1、參數(shù)的最小二乘法估計(jì)和應(yīng)用主要內(nèi)容1 最小二乘法原理2 線性測(cè)量方程組中參數(shù)的最小二乘法3 非線性測(cè)量方程組中參數(shù)的最小二乘法4 組合測(cè)量數(shù)學(xué)工具關(guān)于最小二乘法數(shù)據(jù)處理參數(shù)估計(jì)回歸分析算術(shù)平均值，依據(jù)使殘差的平方和為最小的原則組合測(cè)量的問(wèn)題擬合經(jīng)驗(yàn)公式等 最小二乘法典型應(yīng)用最小二乘法發(fā)展200多年的歷史；天文和大地測(cè)量；近代矩陣?yán)碚撆c電子計(jì)算機(jī)經(jīng)典的最小二乘法及其在組合測(cè)量的應(yīng)用深入的內(nèi)容可參閱專門(mén)的書(shū)籍和文獻(xiàn)第一節(jié)最小二乘法原理 從一組測(cè)量值中尋找最可信賴值測(cè)得值 同時(shí)出現(xiàn)的概率為 最可信賴值滿足 最可信賴值；P為最大；式中負(fù)指數(shù)中因子達(dá)最小微分法得最可信賴值（1）最小絕對(duì)殘差和法：小結(jié) 從

2、一組測(cè)量數(shù)據(jù)中求得最佳結(jié)果，還可使用其它原理。例如最可信賴值是在殘差平方和或加權(quán)殘差平方和為最小的意義下求得的，稱之為最小二乘法原理。（3）最小廣義極差法：（2）最小最大殘差法：主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測(cè)量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測(cè)量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測(cè)量第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法先舉一個(gè)實(shí)際遇到的測(cè)量問(wèn)題，為精密測(cè)定三個(gè)電容值: 采用的測(cè)量方案是，分別等權(quán)、獨(dú)立測(cè)得 ,列出待解的數(shù)學(xué)模型。這是一個(gè)組合測(cè)量的問(wèn)題。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法如為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量 測(cè)得值待解的數(shù)學(xué)模型 待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測(cè)量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測(cè)量，指直

3、接測(cè)量一組被測(cè)量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測(cè)量的最佳估計(jì)值。 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法這是一個(gè)超定方程組，即方程個(gè)數(shù)多于待求量個(gè)數(shù)，不存在唯一的確定解，事實(shí)上，考慮到測(cè)量有誤差，記它們的測(cè)量誤差分別為 ，按最小二乘法原理 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法 分別對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，令它們等于零，得如下的確定性方程組。 (x1-0.3)+(x1+x3-0.5)=0(x2+0.4)+(x2+x3+0.3)=0(x1+x3-0.5)+(x2+x3+0.3)=0 x1=0.325, x2=-0.425, x3 可求出唯一解 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法以下，一般地討論線性參數(shù)測(cè)量方程

4、組的最小二乘解及其精度估計(jì)。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法一、正規(guī)方程組設(shè)線性測(cè)量方程組的一般形式為： 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法即式中，有n個(gè)直接測(cè)得值，t個(gè)待求量。nt,各等權(quán)，無(wú)系統(tǒng)誤差和粗大誤差。 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法上式分別對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)，且令其等于零，經(jīng)推導(dǎo)得 應(yīng)當(dāng)滿足式中， ， 分別為如下列向量 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法 和 分別為如下兩列向量的內(nèi)積：=正規(guī)方程組有如下特點(diǎn)： 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量方程組系數(shù)與正規(guī)方程組系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法（1）主對(duì)角線系數(shù)是測(cè)量方程組各列系數(shù)的平方

5、和，全為正數(shù)。（2）其它系數(shù)關(guān)于主對(duì)角線對(duì)稱（3）方程個(gè)數(shù)等于待求量個(gè)數(shù)，有唯一解。由此可見(jiàn)，線性測(cè)量方程組的最小二乘解歸結(jié)為對(duì)線性正規(guī)方程組的求解。 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法二、正規(guī)方程組的矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法為了便于進(jìn)一步討論問(wèn)題，下面借助矩陣工具給出正規(guī)方程組的矩陣形式。記列向量 和nt階矩陣 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法則測(cè)量方程組可記為：測(cè)量殘差方程組記為 V=L-AX最小二乘原理記為 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法利用矩陣的導(dǎo)數(shù)及其性質(zhì)有 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法令，得正規(guī)方程組的矩陣形式。展開(kāi)系數(shù)矩陣和列向量，可得代數(shù)形式的正規(guī)方程組。當(dāng) 滿

6、秩的情形，可求出 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法線性測(cè)量方程組的一般形式為 測(cè)量殘差方程組 含有隨機(jī)誤差矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法最小二乘法原理式 求導(dǎo)正規(guī)方程組 正規(guī)方程組解 不等權(quán)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法三、精度估計(jì)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)的最小二乘法處理，其最終結(jié)果不僅要給出待求量的最可信賴值，還要確定其可信賴程度，即估計(jì)其精度。具體內(nèi)容包含有兩方面：一是估計(jì)直接測(cè)量結(jié)果 的精度；二是估計(jì)待求量 的精度。第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1直接測(cè)量結(jié)果的精度估計(jì)對(duì)t個(gè)未知量的線性測(cè)量方程組 進(jìn)行n次獨(dú)立的等精度測(cè)量，得其殘余誤差為；標(biāo)準(zhǔn)偏差。如果服

7、從正態(tài)分布，那么服從分布，其自由度n-t，有變量的數(shù)學(xué)期望。 即有 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法令t=1，由上式又導(dǎo)出了Bessel公式。 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法2待求量的精度估計(jì) 按照誤差傳播的觀點(diǎn)，估計(jì)量 的精度取決于直接測(cè)量數(shù)據(jù) 的精度以及建立它們之間聯(lián)系的測(cè)量方程組。 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法可求待求量的協(xié)方差 矩陣 各元素可由矩陣求逆得，也可由下列各方程組分別解得第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法d11第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法d21第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法dt1第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法是直接測(cè)量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，可按估計(jì) 待求量的方差 矩陣中對(duì)角元素就是誤差傳播系數(shù) 第二節(jié)線性參數(shù)的最

8、小二乘法待求量 與 的相關(guān)系數(shù)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法小結(jié)第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法1、直接測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì) （加權(quán)）未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)殘差2、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì) 直接測(cè)量量的標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)角元素誤差傳播系數(shù) 3、待求量與的相關(guān)系數(shù) 元素第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法例 2為精密測(cè)定1號(hào)、2號(hào)和3號(hào)電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨(dú)立、無(wú)系統(tǒng)誤差的測(cè)量。測(cè)得1號(hào)電容值 ，2號(hào)電容值，1號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值，2號(hào)和3號(hào)并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 【解】列出測(cè)量殘差方程組 代數(shù)求解過(guò)程第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法代數(shù)法求解例.doc矩陣形式第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法即

9、第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法代入殘差方程組，計(jì)算 第二節(jié)線性參數(shù)的最小二乘法主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測(cè)量方程組中參數(shù)的最小二乘法非線性測(cè)量方程組中參數(shù)的最小二乘法組合測(cè)量第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測(cè)量殘差方程組 非線性函數(shù)取的初始似值 泰勒展開(kāi)按線性參數(shù)最小二乘法解得 迭代直至滿足精度為止例 3在例2的基礎(chǔ)上，再增加一次測(cè)量串聯(lián)電容 ，測(cè)得。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。 【解】列出非線性測(cè)量方程組 第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法對(duì)前個(gè)線性測(cè)量方程組，按例2求出解，作為初次近似解 在附近，取泰勒展開(kāi)的一階近似 寫(xiě)出線性化殘差方程組 整理得正規(guī)方程組 解出 迭代6次迭代結(jié)果迭代次數(shù)00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.267第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法主要內(nèi)容最小二乘法原理線性測(cè)量方程組中