1、以直線為載體的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短 寶雞市 岐山縣 羅局初級(jí)中學(xué) 陳軍利 鄭建寧 郵編：722404 標(biāo)題：以直線為載體的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短 內(nèi)容提要：以直線為載體的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短問題在平時(shí)的教學(xué)中都是單個(gè)講解，即遇到那個(gè)講那個(gè)，缺少對知識(shí)的的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，因此學(xué)生也很難從整體上把握這一類問題的解法，鑒于以上原因，本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐總結(jié)并歸納了以直線為載體的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短問題的三種類型，期望從知識(shí)系統(tǒng)的角度闡述如何解決以直線為載體的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短問題，使學(xué)生對這類問題認(rèn)識(shí)更清晰，理解更透徹，方法更具體，這也是本人的寫作的初衷所在。 關(guān)鍵詞：一動(dòng)一靜。兩靜一動(dòng)。兩動(dòng)一靜。 正文：以直線為載體的

2、動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常會(huì)遇到求直線外一點(diǎn)到直線上某一點(diǎn)的最短距離。也會(huì)遇到一條直線的同側(cè)有兩點(diǎn)，在該直線上找一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)到直線同側(cè)兩點(diǎn)的距離和最短。本人從這兩個(gè)數(shù)學(xué)模型出發(fā)，結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，以部分典型習(xí)題為情境探究以直線為載體的的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)問題。模型基本一：一動(dòng)一靜。如圖（1），已知直線l和直線l外一點(diǎn)P(靜點(diǎn)），在直線l上找一點(diǎn)A（動(dòng)點(diǎn)),使得PA的距離最小。如圖（1）要確定的A的位置，可根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短來做。作PA l于A,則垂足A就是要找的點(diǎn)A且PA最短。知識(shí)應(yīng)用：例1、如圖（2），在ABC中,有一點(diǎn)M在AC邊上移動(dòng)，若AC=AB=1

3、0,BC=12,求AM+BM+CM的最小值，實(shí)際上可轉(zhuǎn)化成求AC+BM的最小值，即求10+BM的最小值，由此可知只要求出BM的最小值，問題便可解決，根據(jù)一動(dòng)一靜找最短可得，作BM AC于M，則可確定M點(diǎn)，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)并利用等積法可求出BM的長度，繼而求出AM+BM+CM的最小值。例2、如圖（6），點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B在直線y=x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。例2也是一動(dòng)一靜在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用的一個(gè)特例，解及分析略?；灸Ｐ投簝伸o一動(dòng)。如圖（3），已知A、B兩點(diǎn)（兩個(gè)靜點(diǎn)）在直線 l的同側(cè)，在直線l上找一點(diǎn)P（動(dòng)點(diǎn))，使得PA+PB之和最短。找P的方法是:作A關(guān)于直線

4、l的對稱點(diǎn)A。連接AB交直線l于P。連接PA，則PA+PB之和最短。證明PA+PB之和最短略去。知識(shí)應(yīng)用：例3、如圖（4)，在正方形ABCD中，AB=4，E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PE+PB的最小值。分析及解答，這個(gè)問題可看作兩靜一動(dòng)找最短。點(diǎn)P（動(dòng)點(diǎn)）在直線AC上，B、E(兩靜點(diǎn))在直線AC的同側(cè)，要使PE+PB之和最短，關(guān)鍵是在對角線AC上確定P點(diǎn)，根據(jù)找點(diǎn)P的方法，到底是作點(diǎn)B關(guān)于對角線AC的對稱點(diǎn)好還是作點(diǎn)E關(guān)于對角線AC的對稱點(diǎn)好呢？要視具體情況而定，這道題選點(diǎn)B關(guān)于對角線AC的對稱點(diǎn)好，理由是根據(jù)正方形自身的性質(zhì)得B、D關(guān)于對角線AC對稱 ，再連接DE交AC于

5、P，由點(diǎn)關(guān)于直線的性質(zhì)得PB=PD，PB+PE=PD+PE=DE,到此將PE+PB之和最短問題轉(zhuǎn)化成求DE的長度，有勾股定理得DE= = = ，則PE+PB的最小值為。例4、如圖（5），拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（-1,0），B（3,0）兩點(diǎn)。（1）求拋物線表達(dá)式。（2）設(shè)（1）中的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在該拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得QAC的周長最小，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說明理由。解及分析：（1）要得到拋物線解析式，可利用待定系數(shù)法來完成。這個(gè)拋物線有兩個(gè)待定系數(shù)b和c,只需將A（-1,0），B（3,0）兩點(diǎn)分別代入y=x2+bx+c中，得到關(guān)于b、c的二元一次

6、方程組，然后得到b=-2，c=-3，y=x2-2x-3。（2）有（1)可得，拋物線為y=x2-2x-3,由此可得拋物線與y軸的交點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，-3),對稱軸為直線x=1，A,C為兩靜點(diǎn)，Q是直線x=1上的一動(dòng)點(diǎn)，要，QAC的周長最小，線段AC的長度為定值，只要QA+QC之和最小，就能保證QAC的周長最小，那么要QA+QC之和最小，關(guān)鍵是確定Q點(diǎn)應(yīng)該在直線x=1的什么位置，由圖形可得A,C兩靜點(diǎn)在直線x=1的同側(cè)，動(dòng)點(diǎn)Q點(diǎn)在直線x=1上，因此可將問題轉(zhuǎn)化成兩靜一動(dòng)找最短，利用基本模型二的方法，易得A和B關(guān)于直線x=1對稱，在連接BC，設(shè)BC和直線x=1交與點(diǎn)Q，到此確定了Q點(diǎn)的位置，下面的環(huán)

7、節(jié)就是確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)，可利用兩種方法完成。代數(shù)法:易得b=-3，設(shè)直線BC解析式為y=kx-3（k0），將B(3,0)代入y=kx-3中得k=1，直線BC為y=x-3，Q（1，yQ)也在直線y=x-3上，yQ=1-3=-2，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）。幾何法：設(shè)對稱軸與x軸交與D點(diǎn)，易得BDQ與BOC相似，則， DQ=2，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2)。通過此題的講解，主要探究了兩靜一動(dòng)求最短在實(shí)際問題中應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的嫁接及轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。例5、如圖（7)，菱形ABCD的兩條對角線分別為6和8,BDAC,點(diǎn)P是對角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M,N分別為邊AB、BC的中點(diǎn)，求PM+PN的最小值。

8、例5也是兩靜一動(dòng)在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用一個(gè)特例。解及分析略?；灸Ｐ腿簝蓜?dòng)一靜。例6、如圖（8)1在銳角ABC中，AB=,BAC=45，BAC的平分線交BC與D,M,N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值。解及分析:此題中的B為靜點(diǎn)，M是AD=上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，N是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，可看作兩動(dòng)一靜問題，如圖（8)2,過B作BEAD于E,延長BE交AC與B,易得AEBAEB,BE=BE,則B和B關(guān)于直線AD對稱，連接BM、BM、MN,由對稱得，MB=MB,要MB+MN最短，問題可轉(zhuǎn)化為MB+MN最短，點(diǎn)B一固定，而M、N是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，要兩個(gè)動(dòng)折線距離之和最短，只要B、M、N三點(diǎn)共線時(shí)，才能使MB+M

9、N最短，而此時(shí)的MB+MN=BN，問題又轉(zhuǎn)化為求線段BN的最短值，這時(shí)的問題再次轉(zhuǎn)化為一動(dòng)一靜求最短問題，問題的解答已豁然開朗，只需過點(diǎn)B作BNAB于N，垂足N能保證BN最短，見圖（8）3，此時(shí)的點(diǎn)M是BN與AD的交點(diǎn)，由AEBAEB得AB=AB=,易得ANB是等腰直角三角形，BN=4。在解答例6時(shí)用到了數(shù)學(xué)上三次轉(zhuǎn)化的思想，是一道比較難操作的習(xí)題，需要學(xué)生有較強(qiáng)的基礎(chǔ)知識(shí)和應(yīng)變能力。例7，如圖（9），在ABC中，AB=,CAB=15,M、N分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，求BM+MN的最小值。例7也是兩動(dòng)一靜在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用一個(gè)特例。解及分析略。從以上探究可得，初中階段以直線為載體的動(dòng)點(diǎn)、靜點(diǎn)求最短有三類，一動(dòng)一靜：其規(guī)律是找最短，垂線段，找垂足，定動(dòng)點(diǎn)。兩靜一動(dòng)：其規(guī)律是找最短，作對稱，作連線，找交點(diǎn)，定動(dòng)點(diǎn)。兩動(dòng)一靜：找靜點(diǎn)，作對稱，作連線，善轉(zhuǎn)化。相對而言，第三種比較難掌握，