1、第2章 個(gè)體風(fēng)險(xiǎn)模型 本章討論保險(xiǎn)人風(fēng)險(xiǎn)組合的總索賠額的分布函數(shù)?？偹髻r隨機(jī)變量的和的分布要用卷積，因此非常費(fèi)事。常用到均值，方差，矩母函數(shù)，特征函數(shù)，母函數(shù)等。有別于中心極限定理的近似方法。風(fēng)險(xiǎn)隨機(jī)變量往往不能用純離散和延續(xù)隨機(jī)變量來(lái)描寫(xiě)。因此常用Riemann-Stieltjes積分。2.1 引言2.2 混合分布和風(fēng)險(xiǎn) 本節(jié)我們討論保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的一些實(shí)例.由于純離散隨機(jī)變量和純延續(xù)隨機(jī)變量都不能描畫(huà)這種風(fēng)險(xiǎn)，所以我們必需先拓展分布函數(shù)類根據(jù)概率論的知識(shí)，任何一個(gè)分布函數(shù)都滿足離散型的隨機(jī)變量延續(xù)型的隨機(jī)變量在概率論中所學(xué)到的一切的隨機(jī)變量要么為離散型要么為延續(xù)型，幾乎無(wú)一例外然而保險(xiǎn)領(lǐng)域卻不總

2、是這樣許多被用來(lái)模擬保險(xiǎn)理賠支付的分布函數(shù)有延續(xù)增長(zhǎng)的部分，同時(shí)也有離散的、正的騰躍部分 設(shè)Z 代表某個(gè)保單的理賠支付，那么有三種情況：保單合同無(wú)理賠，因此Z=0 . 保單合同的索賠數(shù)額大于最大的保險(xiǎn)金額M ，那么Z =M . 保單合同產(chǎn)生正常的索賠數(shù)額，那么0Z 0 2.4 變換隨機(jī)變量的矩母函數(shù)與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。假設(shè)X 和Y 相互獨(dú)立，那么 對(duì)于某些具有重尾的分布，如柯西分布，其矩母函數(shù)不存在但是特征函數(shù)總是存在的特征函數(shù)定義為利用展開(kāi)式可以得到隨機(jī)變量的特征函數(shù)與分布函數(shù)一一對(duì)應(yīng)。所以X 的k 階矩等于概率母函數(shù)pgf僅用于取值為自然數(shù)的隨機(jī)變量，定義為累積量母函數(shù)cgf其定義為隨機(jī)變

3、量X 的偏度定義為其中 累積量母函數(shù)、概率母函數(shù)、特征函數(shù)和矩母函數(shù)之間有如下的關(guān)系：2.5 近似分布這樣，我們就可以用下式來(lái)逼近的分布函數(shù)：例2.5.3兩種不同的近似假設(shè)1000 個(gè)男性年輕人購(gòu)買(mǎi)了保險(xiǎn)期間為一年的保單 每個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0 . 001 ，且死亡發(fā)生的理賠支付為1 .我們要計(jì)算這批保單總的理賠支付至少為4 的概率。 由 得 (3)正態(tài)近似正態(tài)在這種情形下的估計(jì)很差！選擇伽瑪分布的理由伽瑪分布包含了常見(jiàn)的一些分布，如指數(shù)分布G(1,)，卡方分布(k/2,1/2)等。伽瑪分布是不對(duì)稱的，右拖尾分布。與保險(xiǎn)精算中的風(fēng)險(xiǎn)的分布往往具有類似的性質(zhì)。密度函數(shù)：矩及偏度：矩母函

4、數(shù)：平移伽瑪近似可以表述如下：=0.01Y4，0.002)2*0.002Y2(8)NP近似 對(duì)分布函數(shù)作展開(kāi)，思索分布的偏性而得到的一種近似的計(jì)算方法。等價(jià)于，當(dāng) 時(shí)，準(zhǔn)確值正態(tài)近似Poisson近似伽瑪平移NP0.018930.00620.018990.02120.0228例2.5.8用NP 近似重新計(jì)算例2.5.5 我們用2.62決議資本量，以使資本以95的概率不小于理賠額S :S 的95的分位點(diǎn)為我們對(duì) 和 運(yùn)用2.63 正態(tài)近似NP伽瑪平移0.00130.0110.0102 . 6 運(yùn)用：最優(yōu)再保險(xiǎn) 一個(gè)保險(xiǎn)人希望對(duì)20000 份一年期壽險(xiǎn)保單尋求一個(gè)最正確再保險(xiǎn)，這批保單按保險(xiǎn)金額可以分為以下三種：保險(xiǎn)人希望經(jīng)過(guò)對(duì)最正確自留額的選取，即每份保單的最大支付，盡量提高其在業(yè)務(wù)運(yùn)營(yíng)中可以滿足其財(cái)務(wù)職責(zé)的概率一次理賠中扣除自留額以外的剩余部分是由再保險(xiǎn)人支付例如，對(duì)于1.6 的自留額，保險(xiǎn)金額為2 的某個(gè)被保險(xiǎn)人死亡，該保險(xiǎn)人賠償1.6，再保險(xiǎn)人賠償0.4 收到保費(fèi)后，保險(xiǎn)人持有資金B(yǎng) 以應(yīng)付理賠和支付再保險(xiǎn)保費(fèi)再保險(xiǎn)保費(fèi)是凈保費(fèi)的120% . 首先，置自留額為2 ，從保險(xiǎn)人的角度看，保單是如下分布保險(xiǎn)人總的理賠數(shù)額S 的均值和方差分別為由中心極限定理，我們得到本錢(qián)超越