有極大值 22 .解得 所以, 當(dāng) x = 1 時(shí), f (x)有極小值 2 ;當(dāng) x = 1 時(shí), f (x)有極大值 2 .上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十六張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月小結(jié)：極值定義 關(guān)鍵： 可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)在極值點(diǎn)處的f(x)=0或者不存在 。 極值點(diǎn)左右兩邊的導(dǎo)數(shù)必須異號(hào)。3個(gè)步驟：確定定義域求f(x)=0的根并列成表格判斷極值：用方程f(x)=0的根x0，x1 , . ,順次

9、將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開區(qū)間，如果xn左側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f (x)都小于0，右側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f (x)都大于0，則f(x)在xn左邊減少，右邊增加,xn是極小值點(diǎn)，f(xn)是極小值。如果xn左側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f (x)都大于0，右側(cè)緊鄰區(qū)間導(dǎo)函數(shù)f (x)都小于0，則f(x)在xn左邊增加，右邊減少,xn是極大值點(diǎn)，f(xn)是極大值。上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十七張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例2求函數(shù)f(x)x32x21在區(qū)間1,2上的最大值與最小值分析首先求f(x)在(1,2)內(nèi)的極值然后將f(x)的各極值與f(1)，f(2)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小

10、值解析f(x)3x24x.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十八張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月故f(x)最大值1，f(x)最小值2.點(diǎn)評(píng)利用求最值的步驟求解1、函數(shù)最大值及最小值點(diǎn)必在下面各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn)2、函數(shù)在區(qū)間a，b上連續(xù)是f(x)在a，b上存在最值的充分而非必要條件上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第十九張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月變式：求函數(shù)f(x)=x2-4x+6在區(qū)間1，5內(nèi) 的最大值和最小值 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月 故函數(shù)f(x) 在區(qū)間1，5內(nèi)的極小值為3，最大值為11，最小值為2 法

11、二、解、 f (x)=2x-4令f (x)=0，即2x-4=0，得x=2x1（1，2）2（2，5）50y-+3112上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十一張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時(shí)取得極值，且f(1)1，(1)試求常數(shù)a、b、c的值；(2)試判斷x1時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說(shuō)明理由解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十二張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月點(diǎn)評(píng)若函數(shù)f(x)在x0處取得極值，則一定有f (x0)0，因此我們可根據(jù)極值得到一個(gè)方程，來(lái)解決

12、參數(shù)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十三張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月注意：函數(shù)極值是在某一點(diǎn)附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個(gè)函數(shù)在其整個(gè)定義區(qū)間上可能有多個(gè)極大值或極小值，并對(duì)同一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，在某一點(diǎn)的極大值也可能小于另一點(diǎn)的極小值。思考1. 判斷下面4個(gè)命題，其中是真命題序號(hào)為 。 f (x0)=0,則f (x0)必為極值； f (x)= 在x=0 處取極大值0，函數(shù)的極小值一定小于極大值函數(shù)的極小值（或極大值）不會(huì)多于一個(gè)。函數(shù)的極值即為最值上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十四張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月有極大值和極小值,求a范圍?思考2解析 :f(x)有極大值和極小值 f(x)=0有2實(shí)根, 已知函數(shù)解得 a6或a3上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十五張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)1： 求 在 時(shí)極值。上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十六張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)2:若f(x)=ax3+bx2-x在x=1與 x=-1 處有極值.(1)求a、b的值(2)求f(x)的極值.上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)第二十七張，PPT共三十二頁(yè)，創(chuàng)作于2022年6月練習(xí)3 ： 設(shè)f(x)=ax3+x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定實(shí)數(shù)a