1、投資學(xué) 第7章優(yōu)化風(fēng)險(xiǎn)投資組合Optimal Risky Portfolios.上章回想：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合資本配置線最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)頭寸本章邏輯：風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合與風(fēng)險(xiǎn)分散化原理風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的優(yōu)化從資本配置到證券選擇.7.1 分散化與投資組合風(fēng)險(xiǎn)什么是投資組合?投資組合：由投資人或金融機(jī)構(gòu)所持有的股票、債券、衍生金融產(chǎn)品等組成的集合。投資組合的目的在于分散風(fēng)險(xiǎn)。 Portfoliois a financial term denoting a collection of investments held by an investment company,hedge fund, financial

2、 institution or individual.7.1 分散化與投資組合風(fēng)險(xiǎn)投資組合的風(fēng)險(xiǎn)來源：來自普通經(jīng)濟(jì)情況的風(fēng)險(xiǎn)(系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，systematic risk / nondiversifiable risk)特別要素風(fēng)險(xiǎn)(非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn), unique risk / firm-specific risk / nonsystematic risk / diversifiable risk).圖 7.1 Portfolio Risk as a Function of the Number of Stocks in the Portfolio.圖7.2 投資組合分散化.Covariance an

3、d CorrelationPortfolio risk depends on the correlation between the returns of the assets in the portfolioCovariance and the correlation coefficient provide a measure of the way returns of two assets vary.Two-Security Portfolio: Return. = Variance of Security D = Variance of Security E = Covariance o

4、f returns for Security D and Security ETwo-Security Portfolio: Risk.Two-Security Portfolio: RiskAnother way to express variance of the portfolio:.Table 7.2 Computation of Portfolio Variance From the Covariance Matrix.7.2 兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合.情況一：.情況二：.情況三：.組合的時(shí)機(jī)集與有效集資產(chǎn)組合的時(shí)機(jī)集合Portfolio opportunity set，即資產(chǎn)可構(gòu)造出

5、的一切組合的期望收益E(r)和規(guī)范差 。有效組合Efficient portfolio ：給定風(fēng)險(xiǎn)程度下的具有最高收益的組合或者給定收益程度下具有最小風(fēng)險(xiǎn)的組合。每一個(gè)組合代表E(r)和空間中的一個(gè)點(diǎn)。有效集 Efficient set ：又稱為有效邊境、有效前沿 Efficient frontier,它是有效組合的集合點(diǎn)的連線。.命題1：完全正相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的時(shí)機(jī)集合是一條直線。證明：由資產(chǎn)組合的計(jì)算公式可得.兩種資產(chǎn)組合完全正相關(guān)，當(dāng)權(quán)重wD從1減少到0時(shí)可以得到一條直線，該直線就構(gòu)成了兩種資產(chǎn)完全正相關(guān)的時(shí)機(jī)集合假定不允許買空賣空。收益 E(rp)風(fēng)險(xiǎn)pDE.兩種完全負(fù)相關(guān)資產(chǎn)的可行

6、集兩種資產(chǎn)完全負(fù)相關(guān)，即DE =-1，那么有.命題2：完全負(fù)相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的時(shí)機(jī)集合是兩條直線，其截距一樣，斜率異號(hào)。證明：. 兩種證券完全負(fù)相關(guān)的圖示收益rp風(fēng)險(xiǎn)pDE.命題3：不完全相關(guān)的兩種資產(chǎn)構(gòu)成的時(shí)機(jī)集合是一條二次曲線(雙曲線)證明：略.各種相關(guān)系數(shù)下、兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的資產(chǎn)組合時(shí)機(jī)集合(portfolio opportunity set)D收益E(rp)風(fēng)險(xiǎn)p=1=0.3=-1E.表7.1 兩只共同基金的描畫性統(tǒng)計(jì).表7.3 不同相關(guān)系數(shù)下的期望收益與規(guī)范差.圖7.3 組合期望收益為投資比例的函數(shù).圖7.4 作為投資比例函數(shù)的組合規(guī)范差.圖7.5 投資組合的期望收益為規(guī)范差的函

7、數(shù).7.3 資產(chǎn)在股票、債券與國(guó)庫券之間的配置組合方法：兩項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)先組合構(gòu)成新的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合，然后再向組合中參與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成的資本配置線(CAL)中斜率最高的，成效程度最高.圖7.6 債券與股票基金的可行集和兩條可行的CALs.最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P的求解.圖7.7 The Opportunity Set of the Debt and Equity Funds with the Optimal CAL and the Optimal Risky Portfolio.圖7.8 Determination of the Optimal Overall Portfolio.圖7.9 The Pro

8、portions of the Optimal Overall Portfolio.小結(jié)：兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的配置程序確定各類證券的收益風(fēng)險(xiǎn)特征建造風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合 根據(jù)式(7-13)計(jì)算最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P的構(gòu)成比例.小結(jié)：兩種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合的配置程序根據(jù)式(7-2)、(7-3)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P的收益風(fēng)險(xiǎn)特征配置風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)根據(jù)式(7-14)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合P與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的組合權(quán)重計(jì)算最終投資組合中詳細(xì)投資種類的份額。.7.4 馬科維茨的資產(chǎn)組合選擇模型均值-方差Mean-variance模型是由Harry Markowitz于1952年建立的，其目的是尋覓投資組

9、合的有效邊境。經(jīng)過期望收益和方差來評(píng)價(jià)組合，投資者是理性的：害怕風(fēng)險(xiǎn)和收益多多益善。 因此，根據(jù)投資組合比較的占優(yōu)原那么，這可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題，即1給定收益的條件下，風(fēng)險(xiǎn)最小化2給定風(fēng)險(xiǎn)的條件下，收益最大化.對(duì)于上述帶有約束條件的優(yōu)化問題，可以引入拉格朗日乘子和來處理這一優(yōu)化問題。構(gòu)造拉格朗日函數(shù)如下上式左右兩邊對(duì)wi求導(dǎo)數(shù)，令其一階條件為0，得到方程組.和方程 .這樣共有n2方程，未知數(shù)為wii1，2,n、和，共有n2個(gè)未知量，其解是存在的。留意到上述的方程是線性方程組，可以經(jīng)過線性代數(shù)加以處理。.正式證明: n項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合有效前沿假定1：市場(chǎng)上存在 種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，令代表投資到這n種資產(chǎn)

10、上的財(cái)富的相對(duì)份額，那么有：且賣空不受限制，即允許2. 也是一個(gè)n維列向量，它表示每一種資產(chǎn)的期望收益率，那么組合的期望收益.3.運(yùn)用矩陣 表示資產(chǎn)之間的方差協(xié)方差，有注：方差協(xié)方差矩陣是正定、非奇特矩陣。所以，對(duì)于任何非0的向量.其中， 是一切元素為1的n維列向量。由此構(gòu)造Lagrange函數(shù).由于是二次規(guī)劃，一階條件既是必要條件，又是充分條件0=0,0,0T.有效組合集的幾何特征性質(zhì)：有效組合集是均方平面上的雙曲線.這是均方二維空間中的雙曲線，無妨稱為最小方差曲線min variance curve。雙曲線的中心是0，A/C，漸近線為.g點(diǎn)是全局最小方差組合點(diǎn)global minimum

11、variance portfolio point均值方差wg.留意點(diǎn)wg以下的部分，由于它違背了均方準(zhǔn)那么，被理性投資者排除，這樣，全局最小方差點(diǎn)wg以上的部分子集，被稱為均方效率邊境(mean-variance efficient frontier)均值方差wg.不同理性投資者具有不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度.結(jié)合投資者成效曲線的最優(yōu)組合選擇最優(yōu)資產(chǎn)組合位于無差別曲線I2與有效集相切的切點(diǎn)處。由G點(diǎn)可見，對(duì)于更害怕風(fēng)險(xiǎn)的投資者，他在有效邊境上的點(diǎn)具有較低的風(fēng)險(xiǎn)和收益。.資產(chǎn)組合實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)初次對(duì)風(fēng)險(xiǎn)和收益進(jìn)展準(zhǔn)確的描畫，處理對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的衡量問題，使投資學(xué)從一個(gè)藝術(shù)邁向科學(xué)。分散投資的合理性為基金管理提供實(shí)際根

12、據(jù)。單個(gè)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)并不重要，重要的是組合的風(fēng)險(xiǎn)。開創(chuàng)了數(shù)量分析方法在金融學(xué)當(dāng)中的運(yùn)用.資產(chǎn)組合實(shí)際的缺陷當(dāng)證券的數(shù)量較多時(shí)，計(jì)算量非常大，使模型運(yùn)用遭到限制。均值方差分析的成立條件：收益正態(tài)分布和二次型成效函數(shù).圖7.10 The Minimum-Variance Frontier of Risky Assets.圖7.11 The Efficient Frontier of Risky Assets with the Optimal CAL.圖 7.12 The Efficient Portfolio Set.7.4.2 資產(chǎn)配置與資產(chǎn)分割.對(duì)組合選擇的啟示假設(shè)市場(chǎng)是有效的，資產(chǎn)組合選擇問題

13、可以分為兩個(gè)獨(dú)立的任務(wù)，即資本配置決策Capital allocation decision和資產(chǎn)選擇決策Asset allocation decision。資產(chǎn)選擇決策：在眾多的風(fēng)險(xiǎn)證券中選擇適當(dāng)?shù)娘L(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)構(gòu)成資產(chǎn)組合。資本配置決策：思索資金在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)組合之間的分配?；鸸究梢圆挥盟妓魍顿Y者偏好的情況下，確定最優(yōu)的風(fēng)險(xiǎn)組合-separation property。.7.4.3 分散化的力量.表7.4 Risk Reduction of Equally Weighted Portfolios in Correlated and Uncorrelated Universes.本章小結(jié)風(fēng)

14、險(xiǎn)資產(chǎn)組合分散化原理Markowitz投資組合實(shí)際、最優(yōu)效率邊境資本配置與證券選擇資本配置與資產(chǎn)分割.練習(xí)馬克維茲描畫的投資組合實(shí)際主要關(guān)注于：系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的減少分散化對(duì)于投資組合的風(fēng)險(xiǎn)影響非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)確實(shí)認(rèn)積極地資產(chǎn)管理以擴(kuò)展收益.練習(xí)下面對(duì)投資組合分散化的說法哪些是正確的？適當(dāng)?shù)姆稚⒒梢詼p少或消除系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。分散化減少投資組合的期望收益，由于它減少了投資組合的總體風(fēng)險(xiǎn)當(dāng)把越來越多的證券參與到投資組合中時(shí)，總體風(fēng)險(xiǎn)普通會(huì)以遞減的速率下降。除非投資組合包含了至少30只以上的個(gè)股，分散化降低風(fēng)險(xiǎn)的益處不會(huì)充分地發(fā)揚(yáng)出來。.練習(xí)下面哪一種投資組合不屬于馬克維茲描畫的有效邊境？期望收益標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)15%36%

15、B12%15%C5%7%D9%21%.練習(xí)假設(shè)證券市場(chǎng)有很多股票，股票A和股票B的特性如下：假設(shè)投資者可以以無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf借款。那么rf的值為多少？股票期望收益標(biāo)準(zhǔn)差A(yù)10%5%B15%10%相關(guān)系數(shù)=-1.練習(xí)股票提供的期望收益率為18%，規(guī)范差為22%。黃金提供的期望收益率為10%，規(guī)范差為30%。根據(jù)黃金在平均收益和動(dòng)搖性上的明顯優(yōu)勢(shì)，有人會(huì)情愿持有它嗎？.練習(xí)一位養(yǎng)老基金管理人正在關(guān)注三種共同基金：股票基金，長(zhǎng)期政府和公司債券基金，收益率為8%的短期國(guó)庫券貨幣市場(chǎng)基金。這些風(fēng)險(xiǎn)基金的概率分布如下：基金的收益率之間的相關(guān)系數(shù)為0.10期望收益標(biāo)準(zhǔn)差股票基金（S）20%30%債券基金（B）12%15%.練習(xí)兩種風(fēng)險(xiǎn)基金的最小方差投資組合的投資比例是多少？這種投資組合收益率的期望值與規(guī)范差各是多少？期望收益標(biāo)準(zhǔn)差股票基金（S）20%30%債券基金（B）12%15%國(guó)庫券8%基金相關(guān)系數(shù)=0.10.練習(xí)計(jì)算出最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)投資組合下每種資產(chǎn)的比例以及期望收益與規(guī)范差期望收益標(biāo)準(zhǔn)差股票基金（S）20%30%債券基金（B）12%15%國(guó)庫券8%基金相關(guān)系數(shù)=0.10.練習(xí)最優(yōu)配置線下的最優(yōu)報(bào)酬-風(fēng)險(xiǎn)比率是多少？期望收益標(biāo)準(zhǔn)差股票基金（S）20%30%債券基金（B）12%15%國(guó)庫券8