1、-PAGE . z.第一講 線性空間線性空間的定義及性質(zhì)知識預(yù)備*集合：籠統(tǒng)的說是指一些事物或者對象組成 的整體集合的表示：枚舉、表達式集合的運算：并，交另外，集合的和：并不是嚴格意義上集合的運算，因為它限定了集合中元素須有可加性。*數(shù)域：一種數(shù)集，對四則運算封閉除數(shù)不為零。比方有理數(shù)域、實數(shù)域R和復(fù)數(shù)域C。實數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用的兩個數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最根本的概念之一，也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要根底。線性空間的概念是*類事物從量的方面的一個抽象。線性空間的定義：設(shè)是一個非空集合，其元素用等表示；是一個數(shù)域，其元素用等表示。如果滿足如下8條性質(zhì)，分兩類 = 1 * ROMAN I在中

2、定義一個加法運算，即當(dāng)時，有唯一的和封閉性，且加法運算滿足以下性質(zhì)1結(jié)合律 ； 2交換律 ；3零元律 存在零元素o，使o；4負元律 對于任一元素，存在一元素，使o，且稱為的負元素，記為。則有 o。 = 2 * ROMAN II在中定義一個數(shù)乘運算，即當(dāng)，時，有唯一的封閉性，且數(shù)乘運算滿足以下性質(zhì)5數(shù)因子分配律 ； 6分配律 ； 7結(jié)合律 ； 8恒等律 ； 數(shù)域中一定有1則稱為數(shù)域上的線性空間。注意：1線性空間不能離開*一數(shù)域來定義，因為同一個集合，如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成的線性空間也不同。2兩種運算、八條性質(zhì)數(shù)域中的運算是具體的四則運算，而中所定義的加法運算和數(shù)乘運算則可以十分抽象。3除了兩種

3、運算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運算本身就不滿足。當(dāng)數(shù)域為實數(shù)域時，就稱為實線性空間；為復(fù)數(shù)域，就稱為復(fù)線性空間。設(shè)全體正實數(shù)，其加法及數(shù)乘運算定義為*y=*y , 證明：是實數(shù)域R上的線性空間。證明 首先需要證明兩種運算的唯一性和封閉性 = 1 * GB3 唯一性和封閉性唯一性顯然假設(shè)*0,y0,，則有 *y=*y 封閉性得證。 = 2 * GB3 八條性質(zhì)1*yz=*(yz)=(*y)z=(*y)z2 *y=*yy*= y*3 1是零元素 *1 *o=*o=*o=14 是*的負元素 * *+y=o 5 *y*y 數(shù)因子

4、分配律6 * 分配律7 結(jié)合律8 恒等律由此可證，是實數(shù)域R上的線性空間。定理：線性空間具有如下性質(zhì)零元素是唯一的，任一元素的負元素也是唯一的。如下恒等式成立： o， 。 證明1采用反證法： = 1 * GB3 零元素是唯一的。 設(shè)存在兩個零元素o1和o2，則由于o1和o2 均為零元素，按零元律有 交換律 o1o2o1 o2o1o2所以 o1o2 即 o1和o2 一樣，與假設(shè)相矛盾，故只有一個零元素。 = 2 * GB3 任一元素的負元素也是唯一的。假設(shè)，存在兩個負元素和，則根據(jù)負元律有o 零元律 結(jié)合律 零元律 即和一樣，故負元素唯一。 2 = 1 * GB3 ：設(shè)w=0*，則 *+w=1*

5、+0*=(1+0)*=*，故 w=o。 恒等律 = 2 * GB3 ：設(shè)w=(1)*，則*+w=1*+(1)*=1+(1)*=0*=o，故w=*。線性相關(guān)性 線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。線性組合： 稱為元素組的一個線性組合。線性表示：中*個元素*可表示為其中*個元素組的線性組合，則稱*可由該元素組線性表示。線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)，使得對于元素有則稱元素組線性相關(guān)，否則稱其線性無關(guān)。線性相關(guān)性概念是個非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標。線性空間的維數(shù)定義：線性空間中最大線性無關(guān)元素組所含元素個數(shù)稱為的維數(shù)，記為。本課程只考

6、慮有限維情況，對于無限維情況不涉及 。例2. 全體mn階實矩陣的集合構(gòu)成一個實線性空間對于矩陣加法和數(shù)對矩陣的數(shù)乘運算，求其維數(shù)。解 一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組，其元素盡可能簡單。令Eij為這樣的一個mn階矩陣，其i, j元素為1，其余元素為零。顯然，這樣的矩陣共有mn個，構(gòu)成一個具有mn個元素的線性無關(guān)元素組。另一方面，還需說明元素個數(shù)最大。對于任意的，都可由以上元素組線性表示， 即構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組，所以該空間的維數(shù)為mn。線性空間的基與坐標基的定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，是屬于V的r個任意元素，如果它滿足1線性無關(guān)；2V中任一向量*均可由線性表示。則稱為V的一個基，

7、并稱為該基的基元素?；荲中最大線性無關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素的個數(shù)。基是不唯一的，但不同的基所含元素個數(shù)相等。考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C。如果KC復(fù)數(shù)域，則該集合對復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，其基可取為1，空間維數(shù)為1；如果取KR實數(shù)域，則該集合對復(fù)數(shù)加法及實數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間，其基可取為1,i，空間維數(shù)為2。數(shù)域K兩種運算基一般元素空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C1復(fù)數(shù)加法；2復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘1復(fù)線性空間1實數(shù)域R1復(fù)數(shù)加法；2實數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘1,i實線性空間2坐標的定義：稱線性空間的一個基為的一個坐標系，它在該基下的線性表示為：則稱為*在該坐標系中的坐標或分量，記為 討

8、論：1一般來說，線性空間及其元素是抽象的對象，不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐標表示卻把它們統(tǒng)一了起來，坐標表示把這種差異留給了基和基元素，由坐標所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。2更進一步，原本抽象的加法及 數(shù)乘經(jīng)過坐標表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。 正對應(yīng) 正對應(yīng) 3顯然，同一元素在不同坐標系中的坐標是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系?；儞Q與坐標變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時坐標變換的規(guī)律。設(shè)是的舊基，是的新基，由于兩者都是基，所以可以相互線性表示 ()即 其中C稱為過渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可逆的。設(shè)，它在舊基下的線性

9、表示為它在新基下的線性表示為則 由于基元素的線性無關(guān)性，得到坐標變換關(guān)系補充：證明對于線性空間的零元素o，均有koo。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質(zhì)定義：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個非空子集合，且對V已有的線性運算滿足以下條件如果*、yV1，則*yV1；如果*V1，kK，則k*V1，則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。 性質(zhì)：1線性子空間V1與線性空間V享有共同的零元素； 2V1中元素的負元素仍在V1中。證明10V中的零元素也在V1中，V1與V享有共同的零元素。21*=(*) 封閉性 V1中元素的負元素仍在V1中分類：子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間：0和V本身非

10、平凡子空間：除以上兩類子空間4. 生成子空間：設(shè)*1、*2、*m為V中的元素，它們的所有線性組合的集合 也是V的線性子空間，稱為由*1、*2、*m生*成的子空間，記為L(*1、*2、*m)或者Span(*1、*2、*m)。假設(shè)*1、*2、*m線性無關(guān)，則dimL(*1、*2、*m)=m5. 基擴定理：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間Vn的一個m維子空間，*1、*2、*m是V1的一個基，則這m個基向量必可擴大為Vn的一個基；換言之，在Vn中必可找到n-m個元素*m+1、*m+2、*n，使得*1、*2、*n成為Vn的一個基。這n-m個元素必不在V1中。二、子空間的交與和1.定義：設(shè)V1、V2是線性空間V

11、的兩個子空間，則分別稱為V1和V2的交與和。2.定理：假設(shè)V1和V2是線性空間V的兩個子空間，則，V1V2均為V的子空間證明1是V的一個線性子空間。2是V的子空間。維數(shù)公式：假設(shè)V1、V2是線性空間V的子空間，則有dim(V1+V2)+ dim()= dimV1+ dimV2證明 設(shè)dimV1=n1, dimV2=n2, dim()=m需要證明dim(V1+V2)n1n2m設(shè)*1、*2、*m是的一個基，根據(jù)基擴定理 存在1y1、y2、yn1mV1，使*1、*2、*m、y1、y2、yn1m成為V1的一個基； 2z1、z2、zn2mV2，使*1、*2、*m、z1、z2、zn2m成為V2的一個基；

12、考察*1、*2、*m、y1、y2、yn1m、z1、z2、zn2m，假設(shè)能證明它為V1+V2的一個基，則有dim(V1+V2)n1n2m。 成為基的兩個條件：它可以線性表示V1+V2中的任意元素線性無關(guān)顯然條件1是滿足的，現(xiàn)在證明條件2，采用反證法。假定上述元素組線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)k1、k2、km、p1、p2、pn1m、q1、q2、qn2m使令，則但根據(jù)基擴定理 ， *1、*2、*m、y1、y2、yn1m成為V1的一個基 同理：這與假設(shè)矛盾，所以上述元素線性無關(guān)，可作為V1+V2的一個基。dim(V1+V2)n1n2m三、子空間的直和1. 定義：設(shè)V1、V2是線性空間V的子空間，假

13、設(shè)其和空間V1+V2中的任一元素只能唯一的表示為V1的一個元素與V2的一個元素之和，即，存在唯一的、，使，則稱為V1與V2的直和，記為子空間的直和并不是一種特殊的和，仍然是，反映的是兩個子空間的關(guān)系特殊。2. 定理：如下四種表述等價 1成為直和 2 3dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 4*1、*2、*s為V1的基，y1、y2、yt為V2的基，則*1、*2、*s、y1、y2、yt為的基證明2和3的等價性顯然采用循環(huán)證法：124112： 假定且，則，說明對0元素存在兩種分解，這與直和的定義矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即24：成為基的兩個條件：可以線性表示V1+V2中的任意元素2線性無關(guān)、，存在如下