1、( a 2b)( a 2b)a2b)1 55 1第二十八章28.1 圖形的相似15 （2012 北京， 15， 5）已知 b 0 ，求代數(shù)式2 3【解析】【答案】設(shè) a=2k, b=3k，原式 = 5a 2b ( a圖形的相似與位似5aa22b4b2a 2b 的值5a 2b 10k 6k 4k 1a 2b 2k 6k 8k 2【點評】本題考查了見比設(shè)份的解題方法，以及分式中的因式分解，約分等。28.2 線段的比、黃金分割與比例的性質(zhì)（2011 山東省濰坊市，題號 8，分值 3） 8、已知矩形 ABCD 中， AB=1, 在 BC 上取一點 E , 沿 AE 將ABE 向上折疊，使 B 點落在

2、AD 上的 F 點，若四邊形 EFDC 與矩形 ABCD 相似，則 AD= （ ）A5 1B5 1C3D 222考點：多邊形的相似、一元二次方程的解法解答：根據(jù)已知得四邊形 ABEF 為正方形。因為四邊形 EFDC 與矩形 ABCD 相似所以 DF:EF=AB:BC 即 （AD-1 ） :1=1:AD 整理得： AD 2 AD 1 0 ,解得 AD2由于 AD 為正，得到 AD= ，本題正確答案是 B.2點評：本題綜合考察了一元二次方程和多邊形的相似，綜合性強。28.3 相似三角形的判定（2012 山東省聊城， 11， 3 分）如圖， ABC 中，點 D 、 E 分別是 AB 、 AC 的中點

3、，下列結(jié)論不正確的是（ ）第 1 頁A.BC=2DE B. ADE ABC解析：根據(jù)三角形中位線定義與性質(zhì)可知，AD C.AEBC=2DE ；因ABD. S ABC 3S ADEACDE/BC ，所以 ADE ABC， AD： AB=AE ： AC，即 AD： AE=AB ： AC， S ABC 4S ADE .所以選項 D 錯誤 .答案： D點評：三角形的中位線平行且等于第三邊的一半 .有三角形中位線，可以得出線段倍分關(guān)系、比例關(guān)系、三角形相似、三角形面積之間關(guān)系等 .（2012 四川省資陽市， 10， 3 分） 如圖，在 ABC 中， C 90，將 ABC 沿直線 MN 翻折后，頂點 C

4、恰好落在 AB 邊上的點 D 處，已知 MN AB， MC 6， NC 2 3 ，則四邊形 MABN 的面積是A 6 3 B 12 3 C 18 3 D 24 3CM NA D B（第 10 題圖）【解析】 由 MC 6， NC 2 3， C 90得 S CMN = 6 3 ，再由翻折前后 CMN DMN 得對應(yīng)高相等；由MN AB 得CMN CAB 且相似比為 1:2，故兩者的面積比為 1:4，從而得 S CMN： S 四邊形 MABN =1:3 ，故選 C.【答案】 C【點評】 本題綜合考查了直角三角形的面積算法、翻折的性質(zhì)、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似圖形的面積比等于相似比的

5、平方等一些類知識點 .知識點豐富；考查了學(xué)生綜合運用知識來解決問題的能力 .難度較大.第 2 頁（2012 湖北隨州， 14,4 分）如圖，點 D,E 分別在 AB 、 AC 上，且 ABC= AED 。若 DE=4， AE=5， BC=8 ，則AB 的長為 _ 。 10解析： ： ABC= AED ， BAC= EAD AED ABC ，答案： 10AE DE， DE=10AB CB點評：本題主要考查了三角形相似的判定和性質(zhì)。利用兩三角形的相似比，通過已知邊長度求解某邊長度，是常用的一種計算線段長度的方法。28.4 相似三角形的性質(zhì)(2012 重慶， 12， 4 分)已知 ABC DEF ，

6、 ABC 的周長為 3， DEF 的周長為 1，則 ABC 與 DEF 的面積之比為 _解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案： 9： 1點評：本題考查相似三角形的基本性質(zhì)。（2012 浙江省衢州， 15， 4 分）如圖， ABCD中， E 是 CD 的延長線上一點， BE 與 AD 交于點 F， CD=2DE .若DEF 的面積為 a，則 ABCD中的面積為 .(用 a 的代數(shù)式表示 )【解析】根據(jù)四邊形 ABCD 是平行四邊形，利用已知得出 DEF CEB， DEF ABF ，進而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出 CEB 、 ABF 的面積為

7、 4a、 9a，然后推出四邊形 BCDF 的面積為 8a 即可 .第 3 頁【答案】 12a【點評】 此題主要考查相似三角形的判定、 性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握， 解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理（ 2012 山 東 省 荷 澤 市， 16(1),6 ） (1) 如 圖， DAB= CAE， 請 你 再 補 充 一 個 條 件 _, 使 得ABC ADE ，并說明理由 .【解析】 從已知條件中可得出一組角對應(yīng)相等， 要判定兩個三角形相似， 可以增加另外一組對應(yīng)相等或者是這兩角的兩邊對應(yīng)成比 .【答案】 D B或 AED C -2 分理由：兩角對應(yīng)相等，兩三

8、角形相似 -6 分【點評】 判斷兩個三角形相似的條件中兩角對應(yīng)相等兩三角形相似比較常用， 在選擇方法一定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進行添加 .（湖南株洲市 6,20 題） （本題滿分 6 分） 如圖，在矩形 ABCD 中， AB=6， BC=8, 沿直線 MN 對 折，使 A 、 C 重合，直線 MN 交 AC 于 O.（1）、求證： COM CBA；（2）、求線段 OM 的長度 .【解析】 要證明 COM CBA 就是要找出 COM= B 即可，求線段的長就是利用第（ 1）問中的相似建立比例式，構(gòu)造出 OM 的方程求解 .【解】 （1）證明： A 與 C 關(guān)于直線 MN 對稱第 4

9、頁AC MNCOM=90在矩形 ABCD 中， B=90 COM= B-1又 ACB= ACB-2分分 COM CBA -3（2） 在 RtCBA 中， AB=6， BC=8AC=10- -4 分OC=5 COM CBA-5分分OC OM=BC AB15OM= -6 分4【點評】 求證兩個三角形相似的方法主要是兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似、兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等，兩三角形相似及三邊對應(yīng)成比例， 兩三角形相似， 求線段的長的方法， 主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理 .（2012 湖南婁底， 25， 10 分）如圖 13，在 ABC 中， AB AC， B 30 ， BC 8， D 在邊

10、 BC 上， E 在線段 DC上， DE 4， DEF 是等邊三角形，邊 DF 交邊 AB 于點 M，邊 EF 交邊 AC 于點 N .（ 1）求證： BMD CNE；（2）當 BD 為何值時，以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切？（3）設(shè) BD x，五邊形 ANEDM 的面積為 y，求 y 與 x 之間的函數(shù)解析式（要求寫出自變量 x 的取值范圍） ；當 x 為何值時， y 有最大值？并求 y 的最大值 .FANMB D E C【解析】 （1）由 AB=AC ， B=30，根據(jù)等邊對等角，可求得 C=B=30，又由 DEF 是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)， 易求得 MDB=

11、 NEC=12， BMD= B= C= CNE=3， 即可判定： BMD CNE；第 5 頁212 41x(4 4x2238 33CE (4 x) 4MDH=sin60 = = = ，解得：MD x 2（2）首先過點 M 作 MH BC，設(shè) BD=x ，由以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切，可得 MH=MF=4-x ， 由（ 1）可得 MD=BD ，然后在 RtDMH 中，利用正弦函數(shù)，即可求得答案；（3）首先求得 ABC 的面積，繼而求得 BDM 的面積，然后由相似三角形的性質(zhì)，可求得 BCN 的面積，再利用二次函數(shù)的最值問題，即可求得答案【 答 案 】 （ 1 ） 證 明

12、： AB=AC ， B= C=30. DEF 是 等 邊 三 角 形， FDE= FED=60 ， MDB= NEC=12 ， BMD= B=C=CNE=3 ， BMD CNE；（2）過點 M 作 MH BC ，以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC 相切， MH=MF ，設(shè) BD=x ， DEF 是等邊三角形， FDE=60， B=30， BMD= FDE- B=60-30 =30= B， DM=BD=x ， MH=MF=DF-MD=4-x ， 在 RtDMH 中，sin MH 4-x 3 x=16 8 3 ，當 BD= 16 8 3 時，以 M 為圓心，以 MF 為半徑的圓與 BC

13、相切；（3）過點 M 作 MH BC 于 H，過點 A 作 AK BC 于 K，AB=AC ，BK= 1 BC= 1 8=4。 B=30，2 2AK=BK?tan B=4 3 = 4 33 3MH=MD?sin MDH=3 x ， 21 ， SABC=2SBDM = ?x?BC?AK= 8 4 3 = 16 3 ， 由 （ 2 ） 得： MD=BD=x ，2 3 33 x= 3 x2 . DEF 是 等 邊 三 角 形 且 DE=4， BC=8 ，EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x ， BMD CNE ， SBDM： SCEN= ( BD )2 = x2 2 ， SCEN= 3 (4

14、x)2 ，y=S ABC -SCEN -S BDM = 16 333 243 x) 2 =3 2 2 3x2 3 =3( x 2)2（0 x）4，當 x=2 時， y 有最大值，最大值為8 33【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識此題綜合性較強，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用(2012 重慶， 12， 4 分)已知ABC DEF， ABC 的周長為 3， DEF 的周長為 1，則 ABC 與DEF 的面 積之比為 _解析：相似三角形的周長比等于相似比，相似三角形的面積比等于相似比的平方，故可求出答案。答案： 9： 1點

15、評：本題考查相似三角形的基本性質(zhì)。第 6 頁（2012 浙江省衢州， 15， 4 分）如圖， ABCD中， E 是 CD 的延長線上一點， BE 與 AD 交于點 F， CD=2DE .若DEF 的面積為 a，則 ABCD中的面積為 .(用 a 的代數(shù)式表示 )【解析】根據(jù)四邊形 ABCD 是平行四邊形，利用已知得出 DEF CEB， DEF ABF ，進而利用相似三角形的性質(zhì)分別得出 CEB 、 ABF 的面積為 4a、 9a，然后推出四邊形 BCDF 的面積為 8a 即可 .【答案】 12a【點評】 此題主要考查相似三角形的判定、 性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)等知識點的理解和掌握， 解答此題的關(guān)

16、鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理（ 2012 山 東 省 荷 澤 市， 16(1),6 ） (1) 如 圖， DAB= CAE， 請 你 再 補 充 一 個 條 件 _, 使 得ABC ADE ，并說明理由 .【解析】 從已知條件中可得出一組角對應(yīng)相等， 要判定兩個三角形相似， 可以增加另外一組對應(yīng)相等或者是這兩角的兩邊對應(yīng)成比 .【答案】 D B或 AED C -2 分理由：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似 -6 分【點評】 判斷兩個三角形相似的條件中兩角對應(yīng)相等兩三角形相似比較常用， 在選擇方法一定要根據(jù)題目中或圖形中所給提供的條件進行添加 .（2012 山東泰安， 17， 3 分）

17、如圖， 將矩形紙片 ABCD 沿 EF 折疊， 使點 B 與 CD 的中點重合， 若 AB=2， BC=3，則FC B 與 B DG 的面積之比為（ ）第 7 頁4, 3 3 91A.9： 4 B.3： 2 C.4： 3 D.16： 9【解析】設(shè) CF=x ，則 BF=3-x ，由折疊得 B F=BF=3-x, 在 RtFC B 中，由由勾股定理得 CF2+C B 2=F B 2，x2+12 =(3-x) 2,解得 x= 4 , 由已知可證 RtFC B Rt B DG，AR 所以 S FC B 與 S B DG 的面積為 （ 4： 1）2= 16 .【答案】 D.【點評】 本題綜合考查了折疊

18、的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積比等于相似比的平方。（2012 年四川省德陽市，第 11 題、 3 分） 如圖，點 D 是ABC 的邊 AB 的延長線上一點，點 F 是邊 BC 上的一個動點（不與點 B 重合） . 以 BD 、 BF 為鄰邊作平行四邊形 BDEF ，又 AP / BE （點 P、 E 在直線 AB 的同側(cè)），1如果 BD AB ，那么 PBC 的面積與 ABC13A.B.45D1 3C. D.5 4【解析】 連接 FP, 延長 AP 交 BC 的延長線于 H, 過點 A 、面積之比為APGBCFEP 分別作 AM BC, PN BC ,垂足 M 、 N.四

19、邊形BDEF 是平行四邊形， EF AD ,又 AP / BE， E、 F、 P 共線，即 PF AB , 四邊形 APEB 是平行四邊形，EP=AB ， 又 BD AB 41 1 3 PNEF=DB= AB= PF,PF= AB, ABH PFH, 4 3 4 AMPF 3 SPBCAB 4 SABCPNAM3.4第 8 頁，2 2 2【答案】 D.【點評】 此題應(yīng)用了平行四邊形， 相似三角形和三角形面積的相關(guān)知識， 能夠合理作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵，（2012 山東省荷澤市， 18,10） 如圖， 在邊長為 1 的小正方形組成的網(wǎng)格中， ABC 和 DEF 的頂點都在格點上，P1， P2

20、， P3， P4， P5 是DEF 邊上的 5 個格點，請按要求完成下列各題：（ 1）試證明三角形 ABC 為直角三角形；（2）判斷 ABC 和DEF 是否相似，并說明理由；（3）畫一個三角形，它的三個頂點為中的 3 個格點并且與 ABC 相似； （要求：用尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法與證明）【解析】 在網(wǎng)格中借助勾股定理求 ABC 三邊的長，然后利用勾股定理的逆定理來判斷 ABC 的形狀 .【答案】 解：（ 1）根據(jù)勾股定理，得 AB 2 5， AC 5， BC=5 ；顯然有 AB AC BC ，根據(jù)勾股定理的逆定理得 ABC 為直角三角形（ 1） ABC 和DEF 相似根據(jù)勾股定理，得 A

21、B 2 5， AC 5， BC=5DE 4ABDE2， DFAC BCDF EF2 2， EF 2 10 DB5 P5 P12 2 F P2C P3P4A E第 9 頁1 1 ABC DEF（ 3）如圖： P2P4 P5【點評】 在網(wǎng)格中計算線段的長，勾股定理是首先的計算方法，在網(wǎng)格中證明三角形相似，常用的方法是兩邊對應(yīng)成比且夾角相等或者三邊對應(yīng)成比例 .（2012 安徽， 22， 12 分）如圖 1，在 ABC 中， D 、 E、 F 分別為三邊的中點， G 點在邊 AB 上， BDG 與四邊形 ACDG 的周長相等，設(shè) BC=a 、 AC=b 、 AB=c.（ 1）求線段 BG 的長；解：

22、（2）求證： DG 平分 EDF;證：（3）連接 CG，如圖 2，若 BDG 與DFG 相似，求證： BG CG.證：解析：已知三角形三邊中點連線，利用三角形中位線性質(zhì)計算證明 .（ 1）已知 ABC 的邊長，由三角形中位線性質(zhì)知 DF 1 b , DE 1 c ，根據(jù) BDG 與四邊形 ACDG 周長相等，可得 BG b c . （2）由（ 1）的結(jié)論，利2 2 2用等腰三角形性質(zhì)和平行線性質(zhì)可證 . （3）利用兩個三角形相似，對應(yīng)角相等，從而等角對等邊， BD=DG=CD ，即可證明 .解（ 1） D 、 C 、 F 分別是 ABC 三邊中點DE AB,DF AC，2 2又 BDG 與四邊

23、形 ACDG 周長相等即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AGBG=AC+AGBG=AB AG第 10 頁BG=b2sin 45MRAB AC2（2）證明： BG=b c2b c， FG=BG BF= b c c2 2 2FG=DF, FDG= FGD又 DE AB EDG= FGDFDG= EDGDG 平分 EDF（3）在 DFG 中， FDG= FGD, DFG 是等腰三角形 , BDG 與DFG 相似 , BDG 是等腰三角形 , B= BGD, BD=DG,則 CD= BD=DG, B 、 CG、三點共圓 , BGC=9 , BG CG點評：這是一道幾何綜合題，在計算證明時，根據(jù)題

24、中已知條件，結(jié)合圖形性質(zhì)來完成 .后面的問題可以結(jié)合前面問題來做 .（2012 山東泰安， 28， 10 分） 如圖， E 是矩形 ABCE 的邊 BC 上一點， EFAE， EF 分別交 AC 、 CD 于點 M 、F， BG AC，垂足為 G， BG 交 AE 于點 H 。（ 1）求證： ABE ECF；（2）找出與 ABH 相似的三角形，并證明；（3）若 E 是 BC 中點， BC=2AB ， AB=2 ，求 EM 的長。【解析】 （1）由四邊形 ABCD 是矩形，可得 ABE= ECF=90 ，又由 EFAE ，利用同角的余角相等，可得BAE= CEF，然后利用有兩組角對應(yīng)相等的兩個三

25、角形相似，即可證得： ABE ECF；（2）由 BG AC，易證得 ABH= ECM ，又由（ 1）中 BAH= CEM ，即可證得 ABH ECM；（3）首先作 MR BC，垂足為 R，由 AB： BC=MR： RC=2 ， AEB=45 ，即可求得 MR 的長，又由 EM= ，即可求得答案第 11 頁sin 45 MR【答案】 （1）證明：四邊形 ABCD 是矩形， ABE= ECF=90 AE EF，AEB+ FEC=90 AEB+ BEA=90， BAE= CEF， ABE ECF.（2） ABH ECM 證明：BG AC ， ABG+ BAG=9 ， ABH= ECM ，由（ 1）知

26、， BAH= CEM ， ABH ECM. （3）解：作 MR BC，垂足為 R， AB=BE=EC=2 ，AB： BC=MR： RC=2 ， AEB=45 ， MER=45 ， CR=2MR ， MR=ER= RC= ， EM= =【點評】 考查了矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意掌握 “有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似 ”定理的應(yīng)用（2012 貴州銅仁， 8， 4 分如圖， 六邊形 ABCDEF 六邊形 GHIJKL ， 相似比為 2:1， 則下列結(jié)論正確的是 （ ）A E=2 KB. BC=2HIC. 六邊形 ABCD

27、EF 的周長 = 六邊形長D. S 六邊形 ABCDEF=2S 六邊形 GHIJK【解析】 A 、六邊形 ABCDEF 六邊形B 、六邊形 ABCDEF 六邊形GHIJKL 的 周8 題圖GHIJKL ， E=K ，故本選項錯誤；GHIJKL ，相似比為 2： 1， BC=2HI ，故本選項正確；C 、六邊形 ABCDEF 六邊形 GHIJKL ，相似比為 2：1，六邊形 ABCDEF 的周長 =六邊形 GHIJKL的周長 2，故本選項錯誤；D 、六邊形 ABCDEF 六邊形【解答】 B.【點評】 本題考查相似圖形的性質(zhì)GHIJKL ，相似比為 2： 1， S 六邊形 ABCDEF =4S 六

28、邊形 GHIJKL ，故本選項錯誤.兩個圖形相似，對應(yīng)角相等，邊長的比和周長的比都等于相似比，面積比等于相似比的平方 .解答此題應(yīng)注意相似圖形邊長的比、周長的比、面積比與相似比之間的關(guān)系 .（2012 陜西 5， 3 分）如圖，在 ABC中， AD , BE 是兩條中線，則 S EDC : S ABC （）A 1 2 B 2 3第 12 頁3 32 2FDBFAB 2C 1 3 D 1 4【解析】由題意可知， ED 為 ABC 的中位線，則 CED CAB S ED C : S ABC ( ED ) 2 ( 1 ) 2 1 : 4，故選 D【答案】 D【點評】本題主要考查了三角形的中線的定義、

29、中位線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)等 .難度中等 .（2012 湖北咸寧， 6， 3 分） 如圖， 正方形 OABC 與正方形 ODEF 是位似圖形， O 為位似中心， 相似比為 1 2 ，點 A 的坐標為 (1， 0)，則 E 點的坐標為（ ）yF EC BO（第A (【解析】A D x6 題）2， 0) B ( ， )由已知得， E 點的坐標就是點C ( 2， 2 ) D (2， 2)A 坐標的 2 倍【答案】 C【點評】 本題著重考查了位似圖形的坐標特點，注意本題是同向位似(2012山東日照，A8，3分)在菱形 ABCD 中， E是BC邊上的點， 連接 AE交BD 于點 F, 若EC=2BE

30、, 則 的值是 （ ）DFB E1 A.2解 析 ：C如 圖 ，1B.3由 菱 形1C.4ABCD 得 AD BE,，1D.5所 以 BEF ADF, 又 由 EC =2BE , 得 AD=BC=3 BE, 故BF BE 1= = .FD AD 3第 13 頁4 2解答：選 B點評：本題主要考查了棱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵 .（2012 湖南省張家界市 10 題 分）已知 ABC 與 DEF 相似且面積比為 4 25，則 ABC 與 DEF 的相似比為 【分析】相似三角形相似比等于面積比的算術(shù)平方根 .【解答】 ABC 與 DEF 的相似比為 = .25 5【

31、點評】相似三角形面積比等于相似比的平方 .（2012 山東省濱州， 18， 4 分）如圖，銳角三角形 ABC 的邊 AB， AC 上的高線 CE 和 BF 相交于點 D ，請寫出圖中的兩對相似三角形： （用相似符號連接） 【解析】 （） 由于 BDE= CDF BED= CFD=90，可得 BDE CDF 。由于 A= A， AFB= AEC=90，可得 ABF ACE 。解： （1）在 BDE 和CDF 中 BDE= CDF BED= CFD=90 ， BDE CDF（2）在 ABF 和ACE 中， A= A ， AFB= AEC=90 ， ABF ACE【答案 】 BDE CDF， ABF

32、 ACE【點評】 本題考查相似三角形的判定方法三角形相似的判定方法有， AA， AAS 、 ASA 、 SAS 等(2012 貴州黔西南州， 17， 3 分)如圖 5，在梯形 ABCD 中， AD BC ，對角線 AC 、 BD 相交于點 O，若 AD=1，BC=3， AOD 的面積為 3，則 BOC 的面積為 _【解析】 由題意知 AD BC ，所以 OAD= OCB， ODA= OBC，所以 OAD OCB 又 AD=1， BC=3，所以 OAD 與OCB 的相似比為 1:3，面積之比為 1:9，而 AOD 的面積為 3，所以 BOC 的面積為 27第 14 頁【答案】 27【點評】理解相

33、似三角形的相似比與周長比、面積比之間的關(guān)系，是解決本題的關(guān)鍵（2012 貴州遵義， 7,3 分）如圖，在 ABC 中， EF BC， = ， S 四邊形 BCFE=8 ，則 SABC = （ ）A 9 B 10 C 12 D 13解析：求出 的值，推出 AEF ABC ，得出解： = ， = = ，EFBC， AEF ABC， = = ，9SAEF=S ABC，S 四邊形 BCFE=8，9 （SABC 8） =SABC，= ，把 S 四邊形 BCFE=8 代入求出即可解得： SABC =9故選 A答案： A點評： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方

34、，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目（2012 湖北省恩施市，題號 20 分值 8）如圖 8，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形紙片 ABCD ，先折出 BC的中點 E ，再折出線段 AE ，然后通過折疊使 EB 落在線段 EA 上，折出點 B 的新位置 B1 ，因而 EB 1=EB 。類似第 15 頁10 6,2m11 11 1 11BDE的，在 AB 上折出點 11 使 AB 11=AB 1 。這是 B 11 就是 AB 的黃金分割點。請你證明這個結(jié)論?！窘馕觥吭O(shè) BE=1 ，可知 BC=AB=2 ， AE= 5 ，由 EB =EB 得 AB =AB = 5-1, 根據(jù)黃金分割意義 AB

35、： AB=（ 5-1）： 2，問題得證。【答案】證明：設(shè) BE=1 ，則 BC=AB=2 ， AE= AB BE 2 = 5， EB 1=EB， AB 11=AB 1= 5-1, AB 11：AB= （ 5-1）： 2， B 11 是 AB 的黃金分割點。【點評本題既考查學(xué)生閱讀理解能力， 又考查考查黃金分割點的意義， 難度中等。 數(shù)學(xué)新課程標準非常重視培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，提倡讓學(xué)生在操作中感受和體驗數(shù)學(xué)知識的形成和發(fā)展把握折疊過程中的等邊是解答此類問題的關(guān)鍵，勾股定理是計算折疊問題中線段長度的重要工具。（2012 南京市， 15，2）如圖， 在平行四邊形 ABCD 中， AD=10 厘米

36、， CD=6 厘米， E 為 AD 上一點， 且 BE=BC,CE=CD ，則 DE= 厘米 .AB C解析： BCE 與CDE 均為等腰三角形，且兩個底角DEC= BCE， BCE CDE， = , DE=3.6 厘米 .6 DE答案： 3.6.BC CE=CD DE點評：在圖形中，利用相似，得出比例式，可以求出線段的長 .（2012 湖北黃岡， 25， 14）如圖，已知拋物線的方程 C 1:y=- (x+2)(x-m)(m0) 與x 軸相交于點 B 、 C，與 y軸相交第 16 頁m1131于點 E，且點 B在點 C的左側(cè) .(1)若拋物線 C 1過點 M(2， 2)，求實數(shù) m的值(2)

37、在(1) 的條件下，求 BCE 的面積(3)在(1) 的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點 H ，使 BH+EH(4)在第四象限內(nèi)，拋物線 C 1上是否存在點 F，使得以點 B 、 C 、 的值；若不存在，請說明理由最小，并求出點 H 的坐標F 為頂點的三角與 BCE 相似 ?若存在，求 m【解析】 （1）把 M(2， 2)代入 y=- 1 (x+2)(x-m) 即可求出 m；（ 2）求出 B 、（3）利用 “兩點之間，線段最短 ”和軸對稱的性質(zhì)可探索解題思路；（最后利用相似三角形的性質(zhì)和方程思想來解決問題 .C 、 E 三點坐標即可求出 SBCE；4）分兩種情況來探討解題過程，【答案】解： （

38、 1）依題意把 M(2， 2) 代入 y=- 1 (x+2)(x-m) 得： 2=- 1 (2+2)(2-m) ，解得 m=4.m m（2）由 y=0 得： - (x+2)(x-4)=0 得 x 1=-2， x2=4 B （-2， 0） C（4， 0） . 4由 x=0 得： y=2 E （0， 2） SBCE = 1 BCOE= 1 6 2=6.2 2（3）當 m=4 時， C1 的對稱軸為 x= （ -2+4） =1，點 B、 C 關(guān)于直線 2則 H 點使得 BH+EH 最小 .設(shè)直線 EC 的解析式為 y=kx+b， 把 E（0，x=1 對稱 .連 EC 交對稱軸于點 H，2） 、C（4

39、， 0）代入得 y=- x+2， 2把 x=1 代入得 H （1， ） .2（ 4 ） 分 兩 種 情 況 ： 當 BEC BCF 時 ， 則BEEBC= CBF=45，BCBCBF即 BC 2 BE BF ，作 FTx 軸于點 T ，可設(shè) F（x， -x-2）1-x-2=- m (x+2)(x-m) x+2 0 x=2m， F （2m， -2m -2） .BF=BC=m+2 . m 2 22m 2 222m 2 2 2 m 1 ，2 2 2 2 m 1 解得 m=2 2 2 ，又 m 0， m= 2 2 2 .（x 0），則BE= 2 2 ，第 17 頁m m mBC EC TF OE2,E

40、FEF CGCDaCD當 BEC FCB 時，則 ， EBC= CFB， BTF COE，BF BC BT OC可設(shè) F （x， - 2 （x+2）（x 0）， - 2 （x+2） =- 1 (x+2)(x-m) ，2 m 4mx+2 0 x=m+2， F（m+2， -）， EC= m2 4， BC=m+2， BF= m 2 2 22m，4 m 4m2 m 2 2m2 4 m 2 22 4 m 4 2 ，整理得 0=16 ，顯然不成立 .m2綜上：在第四象限內(nèi)，拋物線上存在點 F，使得以點 B、 C 、 F 為頂點的三角與 BCE 相似，m= 2 2 2 .【點評】本題綜合考查了二次函數(shù)性質(zhì)、

41、軸對稱性質(zhì)、相似三角形性質(zhì)等知識，但解題的關(guān)鍵要充分運用方程思想和分類思想，同時解題過程中大量的數(shù)學(xué)計算和代數(shù)式變形也是不小的考驗 .難度較大 .（2012 河南， 22， 10 分）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整 .原題：如圖 1，在 ABCD 中，點 E 是 BC 邊上的中點，點 F 是線段 AE 上一點， BF 的延長線交射線 CD 于AF 點 G，若EF3 ，求 的值 .CG（ 1）嘗試探究在圖 1 中，過點 E 作 EH AB 交 BG 于點 H ，則 AB 和 EH 的數(shù)量關(guān)系是 ， CG 和 EH的數(shù)量關(guān)系是 ， 的值是

42、CG（ 2）類比延伸如圖 2，在原題的條件下，若 AF m(m 0) 則 CD 的值是 （用含 m 的代數(shù)式表示） ，試寫出解答過程 .（ 3）拓展遷移如圖AB BCCD BE3 ，梯形 ABCD 中， DC AB ，點 E 是 BC 延長線上一點， AE 和 BD 相交于點 F，若b(a 0, b 0)，則 AF 的值是 （用含 a , b 的代數(shù)式表示） .第 18 頁23CD BEBC CD AF AB AFAB BCBE EH EF EH EF解析： （1）如圖 1，利用 EH AB 得EHF ABF，對應(yīng)邊成比例得 AB=3EH ，然后利用中位線定理得 CG=2EH，又 CD=AB

43、，得出 CD 與 CG 的關(guān)系；（ 2）與（ 1）方法道理都相同；（ 3 ） 此 問 是 （ 1 ） 、（ 2 ） 類 比 、 拓 展 延 伸 ， 根 據(jù) 前 面 問 題 研 究 方 法 ， 要 利 用 所 給 條 件a , b(a 0,b 0) ，所以添加如 圖 3 ，過點 E 作 EH AB 交 BD 的延 長線于點 H ，則有, ,兩式相比就可得出 ab（ 1） AB 3EH ; CG(2)m2作 EH AB 交ABAFEHEFmBG 于點, AB2EH ;H ，則 EHF ABFmEHAB=CD ， CD mEHEH AB CD， BEH BCGCG EHCD CG（ 3） abBCB

44、EmEH2EH2， CG=2EHm.2第 19 頁AM MN1點評：這是一道幾何綜合題，利用平行線截三角形相似，對應(yīng)線段成比例，關(guān)鍵是研究問題的方法，類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方的滲透，這類題的一層一層推進，但方法總是類似的，原理是一樣的 .（2012 湖北武漢， 24， 10 分）已知 ABC 中， AB 2 5， AC 4 5， BC 6（ 1）如圖 1 點 M 為 AB 的中點，在線段 AC 上取點 N，使 AMN 與ABC 相似，求線段 MN 的長；（2）如圖 2,是由 100 個邊長為 1 的小正方形組成的 1010 正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點在這些小正方形頂點的三角形為格點三角形，請你

45、在所給的網(wǎng)格中畫出格點明）A 1B1 C1 ，使得 A 1B1C1 與ABC 全等（畫出一個即可，不需證試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與 ABC 相似且面積最大的格點三角形的個數(shù)，并畫出其中的一個（不需證明）解析： 1、當 AMN ABC 時，易證 MN 為中位線， MN= BC =3，2當AMN ACB 時 ,有 ,根據(jù) AM,AC,BC 的值，可求出 MN 。AC BC2 從整數(shù)邊 BC 出發(fā) ,選定 BC, 然后分別過 B 、 C 作邊 2 5 、 4 5 長即可，關(guān)鍵在于怎樣在格點中找到面積最大的相似三角形，可考慮在格點中先畫出最長的三角形最長邊（ AC 的第 20 頁MNBC33122對應(yīng)

46、邊） 正方形對角線，從而找到最大三角形。AM解： 1、如圖，當 AMN ACB 時 ,有ACM 為 AB 中點， AB=2 5 AM= 5BC=6， AC=4 5 MN=2當AMN ABC 時，有 ANM= C,NM BCMA 1=BA 2MN= BC =32MN 的長為 或 322 、（1）如圖 3 （答案不唯一）（2） 8 個，如圖 4 （答案不唯一）點評：本題既考察了相似三角形的性質(zhì)，也考察了圖形的變換作圖，在于學(xué)生需分兩種情況討論，學(xué)生容易忽略； （2）問難度在于怎樣找到相似三角形中面積最大的以及找出所有這樣的三角形的個數(shù)，解題時關(guān)鍵在于找到網(wǎng)格中的最長線段，讓它與三角形最長邊對應(yīng)。題

47、目難度較大。(2012 山東日照， 21， 9 分) 如圖，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 上的一點 ,連結(jié) AE，作 BFAE，垂足為 H ,交 CD 于 F ,作 CG AE, 交 BF 于 G .(1) 求證 CG= BH;(2) FC 2= BF GF;FC GF(3) = .AB GB第 21 頁o2GBC BG BF BGFC FG BF FG=22A DFHB E C解析： (1)可證 ABH BCG； (2) 證 CFG BFC 可得； (3) 先證 B CG BFC 得 BC2=BF BG, 結(jié)合AB= BC 可得 .證明： （ 1） BF AE， CGAE , CG

48、 BF , CGBF .在正方形 ABCD 中， ABH+ CBG=90o , CBG+ BCG=90o ,BAH+ ABH =90o , BAH= CBG, ABH= BCG ,AB=BC, ABH BCG ,CG=BH ;(2) BFC= CFG, BCF= CGF=90 , CFG BFC ,FC BFGF,FC即 FC2=BF GF ;(3) 由（ 2）可知， BC =BGBF ,AB=BC ,AB 2= BGBF ,2 2 = =即 FC GFAB GB點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)、 全等三角形和相似三角形的判定與性質(zhì)， 解題的關(guān)鍵是找到全等 （或相似）三角形，并找到三角形全等（或

49、相似）的條件 .第 22 頁,（2012 ，黔東南州， 21 ）如圖，線于點 D 。（ 1）求證： ABC BDC 。（2）若 AC=8， BC=6 ，求 BDCO 是 ABC 的外接圓，圓心 O 在 AB 上，過點 B 作 O 的切線交 AC 的延長的面積。解析： 第（ 1）小題要證三角形相似，由題意只需證兩角相等即可 .第（ 2）小題要利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例求出 CD的長，這樣就可以求出 BDC 的面積 .解： (1) 證明： AB是圓 O的直徑，ACB 90 .BD是圓 O的切線 ,ABD 90 ,A ABC 90， ABCA C B D.又 ACB DCB 90 ,ABC BDC

50、.(2) ABC BDC,AC BCBC CDSACBDC98, BC 6, CD .21 1 9BC CD 62 2 2CBD 90 ,27.2第 23 頁點評： 本題以基本圖形：三角形與圓相結(jié)合為背景，綜合考察了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、直角三角形的面積計算等知識，是一道比較簡單的題目，能讓學(xué)生發(fā)揮自己的思維水平，難度較小 .（2012 四川宜賓， 24， 12 分） 如圖， 在ABC 中， 已知 AB=AC=5 ， BC=6，且ABC DEF，將 DEF 與ABC重合在一起， ABC 不動， DEF 運動， 并滿足： 點 E 在邊 BC 上沿 B 到 C 的方向運動， 且 DE

51、始終經(jīng)過點 A,EF與 AC 交于 M 點。（ 1） 求證： ABE ECM;（2） 探究：在 DEF 運動過程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形，若能，求出 BE 的長；若不能，請說明理由；（3） 當線段 AM 最短時，求重疊部分的面積?！窘馕觥?（1）由 AB=AC ，根據(jù)等邊對等角，可得 B= C，又由 ABC DEF 與三角形外角的性質(zhì)，易證得CEM= BAE ，則可證得： ABE ECM；（2）首先由 AEF= B= C，且 AME C，可得 AEAM ，然后分別從 AE=EM 與 AM=EM利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；（3）首先設(shè) BE=x， 由ABE ECM，

52、根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例， 易得 CM= + x= 去分析，注意（x 3）2+ ，繼而求得 AM 的值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得線段 AM 的最小值，繼而求得重疊部分的面積【答案】 （1）證明： AB=AC, B= C,又 AEF+ CEM= AEC= B+BAE又ABC DEF, AEF= B, CEM= BAE, ABE ECM（2）解： AEF= B= C,且AME C AME AEF, AEAM第 24 頁BE AB x 5 5 , 5 5 5ACCB1AC 25 25 11CB 6 6 61656 15 5+當 AE=EM 時，則 ABE ECMCE=AB=5 ， BE=BC

53、-EC=1當 AM=EM 時， MAE= MEA MAE+ BAE= MEA+ CEM即 CAB= CAECE 又 C=C, CAE CBA, AC2CE= , BE=6- =（3）解：設(shè) BE=x ，又 ABE ECMCM CE CM 6 x CM= 1 x2AM=5-CM=5- 1 x 3 2 + 9 = 1 x 3 2又當 BE=x=3= BC , 點 C 為 BC 的中點，2AB BE =4AE BC, AE= 2 2此時， EFAC, EM= CE 2 CM 2SAEM = 12,5x = x 3+ , 當 x=3 時，2 95AM 最短為16，5【點評】 此題考查了相似三角形的判定

54、與性質(zhì)、 全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題 此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵本小題也可以用幾何法求解。（2012 年廣西玉林市， 10， 3）如圖，正方形 ABCD 的兩邊 BC 、 AB 分別在平面直角坐標系內(nèi)的 x 軸、 y 軸的正半軸上， 正方形 ABC與D正方形 ABCD 是以 AC 的中點 O為中心的位似圖形， 已知 AC= 3 2， 若點 A的坐標為（ 1， 2），則正方形 ABC與D正方形 ABCD 的相似比是（ ）第 25 頁1分析：延長 AB交 BC 于點 E，根據(jù)大正方形的對角線長求得其邊長，然后求得小正方形的邊長后即可

55、求兩個正 方形的相似比解：在正方形 ABCD 中， AC= 3 2 BC=AB=3 ，延長 AB交 BC 于點 E，點 A的坐標為（ 1， 2），OE=1， EC=AE=3-1=2，正方形 ABC的D邊長為正方形 ABC與D正方形1，ABCD 的相似比是 故選 B3點評：本題考查了位似變換和坐標與圖形的變化的知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求得兩個正方形的邊長（2012 年吉林省，第 25 題、 10 分 ） 如圖，在 ABC 中， A=90， AB=2cm,AC=4cm, 動點 P 從點 A 出發(fā)，沿AB 方向以 1cm/s 的速度向點 B 運動，動點 Q 從點 B 同時出發(fā)，沿 BA 方向以

56、 1cm/s 的速度向點 A 運動當點 P到達點 B 時， P, Q 兩點同時停止運動以 AP 為一邊向上作正方形 APDE ，過點 Q 作 QFBC, 交 AC 于點 F.設(shè)點P 的運動時間為 t s,正方形 APDE 和梯形 BCFQ 重合部分的面積為 Scm2（ 1）當 t=_s 時，點 P 與點 Q 重合；（2）當 t=_s 時，點 D 在 QF 上；（3）當點 P 在 Q, B 兩點之間（不包括 Q, B 兩點）時，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式【解析】 (1)由于 P, Q 的運動速度相同都是 1cm/s，所以 P, Q 重合的點是 AB 的中點(2) 由 QF BC可證 AQF

57、 ABC, 得出比例式，問題得證第 26 頁34t4FEFAAQAC（2） 要分兩種情況：當 1t 時，重合部分的圖形是直角梯形確定上下底和高需證 FEG FAQ和AQF ABC.當 t2 時，重合部分的圖形是六邊形它的面積 3S S正方形 APDESAQFSDHG【答案】（ 1） P, Q 的運動速度都是 1cm/s,P, Q 在 AB 的中點重合當 t=1s 時， P, Q 重合（2） QFACAF ACAF 即4AQAB2 t 2AF=4-2t又 DPAFDP AF即 t 4 2t45PQAQ222tt4（ 3） 當 1t 時，如圖 1 、圖 2.3FQBCAF AQAB即 AF=4-2

58、t， EF=4-3t又 DEABEG FEG FAQ 得，第 27 頁1 32 24 AF AQ3 AC AB12 2 29 222 2423 539 24G DEG 4 3t2 t 2(2 t)EG= t 2GD=t-( t 2 )= t 2QP=AP-AQ=t-(2-t)=2t-2S= t 2tC CFE(F) DEA Q P B A Q P B圖 1 圖 2 當 t2 時，由 AFQ ABC 得， ,AF=4-2x. SAQF (4 2t)(2 t)(2 t )2同理由 CEH CBA 可得 EH= 1 t， HD= t 2； BPG BAC, 得 PG=4-2t， DG=t-(4-2t

59、)=3t-4S= S S正方形 APDE SAQF SDHG= t2 1 (2 t)2 1 (3t 4)( 3 t 2)= - t 10t 8第 28 頁AE AEAECH EFA Q圖 3DGP B【點評】 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)， 利用分類討論思想進行分析即可得出答案是解題關(guān)鍵（2012 陜西 18， 6 分）如圖，在 ABCD 中， ABC 的平分線 BF 分別與 AC 、 AD 交于點 E 、 F （ 1）求證： AB AF ；（2）當 AB 3， BC 5 時，求 的值 AC【解析】 （1）由等角對等邊來進行證明； （2）由 AEF CEB 先求出 ，再求 .EC AC【答案】解： （ 1）如圖，在 ABCD 中， AD / /BC ， 2 3 BF 是 ABC 的平分線， 1 2 1 3 AB AF （2） AEF CEB， 2 3， AEF CEB，AE ECAE ACAFBC383，5【點評】本題綜合考查了平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等角對等邊、相似三角形的性質(zhì)等 .難度中等 .（2012 陜西 25， 12 分）如圖，正三角形 ABC 的邊長為 3+ 3第 29 頁2 3+39+3 333PN =PG +GN = m+n +332 2 122 3333