1、為什么要進(jìn)行數(shù)值積分?2節(jié)點(diǎn)線單元、3節(jié)點(diǎn)三角形單元和4節(jié)點(diǎn)四面體單元三種單元的單元?jiǎng)偠染仃囀浅?shù)矩陣，不需要再進(jìn)行數(shù)值積分運(yùn)算。 除了這3種單元外，一般其它單元的剛度矩陣都是積分變量的函數(shù)，要采用數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算。 數(shù)值積分 數(shù)值積分基本思想構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式，用對(duì)近似函數(shù)的積分來(lái)近似原被積函數(shù)的積分。一維問(wèn)題 數(shù)值積分 構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式在 有 近似為積分點(diǎn)或取樣點(diǎn) 數(shù)值積分 數(shù)值積分 Gauss積分 特點(diǎn)：積分點(diǎn)不是等間距分布的，通過(guò)適當(dāng)選擇積分點(diǎn)，能以較少的積分點(diǎn)得到較高的積分精度常用的數(shù)值積分方法 Hammer積分 數(shù)值積分 Hammer積分在三角形單元和四面體單元中，自然坐標(biāo)是面積坐標(biāo)

2、和體積坐標(biāo)。采用這些坐標(biāo)建立的單元形函數(shù)，其單元?jiǎng)偠染仃嚨囊话阈问綖槎S三維數(shù)值積分 一維單元在實(shí)際有限元應(yīng)用中，一般都采用正規(guī)自然坐標(biāo)系法建立單元的形函數(shù)。它采用Gauss積分方案。Hammer等針對(duì)這些積分運(yùn)算導(dǎo)出了有效的數(shù)值積分方案。三角形單元的Hammer積分表示為數(shù)值積分 四面體單元的Hammer積分表示為三角形單元和四面體單元的積分點(diǎn)位置、權(quán)函數(shù)和誤差量級(jí)分別列于下表。一維Gauss積分 數(shù)值積分 在Gauss積分方案中，積分點(diǎn)i不是等間距分布的，通過(guò)適當(dāng)選擇i，使n個(gè)積分點(diǎn)的數(shù)值積分達(dá)到2n-1階的精度，也就是說(shuō)如果F()是2n-1次多項(xiàng)式，積分結(jié)果將是精確的。以較少的積分點(diǎn)得到

3、較高的積分精度是Gauss積分的優(yōu)點(diǎn)。 Gauss積分?jǐn)?shù)值積分 近似函數(shù)(i)可寫(xiě)成如下形式多項(xiàng)式其中數(shù)值積分 上式可用來(lái)確定積分點(diǎn)的位置。數(shù)值積分 用條件(i)=F(i)構(gòu)造的多項(xiàng)式積分后可寫(xiě)成如下形式 式中Hi稱為積分的權(quán)系數(shù)，簡(jiǎn)稱為權(quán)，Hi的表達(dá)式為數(shù)值積分 將積分點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)分別修改為 則可將積分區(qū)間規(guī)則化為（-1，1）。 數(shù)值積分 在規(guī)則化區(qū)間（-1，1）中，一階和二階Gauss積分的積分點(diǎn)坐標(biāo)和權(quán)系數(shù)分別為 一階 ：二階 ：一維Gauss積分表達(dá)為 其中n為積分的階數(shù)，即積分點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 數(shù)值積分 二維和三維Gauss積分 對(duì)二維積分首先令為常數(shù)，進(jìn)行內(nèi)層積分 數(shù)值積分 用同樣的方

4、法進(jìn)行外層積分就得到 數(shù)值積分 同理，對(duì)于三維數(shù)值積分，有 數(shù)值積分 以上積分在多個(gè)坐標(biāo)方向上選取的積分點(diǎn)數(shù)是相同的，實(shí)際上，根據(jù)單元的特點(diǎn)對(duì)不同坐標(biāo)方向也可選取不同的積分點(diǎn)數(shù)。對(duì)于4節(jié)點(diǎn)四邊形單元，在單元?jiǎng)偠染仃嚪e分中，被積函數(shù)中包含1， 2，2，項(xiàng)，最高方次為2。通常采用22階高斯積分。同樣，對(duì)于8節(jié)點(diǎn)六面體單元，通常采用222階Gauss積分。 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元：在單元?jiǎng)偠染仃嚪e分中，被積函數(shù)中包含 項(xiàng)，最高方次為2。通常采用22階高斯積分。同樣，對(duì)于8節(jié)點(diǎn)六面體單元，通常采用222階高斯積分。 數(shù)值積分 數(shù)值積分的階次選擇 求解單元平衡方程時(shí)，絕大多數(shù)情況要采用數(shù)值積分方法，如何選擇數(shù)

5、值積分的階次將直接影響計(jì)算精度和計(jì)算量。如果積分階次選擇不當(dāng)，有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗 數(shù)值積分 選擇積分階次的原則主要依據(jù)以下兩點(diǎn)： 積分精度 積分階次n與被積分多項(xiàng)式的階次m有直接關(guān)系。一般來(lái)說(shuō)，有限元應(yīng)用的經(jīng)驗(yàn)公式 積分項(xiàng)有兩個(gè)應(yīng)變矩陣B相乘，因此m一定是偶數(shù)，則積分階數(shù)n等于0.5、1.5、2.5、 數(shù)值積分 常用單元的積分階次選擇 一維單元 一般都采用正規(guī)自然坐標(biāo)系法得到的形函數(shù) 在單元平衡方程中Jacobi矩陣中雖然也含有自然坐標(biāo)，但是它只是單剛的一個(gè)系數(shù)，只對(duì)單剛中的每個(gè)元素的大小有相同的影響，不會(huì)改變單剛的特性。因此，2節(jié)點(diǎn)線單元的單剛積分項(xiàng)是0次，3節(jié)點(diǎn)單元是2次，4節(jié)點(diǎn)單元是

6、4次，按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，它們的Gauss積分階次應(yīng)該分別選0.5、1.5、2.5。數(shù)值積分 2節(jié)點(diǎn)線單元只能取Gauss積分點(diǎn)n=13節(jié)點(diǎn)線單元可以取n=1或n=24節(jié)點(diǎn)線單元可以取n=2或n=32節(jié)點(diǎn)線單元：m=0，n=0.53節(jié)點(diǎn)線單元：m=2，n=1.54節(jié)點(diǎn)線單元：m=4，n=2.5按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算：實(shí)際應(yīng)用計(jì)算：數(shù)值積分 在有限元法中，把3節(jié)點(diǎn)單元取n=1以及4節(jié)點(diǎn)單元取n=2的積分方案稱為減縮積分，而3節(jié)點(diǎn)單元取n=2以及4節(jié)點(diǎn)單元取n=3的積分方案稱為正常積分。實(shí)際數(shù)值結(jié)果表明，有時(shí)減縮積分方案會(huì)帶來(lái)很大的計(jì)算誤差，產(chǎn)生零能模式。正常積分方案有時(shí)計(jì)算結(jié)果也會(huì)偏小，產(chǎn)生閉鎖現(xiàn)象。數(shù)值積

7、分 造成這些現(xiàn)象的原因有很多，例如，單元形狀、單元相對(duì)大小、單元受力狀況、分析問(wèn)題的類型等等。為了避免零能模式和閉鎖現(xiàn)象的發(fā)生，一般采用減縮積分加阻尼矩陣方法。采用減縮積分方案時(shí)，對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)施加一個(gè)柔性彈簧，通過(guò)彈簧的阻尼增加剛度矩陣的穩(wěn)定性，阻止零能模式的發(fā)生。但是彈簧的剛性系數(shù)越大，計(jì)算誤差就越大，因此彈簧系數(shù)的選擇也有一定的困難。 數(shù)值積分 三角形單元 數(shù)值積分 按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，3節(jié)點(diǎn)三角形單元的積分階次n=0.5，實(shí)際計(jì)算時(shí)只能取n=1。這樣就造成計(jì)算結(jié)果偏硬，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生閉鎖現(xiàn)象，實(shí)際有限元計(jì)算時(shí)也證明了這一點(diǎn)。 三角形高階單元的積分階次是比較精確的。例如，6節(jié)點(diǎn)三角形單元的積分階次應(yīng)

8、該取n=1.5，在單元面內(nèi)應(yīng)該是3個(gè)積分點(diǎn)，這與“三角形單元的數(shù)值積分”表中所給出的積分點(diǎn)數(shù)正好相符。但是，這并不意味著單元的精度就比較高，因?yàn)閱卧木仁怯刹逯刀囗?xiàng)式本身決定的。 數(shù)值積分 四邊形單元 四邊形單元與一維單元類似，按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算，4節(jié)點(diǎn)、8節(jié)點(diǎn)、12節(jié)點(diǎn)單元的Gauss積分階次應(yīng)該分別選1.5、2.5、3.5。因此，有 a）4節(jié)點(diǎn)單元可以取減縮積分方案n=1或正常積分方案n=2； b）8節(jié)點(diǎn)單元可以取減縮積分方案n=2或正常積分方案n=3； c）12節(jié)點(diǎn)單元可以取減縮積分方案n=3或正常積分方案n=4。 數(shù)值積分 這些單元在數(shù)值積分時(shí)，同樣會(huì)象一維單元一樣，出現(xiàn)零能模式或閉鎖現(xiàn)

9、象。為了避免這些現(xiàn)象發(fā)生，同樣采用選擇Gauss積分方案和減縮積分加阻尼矩陣的方法進(jìn)行剛度矩陣的數(shù)值積分。 對(duì)于4節(jié)點(diǎn)單元來(lái)說(shuō)，在單元面內(nèi)減縮積分是11個(gè)積分點(diǎn)，正常積分是22個(gè)積分點(diǎn)，兩者相差4倍，因此減縮Gauss積分方案和減縮積分加阻尼矩陣的方法對(duì)于4節(jié)點(diǎn)單元來(lái)說(shuō)改善的效果不大。 數(shù)值積分 針對(duì)4節(jié)點(diǎn)減縮積分特點(diǎn)，提出了穩(wěn)定化矩陣積分方案。這種方法的基本思想是，在自然坐標(biāo)系 中，單元應(yīng)變?cè)邳c(diǎn)(0,0)泰勒展開(kāi)，并去掉二階小項(xiàng)，即將上式代入單元平衡方程式kue=f數(shù)值積分 考慮到 數(shù)值積分 則單元?jiǎng)偠染仃噆為 式中，k0是4節(jié)點(diǎn)四邊形的減縮積分單剛，ks稱為k0的穩(wěn)定化單元?jiǎng)偠染仃嚒?數(shù)值

10、積分 實(shí)際計(jì)算時(shí)，式ks表達(dá)式中的系數(shù)1/3可以根據(jù)情況適當(dāng)改變，例如，改成1/2或1/4等。經(jīng)過(guò)這樣的處理不僅消除了零能模式，還有效地提高有限元計(jì)算的精度。 四面體單元 四面體單元與三角形單元相似，它們都沒(méi)有減縮積分方案。4節(jié)點(diǎn)單元取n=1，但計(jì)算結(jié)果偏硬，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生閉鎖現(xiàn)象。其他高階單元積分階次是比較精確的，具體情況參見(jiàn)“四面體單元的數(shù)值積分”表所示。 數(shù)值積分 六面體單元 六面體單元與四邊形單元相似。 a) 8節(jié)點(diǎn)單元可以取減縮積分方案n=2或正常積分方案n=3。 b) 20節(jié)點(diǎn)單元可以取減縮積分方案n=3或正常積分方案n=4。 8節(jié)點(diǎn)單元也可以類似4節(jié)點(diǎn)四邊形單元采用單點(diǎn)積分(0,0)加穩(wěn)定化矩陣的積分方案。這種方法計(jì)算單剛的效率比較高，可以降低有限元計(jì)算時(shí)間。 剛度矩陣K是非奇異的 數(shù)值積分 求解已經(jīng)約束處理后的有限元平衡方程KU=F時(shí)，要求方程組存在惟一解，就必須保證系數(shù)矩陣的逆K-1存在。系數(shù)矩陣K非奇異的條件是滿秩的，即 如果K是N階方陣，則要求它的秩為N。因此，數(shù)值積分應(yīng)該保證K是滿秩的，否則將使求解失敗。 數(shù)值積分 關(guān)于矩陣的秩，有以下兩個(gè)基本規(guī)則。 矩陣相乘的秩規(guī)則 如果幾個(gè)矩陣相乘 則B矩陣的秩 即B矩陣的秩一定小于等于U、A、V矩陣中秩最小者。 數(shù)值積分 矩陣相加的秩規(guī)則 如果幾個(gè)矩陣相加 則C矩陣的秩 則C矩陣的秩一定小于等于A和B矩陣秩的和。 數(shù)值積