1、信號(hào)與系統(tǒng)主講：嚴(yán)國(guó)志第1章 緒論第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第3章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第4章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的復(fù)頻域分析第5章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第6章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的頻域分析第7章 離散時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的Z域分析第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析第2章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)的時(shí)域分析2022/7/2042.1 引言2.2 典型連續(xù)信號(hào)及其基本特性2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)2.6 卷積積分及其性質(zhì)2.7 用單位沖激響應(yīng)表征的線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性習(xí)題2.1 引 言信號(hào)與系統(tǒng)分析的基本任務(wù)之一

2、是在給定輸入（激勵(lì)）和系統(tǒng)的情況下，求出系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）。如果這種求解過程和方法都是在連續(xù)時(shí)間域 t 內(nèi)進(jìn)行的，就是時(shí)域分析方法。本章首先介紹常用的連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本性質(zhì)。然后建立連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性常系數(shù)微分方程。從系統(tǒng)的角度，把微分方程的解分解為僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)形成的零輸入響應(yīng)和僅由系統(tǒng)的激勵(lì)形成的零狀態(tài)響應(yīng)。并討論單位沖激響應(yīng) 和單位階躍響應(yīng) 的求解方法。最后介紹卷積積分的定義和性質(zhì)，并從系統(tǒng)的角度得出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的卷積求解法。2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性典型普通信號(hào) 正弦信號(hào) 實(shí)指數(shù)信號(hào) 虛指數(shù)信號(hào) 復(fù)指數(shù)信號(hào) 抽樣信號(hào)奇異信號(hào) 單位階躍信號(hào) 單位沖激信號(hào) 符號(hào)

3、函數(shù) 沖激偶信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性對(duì)時(shí)間的微、積分仍是同頻率正弦信號(hào)正弦信號(hào)是周期信號(hào)，其周期 T 與角頻率 和頻率 f 滿足下列關(guān)系式：2.2.1 正弦信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性（1）實(shí)指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào)一般形式即2.2.2 指數(shù)信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性（2）虛指數(shù)信號(hào)虛指數(shù)信號(hào)的周期：虛指數(shù)信號(hào)的基波周期：即有2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性（3）復(fù)指數(shù)信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性例2-1：試畫出 f=50Hz, , 的電力系統(tǒng)常見暫態(tài)波形%例2-1t=0:0.0001:0.2;U=1; tao=0.05;f=50;w0=2*p

4、i*f;ut=U*sqrt(2)*exp(-1/tao*t).*cos(w0*t+0);plot(t*1000,ut)xlabel(t / ms)ylabel(u(t)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性抽樣信號(hào)Sa(t) 抽樣函數(shù)的性質(zhì)注意MATLAB中的sinc函數(shù)定義為2.2.3 抽樣信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性%抽樣信號(hào)畫圖t=-10:0.01:10;xt=sinc(t);plot(t,xt)xlabel(t)ylabel(x(t)title(抽樣信號(hào))2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性（1）定義2.2.4 單位階躍信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性（2）單位階躍信

5、號(hào)的性質(zhì)：可以方便地表示某些信號(hào) 2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間微積分 2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性（1）定義 單位沖激信號(hào)又可稱為沖激函數(shù)、狄拉克函數(shù)等，記為(t)。 單位沖激信號(hào)反映一種持續(xù)時(shí)間極短、函數(shù)值極大的信號(hào)類型。如：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)加在電容兩端，流過電容的電流可用沖激信號(hào)表示。2.2.5 單位沖激信號(hào)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性時(shí)移性（2）單位沖激信號(hào)的性質(zhì)2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性抽樣特性 把沖激函數(shù)與連續(xù)時(shí)間函數(shù)的乘積在整個(gè)時(shí)間范圍內(nèi)積分，可以得到?jīng)_激時(shí)刻的連續(xù)時(shí)間信號(hào)的取值，即“抽樣”。所以，沖激函數(shù)具有抽樣（檢測(cè)）特

6、性。 為一個(gè)在t=0處連續(xù)且處處有界的信號(hào)，則2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性乘積特性 連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)與單位沖激信號(hào)相乘，等于將沖激時(shí)刻t0的信號(hào)值x(t0)“篩分”出來賦給沖激函數(shù)做沖激強(qiáng)度。2.2 典型連續(xù)時(shí)間信號(hào)及其基本特性 尺度變換特性證明：分析：用兩邊與 f(t) 的乘積的積分值相等證明， 分a0 、a0:2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算（4）信號(hào)的翻轉(zhuǎn)翻轉(zhuǎn)：將信號(hào)x(t)的自變量 t 用 t 替代2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算（5）信號(hào)的尺度變換尺度變換：將信號(hào)x(t)的自變量 t 用 at 替代若0a1, 則x(at)是x(t)的壓縮2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算例2-4

7、：已知x(t)的波形如圖，試畫出x(-2t+4)的波形2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算（6）信號(hào)的微分、積分1 40 1 3 0t tt t 10 1 3 4 0-12.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算結(jié)論：（1）信號(hào)經(jīng)過微分運(yùn)算后突出顯示了它的變化部分，起到了銳化的作用；（2）信號(hào)經(jīng)過積分運(yùn)算后，使得信號(hào)突出變化部分變得平滑了，起到了模糊的作用；利用積分可以削弱信號(hào)中噪聲的影響。2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算例2-5：已知三角波x(t)，畫出其微分與積分的波形2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算%例題2-5dt=0.001;t= -2:dt:2;xt=triwave(t);y1=diff(xt)/dt;

8、%微分subplot(311);plot(t,xt);title(x(t)subplot(312);plot(t(1:length(t)-1),y1)title(dx(t)/dt)t= -2:dt:2;for x=1:length(t) y2(x)=quad(triwave, 0,t(x); %積分endsubplot(313);plot(t,y2)title(integral of x(t)2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算（7）連續(xù)時(shí)間信號(hào)的分解和合成說明：一個(gè)信號(hào)的平均功率等于直流功率與交流功率之和。 信號(hào)的平均值即為信號(hào)的直流分量，去掉直流分量即得交流分量任意信號(hào)分解為直流分量與交流分量之

9、和2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算任意信號(hào)分解為奇偶分量之和 對(duì)任何實(shí)信號(hào)而言：信號(hào)的平均功率 = 偶分量功率 + 奇分量功率 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算例：將信號(hào)分解為奇、偶分量2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算矩形窄脈沖序列此窄脈沖可表示為任意信號(hào)分解為沖激信號(hào)之和 2.3 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的基本運(yùn)算出現(xiàn)在不同時(shí)刻的不同強(qiáng)度的沖激函數(shù)的和。即：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型經(jīng)典時(shí)域分析方法齊次解 yh(t) 的形式常用激勵(lì)對(duì)應(yīng)的特解形式零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)的求解零狀態(tài)響應(yīng)的求解系統(tǒng)響應(yīng)劃分零狀態(tài)響應(yīng)的Matlab求解零輸入響應(yīng)的Matlab求解2.4 連續(xù)時(shí)間系

10、統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.4.1 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 用N階常系數(shù)微分方程描述連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng)經(jīng)典時(shí)域分析方法零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)卷積法微分方程的完全解應(yīng)為微分方程的齊次解與特解之和 2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型齊次方程為：特征方程為：2.4.2 經(jīng)典時(shí)域分析方法（1）當(dāng)特征方程存在 n 個(gè)不同的單根時(shí)（單根中包括實(shí)根也包含共軛復(fù)根），其解為：為待定系數(shù)，由系統(tǒng)初始條件確定。（2）當(dāng)特征方程存在 r 個(gè)重根 ，n-r 個(gè)單根時(shí)： 2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型齊次解 yh(t) 的形式2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型常用激勵(lì)對(duì)應(yīng)的特解形式2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-6：已知某二階線

11、性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程 初始條件y(0)=4,y(0)=-6,輸入信號(hào) ，求系統(tǒng)的齊次解、特解、完全解解：1）求齊次方程的 齊次解：特征方程為：特征根為：齊次解為：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2）求非齊次方程的 的特解：由輸入的形式，設(shè)方程的特解為將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù)3）求方程的全解解得2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)x(t)的形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)； 特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。 自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型討論：若初始條件不變，輸入信號(hào)改變，系統(tǒng)的完全響應(yīng)如何？若輸入信號(hào)不變

12、，初始條件改變，系統(tǒng)的完全響應(yīng)如何？經(jīng)典法不足之處：若微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理；若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解；若初始條件發(fā)生變化，則須全部重新求解；是一種純數(shù)學(xué)方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。其實(shí)，產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的原因無非兩個(gè)： 系統(tǒng)的初始狀態(tài)和系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)。因此，系統(tǒng)的完全響應(yīng)可以分解為：僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng) ；僅由系統(tǒng)的激勵(lì)信號(hào)引起的零狀態(tài)響應(yīng) ； 即：零輸入響應(yīng)是當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)。它與激勵(lì)無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。零狀態(tài)響應(yīng)是不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用，由系統(tǒng)外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2

13、.4.3 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）零輸入響應(yīng)的求解零輸入響應(yīng)是當(dāng)外加激勵(lì)為零時(shí)，僅由系統(tǒng)初始條件產(chǎn)生的響應(yīng)。它與激勵(lì)無關(guān)，其數(shù)學(xué)模型是齊次微分方程。數(shù)學(xué)模型：求解方法：根據(jù)微分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式；再由初始條件 （0-時(shí)刻） 確定待定系數(shù)。2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 求 的基本步驟：求系統(tǒng)的特征根，寫出 的通解表達(dá)式。由于激勵(lì)為零，所以零輸入響應(yīng)的初始值： 確定待定系數(shù) C1，C2， ，Cn 將確定出的待定系數(shù) C1，C2， ，Cn 代入通解表達(dá)式，即得 。 2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-7：已知某二階線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程為：

14、 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 ， 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)解：特征方程為：特征根為：解得：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（2）零狀態(tài)響應(yīng)的求解零狀態(tài)響應(yīng)是不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用，僅由系統(tǒng)外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。求解方法經(jīng)典解法： 直接求解初始狀態(tài)為 0 的微分方程。卷積法： 利用信號(hào)分解和線性時(shí)不變系統(tǒng)的特性求解。 （將在2.6節(jié)介紹）2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（1）即求解對(duì)應(yīng)非齊次微分方程的解（2）求解基本步驟 求系統(tǒng)的特征根，寫出通解表達(dá)式 。 根據(jù) 的形式，確定特解形式，代入方程解得特解 求全解，由0+初始狀態(tài)確定待定系數(shù) C1，C2， ，Cn，若方程右邊沒有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)），若方程

15、右邊有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)），根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求得 將待定系數(shù) C1，C2，Cn代入全解表達(dá)式，即得。 （3） 0時(shí)刻的值-沖激函數(shù)匹配法零狀態(tài)響應(yīng)的經(jīng)典解法：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型沖激函數(shù)匹配法 目的： 用來求解初始值，求（0）和（0）時(shí)刻值 的關(guān)系。 應(yīng)用條件：如果微分方程右邊包含 (t) 及其各階導(dǎo) 數(shù)，那么（0）時(shí)刻的值不一定等于（0） 時(shí)刻的值。 原理： 利用t0 時(shí)刻方程兩邊的 (t) 及各階導(dǎo)數(shù) 應(yīng)該平衡的原理來求解（0）。2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若 m n，則設(shè)：對(duì)于線性時(shí)不變常系數(shù)微分方程，當(dāng) x(t)= (t)時(shí)：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若 m

16、n，則設(shè)：將 y(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)帶入原方程，求出 C0 Cm ;對(duì) y(t) 及各階導(dǎo)數(shù)求（0，0）的積分，最終得到 0+ 時(shí)刻的y(t) 及各階導(dǎo)數(shù)的值.2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例2-8：描述某系統(tǒng)的微分方程為 ： 已知y(0-)=2，y(0-)= 0， ，求y(0+)和y(0+)。解： 將輸入 代入上述微分方程得沖激函數(shù)匹配法，所以代入原方程得 C1=2，C0=0 2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 當(dāng)微分方程等號(hào)右端含有沖激函數(shù)（及其各階導(dǎo)數(shù)）時(shí)， 響應(yīng) y(t) 及其各階導(dǎo)數(shù)中，有可能在 t=0 處產(chǎn)生躍變。 但如果右端不含時(shí)，則不會(huì)躍變。 從0-到0+積分得： 即： 解得：

17、y(0-)=2，y(0-)= 02.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型例2-9：描述某系統(tǒng)的微分方程為： 已知： 求該系統(tǒng)的全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 解：（a） 經(jīng)典法求全響應(yīng) 利用系數(shù)匹配法，由例2-8得： 根據(jù)微分方程經(jīng)典求法：對(duì)齊次解：有特征方程： ，特征根為 -2、-1齊次解形式為：對(duì)特解,根據(jù)激勵(lì)有特解形式為： ，解得 B3得全響應(yīng)形式為：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型代入0+初始值有：即：暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量全響應(yīng)為： （b）零輸入響應(yīng) , 激勵(lì)為0 ，根據(jù)特征根求得通解為：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型代入初始值解得系數(shù)為：代入通解得：（c）零狀態(tài)響應(yīng)滿足 2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)

18、模型解得：C1=2，C0=0 即： 從0-到0+積分得： 故： 沖激函數(shù)匹配法：對(duì) t 0 時(shí)，有： 齊次解為： 特解為：于是有：根據(jù)0+初始值求得:即：全響應(yīng)：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 零輸入響應(yīng)是自由響應(yīng)的一部分，零狀態(tài)響應(yīng)由自由響應(yīng)的一部分和強(qiáng)迫響應(yīng)構(gòu)成 。自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)（3）系統(tǒng)響應(yīng)劃分自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)+穩(wěn)態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 y=lsim(sys,x,t)t：表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量；x：是系統(tǒng)輸入信號(hào)向量；sys：是LTI系統(tǒng)模型，借助 tf 函數(shù)獲得： sys=tf(b,a)

19、 b和a分別為微分方程右端和左端各項(xiàng)的系數(shù)向量，a=a3, a2, a1, a0;b=b3, b2, b1, b0; sys=tf(b,a)#（4）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的Matlab求解比如：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型#（5）連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的Matlab求解即：有：2.4 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型ts=0;te=5;dt=0.01;t=ts:dt:te;a=1,3,2;b=2,6;p=roots(a); %求特征根V=rot90(vander(p);y0=2,0;C=Vy0;for k=1:length(p) y_ji(k,:)=exp(p(k)*t);endyzit=C.*y_j

20、i;%求零輸入響應(yīng)figuresubplot(311)plot(t,yzit);grid onxlabel(t/s)ylabel(yzi(t)title(零輸入響應(yīng))sys=tf(b,a);x=ones(1,length(t); yzst=lsim(sys,x,t); %求零狀態(tài)響應(yīng)subplot(312)plot(t,yzst);grid onxlabel(t/s)ylabel(yzs(t)title(零狀態(tài)響應(yīng))%yt=yzit+yzst; %求完全響應(yīng)subplot(313)plot(t,yt);grid onxlabel(t/s)ylabel(y(t)title(完全響應(yīng))例2-10：

21、描述某系統(tǒng)的微分方程為： 已知y(0-)=2，y(0-)=0， 。求系統(tǒng)的全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。 2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的Matlab求解2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)在系統(tǒng)初始狀態(tài)為零的條件下，以單位沖激信號(hào)激勵(lì)系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)，稱為系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，以符號(hào) h(t) 表示。N階連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t) 滿足：?jiǎn)挝粵_激響應(yīng)的定義2.5.1 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)由于 t 0+ 后，方程右端為零，故當(dāng) nm 時(shí)當(dāng)nm時(shí)，為使方程兩邊平

22、衡， h(t)應(yīng)含有沖激及其高階導(dǎo)數(shù)，即將h(t)代入微分方程，使方程兩邊平衡，確定系數(shù) Ci，Aj假設(shè)系統(tǒng)特征根為 n個(gè)不相等的實(shí)根：2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例2-11：已知某線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程：試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：當(dāng)x(t)=(t)時(shí)，y(t)=h(t)，即：方程式的特征根 = -5，且 nm，故h(t)的形式為 解得 C=2，2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例2-12：已知某線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程：試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：當(dāng)x(t)=(t)時(shí)，y(t)=h(t)，即方程式的特征根 1= -2，2= -1且n=m，故h(t)的形式為： 解得

23、A = -2，B = 4，2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例2-12B：已知某線性時(shí)不變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的微分方程：試求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。解：當(dāng)x(t)=(t)時(shí)，y(t)=h(t)，即方程式的特征根 = -5，且 nm，故h(t)的形式為： 即：故：有：求解方法求解微分方程利用沖激信號(hào)與階躍信號(hào)的關(guān)系求解系統(tǒng)在單位階躍信號(hào)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)，稱為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱階躍響應(yīng)，一般用g(t)表示。2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)2.5.2 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例2-13：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)g(t)解：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)由例2-11有： 利用單位沖激響應(yīng)與

24、單位階躍響應(yīng)的關(guān)系，可得2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)2.5.3 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)的Matlab求解 y=impulse(sys,t) 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)可用impulse函數(shù)直接求出，其調(diào)用形式為： 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)階躍響應(yīng)可用step函數(shù)直接求出，其調(diào)用形式為： y=step(sys,t)t：表示計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)的抽樣點(diǎn)向量sys：是LTI系統(tǒng)模型2.5 單位沖激響應(yīng)和單位階躍響應(yīng)例2-14：求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)%例2-14a=1,3,2;b=2,6;subplot(211)impulse(b,a);subplot(212)step(b,a)2.6 卷積積分及其性質(zhì)卷積積

25、分的定義卷積積分的性質(zhì)交換律、分配律、結(jié)合律卷積的微分和積分 x(t)與奇異信號(hào)的卷積卷積的時(shí)移卷積的展縮特性零狀態(tài)響應(yīng)的卷積法求解2.6 卷積積分及其性質(zhì)卷積積分的定義卷積積分的計(jì)算步驟1）將x1(t)和x2(t)中的自變量由 t 改為，稱為函數(shù)的自變量；2）把其中一個(gè)信號(hào)翻轉(zhuǎn)、平移；3）將x1()與x2 (t- )相乘，對(duì)乘積后的圖形積分。2.6.1 卷積積分的定義和計(jì)算2.6 卷積積分及其性質(zhì)例2-15：計(jì)算t=02.6 卷積積分及其性質(zhì)a) -t0b) 0t12.6 卷積積分及其性質(zhì)c) 1t2d) 2t 32.6 卷積積分及其性質(zhì)d) 3t2.6 卷積積分及其性質(zhì)一、卷積代數(shù)性質(zhì)交換

26、律分配律結(jié)合律2.6.2 卷積積分的性質(zhì)2.6 卷積積分及其性質(zhì)二、卷積微分和積分性質(zhì)微分證明：由卷積的第二種形式，同理可證：2.6 卷積積分及其性質(zhì)積分證明：同理：2.6 卷積積分及其性質(zhì)微積分性則：若：特別地：此即：2.6 卷積積分及其性質(zhì)注意：應(yīng)用微積分性質(zhì)是有條件的：因?yàn)椋核裕和恚汗室螅杭矗汗剩?.6 卷積積分及其性質(zhì)三、與奇異信號(hào)的卷積（1）與沖激函數(shù)的卷積（2）與沖激函數(shù)的微分的卷積可推導(dǎo)2.6 卷積積分及其性質(zhì)（3）與階躍函數(shù)的卷積 任意函數(shù)與卷積，相當(dāng)信號(hào)通過一個(gè)積分器，如圖所示證明：2.6 卷積積分及其性質(zhì)解：例2-16: 、如圖所示，用微、積分性質(zhì)求10210E如下圖所示：和x(t)的微分h(t)的積分2.6 卷積積分及其性質(zhì)210(E)(-E)1/202.6 卷積積分及其性質(zhì)2.6 卷積積分及其性質(zhì)四、卷積的時(shí)移 若：則：證明：2.6 卷積積分及其性質(zhì)例2-17：利用時(shí)移特性及 ，計(jì)算2.6 卷積積分及其性質(zhì)#證明：五、卷積的展縮特性 若：則：2.6 卷積積分及其性質(zhì)1）將任意信號(hào)分解為單