1、立體幾何題庫(kù)(10) TOC o 1-5 h z 310. 平面a內(nèi)有一個(gè)半圓， 直徑為AB,過A作S2平面a ,在半圓上任取一點(diǎn)M連SMSB且N H分別是A在SM SB上的射影.(1)求證：NHL SB.(2)這個(gè)圖形中有多少個(gè)線面垂 直關(guān)系?(3)這個(gè)圖形中有多少個(gè)直角三角形?(4)這個(gè)圖形中有多少對(duì)相互垂直的直線？解析：此題主要考查直線與直線，直線與平面的垂直關(guān)系及論證，空間想象力解(1)連AM BMAB為已知圓的直徑，如圖所示 .AM! BM,SA，平面 a, MB a,.SA，MB. AMn SA= A, . BML平面 SAM.AN 平面 SAM.BM! AN. AN SMT N,

2、 BMP SM= M,.AN,平面 SMB.-. Ahl SB于H,且NH是AH在平面SMB勺射影.-.NH SB.(2)由(1)知，SA1平面 AMB BML平面 SAM.ANL平面 SMB. SB AH且 SB HN.SB,平面 ANH.圖中共有4個(gè)線面垂直關(guān)系(3) . SAI平面 AMB A SAB A SAM均為直角三角形 BML平面SAM A BMA A BMS勻?yàn)橹苯侨切? AN，平面SMB.，A ANS A ANM A ANH勻?yàn)橹苯侨切?SB，平面 AHN. ，ASHA A BHA A SHN勻?yàn)橹苯侨切尉C上所述，圖中共有 10個(gè)直角三角形.(4)由 SA，平面 AM興

3、口 ： SA! AM SAL AB, SAI BM由 BML平面 SAM: BML AM BM1SM BML AN;由 AN!平面 SMB: AN1 SM AN SB, AN! NH;SB,平面 AH附口 ： SB AH, SB HN;綜上所述，圖中有 11對(duì)互相垂直的直線.1如圖，在棱長(zhǎng)為 a的正萬體 AC中，M是CC的中點(diǎn)，點(diǎn) E在AD上，且 AE= AD, F1在AB上，且 AF= - AB,求點(diǎn)B到平面 MEF的距離.D1Ai解法一：設(shè)AC與BD交于O點(diǎn)，EF與AC交于R點(diǎn)，由于EF/ BD所以將B點(diǎn)到面MEF的距 離轉(zhuǎn)化為O點(diǎn)到面MEF勺距離，面 MRC_面MEF而MR是交線，所以作

4、 OHL MR即OHL面 MEF OH即為所求. OH- MR= OR MC.OH=.118a59解法二：考察三棱錐 B MEF由Vb-mef= Vm-bef可彳導(dǎo)h.點(diǎn)評(píng)求點(diǎn)面的距離一般有三種方法: 利用垂直面;轉(zhuǎn)化為線面距離再用垂直面;當(dāng)垂足位置不易確定時(shí)，可考慮利用體積法求距離正方體ABCD-ABCD的棱長(zhǎng)為a,求AC和平面ABC間的距離.解法1 如圖所示，AG/平面ABC,又平面BBDD，平面ABC.故若過。作OE，OB于E,則OE，平面ABC, OE為所求的距離由 OE- OB=OB - OO,可得：OE= 3、 3解法2:轉(zhuǎn)化為求 C到平面ABC的距離，也就是求三棱錐 CABC的高

5、h.Ci ABC = VA B1CC1，可倚解法3 因平面ABC/平面GDA,它們間的距離即為所求，連BD,分別交BQ DO與F、G（圖中未畫出）。易證BD垂直于上述兩個(gè)平面，故FG長(zhǎng)即為所求，易求得3aFG=a .3點(diǎn)評(píng)（1）求線面距離的先決條件是線面平行，而求線面距離的常用方法是把它們轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面之間的距離，有時(shí)也可轉(zhuǎn)化為求面面距離，從本題的解法也可悟出求異面直線之間的距離的思路.已知：“03= CD EA!” , EBB,求證：CD!AB.今 CDJ_EA6Ud證明i EE_rt平面 EAB i=CD_LABBug產(chǎn)皿團(tuán)AB二平-尚目陽EAflEB=E314.求證：兩條平行線和同一條平面

6、所成的角相等已知：all b, an “ = Ai,b n 3 = B, Z 0八Z 0 2分別是a、b與“所成的角.如圖，求證: Z 0 1= Z 0 2.證：在a、b上分別取點(diǎn) A B.如圖，且 AA=BB,連結(jié) AB和AiBi.AABB，四邊形AABB是平行四邊形.AB/ A1B1又 AiB a.AB/ a .設(shè) AAaa 于 Aa, BBL a 于 B,貝U AA=BB在 RtAAAAa與 Rt BB1B2 中 AA 2= BB, AA=BBi .Rt A AAARtA BBB2 / AAA2=/ BBB2即 Z 0 1 = Z 0 2.315.經(jīng)過一個(gè)角的頂點(diǎn)引這個(gè)角所在平面的斜線，

7、如果斜線和這個(gè)角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個(gè)角的平分線所在的直線 已知：/ ABC a ,P a , / PBA= / PBC,PQL a , QC a ,如圖.求證：/ QBAf / QBC證：PR! AB于 R, PS, BC于 S.則：/ PRB= / PSB= 90 . PB= pb.z pbr= / PBS. Rt A PR軍 Rt A PSBPR= PS點(diǎn)Q是點(diǎn)P在平面a上的射影.QR= qs又 qrl ab, qsl bc./ abq= / cbq如圖，E、F分別是正方體的面 ADDAi,面BCCB的中心，則四邊形 BFDE在該正方體 的面上的射影可能是（要求：把

8、可能的圖的序號(hào)都填上）解四邊形BFDE在正方體的一對(duì)平行面上的投影圖形相同，在上、下底面上，E、F的射影在棱的中點(diǎn)，四邊形的投影圖形為，在左右側(cè)面上，E、F的連線垂直側(cè)面，從而四邊形的投影圖形為，在前后側(cè)面上四邊形投影圖形也為.故應(yīng)填.如圖，AiBCiABC是直三棱柱，/ BCA= 90，點(diǎn) D, Fi分別是 AiBi, AiCi的中點(diǎn)，若BC= CA= CC,則BD與AF所成角的余弦值是（）A 30A.103015D.*解 連DiFi,則DFAiG,又BdCA 所以BD在平面 ACGAi內(nèi)的射影為 CF,設(shè)AC= 2a, 則 BC= CC=2a.取 BC的中點(diǎn) E,連 EFi,貝U EF/

9、BD.CFi. cos 0 i = cos / EFiC=EFicos e 2= cos/AFiC=（石a）2 ga）： （2a）2 : 32 5a 5a 5八 八八.53.30,應(yīng)選A. cos 0 = cos 0 i - cos 0 2= 一=,65 i0(i)如果三棱錐SABC的底面是不等邊三角形，側(cè)面與底面所成的角都相等，且頂點(diǎn)S在底面白射影 O在A ABC內(nèi)，那么 O是A ABC白()A.垂心 B. 重心 C. 外心 D.(2)設(shè)P是A ABC所在平面a外一點(diǎn)，若 面a內(nèi)的射影是A ABC()A.內(nèi)心 B. 外心 C. 垂心 D.解(i)利用三垂線定理和三角形全等可證明 的內(nèi)心，因此

10、選 D.內(nèi)心PA, PB, P*平面a所成的角都相等，那么 P在平重心O到A ABC的三邊的距離相等， 因而O是A ABC(2)如圖所示，作 POL平面a于 O,連 OA OB OC那么/ PAO / PBO / PCO別是 PAPB PC與平面a所成的角，且已知它們都相等. . Rt A PAW Rt A PB8 Rt A PCO.OA= OB= OC，應(yīng)選B.說明 三角形的內(nèi)心、外心、垂心、旁心、重心，它們的定義和性質(zhì)必須掌握已知ABC比邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是 AB AD的中點(diǎn)，GCL平面 ABCQ且GC =2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.解析：注意到直線BD/平面EFG根據(jù)直線和平

11、面的距離在BO中點(diǎn)O的距離等于B到平面EFG的距離.解連結(jié)AC BD,設(shè)交于O, .E, F分別是AR AD的中點(diǎn).EF/ BD.BD/平面 EFG 設(shè) EFA AC= M.則M為OA的中點(diǎn).又 AB= 4 .1. AC= 4j2, MO= 1 AC= & ,MC= 3 AC= 32 44. GCL平面 ABCD.GCLCA GCL EF又 EF, AC GOH AC= C.EF，平面 GCM.過 O作 OHL GM H,則 OHL EF.又 OHL GM故OHL平面EFG.在 RtAGCMfr, GM= m GC2 CM 2 = （3萬）2 = V22 .又 0也 GM.1, sin /GM

12、&G=sin ZHMO= 0H TGMOH= x2 ,2 = 2、1112211，B點(diǎn)到平面GEF的距離為2 .1111說明本題解法甚多，學(xué)習(xí)兩面垂直及簡(jiǎn)單幾何體后，可用兩面垂直的性質(zhì)求解或者用“等體積法”求解.320.已知兩條異面直線 a,b所成的角為它們的公垂線段AA的長(zhǎng)度為d,在直線a、b上分別取點(diǎn) E、F,設(shè) ae= m af= n.求證：ef=4降2n2d22mncos解過A作a / a. AAa,.AiAX a，AAb,a n b= A.AiA垂直a、b所確定的平面a .a/a，a、a能確定平面3 ,在3內(nèi)作 EH/ AA,交a于H.a/a ,AiAME為平行四邊形.AiA= EH

13、= d,AH = AiE= m AiA._L aEH_L a .FH a,Ehl FH.在 RtAFHE中，EF=4EH2 FH 2 = VdFh. a/ / a a與b的夾角為0即/ HA已 0 ,此時(shí) AH= m,AF= n.由余弦定理得 FH 2= m+n2-2mncos 0222EF= m n d 2mncos當(dāng)F（或E）在A（或A）的另一側(cè)時(shí)，同理可得EF= Jm2 n2 d2 2mncos( ) = Jm2 n2 d2 2mncos綜上所述，EF= , m2 n2 d2 2mncos321.如圖，ABCDF口 ABEF均為平行四邊形，M為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，N為對(duì)角線FB上的一 點(diǎn)

14、，且有 AM： FN= AC： BF,求證：MM平面 CBE.解析：欲證MM平面CBE當(dāng)然還是需要證明 MNff行于平面 CBE內(nèi)的一條直線才行.題目上 所給的是線段成比例的關(guān)系，因此本題必須通過三角形相似，由比例關(guān)系的變通， 才能達(dá)到“線線平行”到“線面平行”的轉(zhuǎn)化 .證：連AN并延長(zhǎng)交BE的延長(zhǎng)線于 P. BE / AF,ABNW A FNA. FN= AN 則 FN = ANNB NP FN NB AN NP即 FN= AN .FB AP又 AM = AC, AM = FNFN BF AC BFAM AN . .AC APMN / CP CP 平面 CBE.MN / 平面 CBE.一直線

15、分別平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與它們的交線平行 已知：a A 3 = a,l / a ,l / 3 .求證：l / a.解析：由線面平行推出線線平行，再由線線平行推出線面平行，反復(fù)應(yīng)用線面平行的判定和性質(zhì).證明：過l作平面交a于b. l / a ,由性質(zhì)定理知l / b.過l作平面交3于c. l / 3 ,由性質(zhì)定理知l / c.b / c,顯然 c 3 . -1 b / 3 .又 b a , a A 3 =a,b a.又 l / b.l / a.評(píng)注：本題在證明過程中注意文字語言、符號(hào)語言，圖形語言的轉(zhuǎn)換和使用如圖，在正四棱錐 SABCM, P在SC上，Q在SB上，R在SD上，且SP：

16、PC= 1 : 2, SQ： SB= 2 ： 3, SR： RD= 2：1.求證：SA/平面 PQR.解析：根據(jù)直線和平面平行的判定定理，必須在平面PQ附找一條直線與AS平行即可.證：連AG BD設(shè)交于 0,連SQ 連RQ交SO于M 取SC中點(diǎn)N,連ON那么 ON/ SA.SQ _ SR _ 2 -SB SD 3RQ/ BD，也=2而變=2S0 3 SN 3. .也=空，PM/ ON SO SN. SA/ ON.，SA/ PM,PM 平面 PQRSA /平面 PQR.評(píng)析：利用平幾中的平行線截比例線段定理.三角形的中位線性質(zhì)等知識(shí)促成“線線平行”向“線面平行”的轉(zhuǎn)化 證明：過平面上一點(diǎn)而與這平

17、面的一條平行線平行的直線，在這平面上證明 如圖，設(shè)直線 a /平面a ,點(diǎn) AC a ,A 直線b,b / a,欲證b a .事實(shí)上，: b / a, 可確定平面3, 3與a有公共點(diǎn) A,a , B交于過A的直線c,=a/ a ,，a/c,從而在3上有三條直線，其中 b、c均過點(diǎn)A且都與a平行.于是b、c重合，即b a .AE： AD=S是空間四邊形 ABCM對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，E、F分別在AR CD上,CF： CD BE與AS相交于 R, BF與SC相交于 Q.求證：EF/ RQ.ACS.而F且BEF所在平證 在A ADC中，因 AE： AD= CF： CD 故 EF/ AC,而 AC 平

18、面 ACS 故 EF/ R/平面 ACS平面RQEF故EF/ RQ（線面平行性質(zhì)定理）.已知正方體 ABCD-A B C D中，面對(duì)角線 AB、BC上分別有兩點(diǎn)E= C F 求證：EFT面 AC.解析：如圖，欲證EF/平面AC,可證與平面 AC內(nèi)的一條直線平行，也可以證明面與平面AC平行.證法1 過E、F分別做AB BC的垂線 EM FN交AB BC于M N,連接MN. BB 平面 AC BB AB, BB BC.EAB, FN BC .EM/ FN, AE57 = BC , B E= C F.AE= BF又/ B AB= Z C BC= 45.Rt AAME2 Rt A BNF.EM= FN

19、四邊形MNFE平行四邊形.EF/ MN MN 平面 AC.EF/平面 AC證法2 過E作EG/ AB交BB于G,連GF,BE BG-=BA B B. B E= CF, BA= CB. C-F = BGFG/ B C / BCC B B B又 EGA FG= G,ABA BC= B平面EFG/平面AC 又EF 平面EFG.EF/平面 AC(1)AB327.如圖，四邊形EFG的四面體A-BCD勺一個(gè)截面，若截面為平行四邊形，求證:/ 平面 EFGH (2)CD / 平面 EFGH證明：(1) .EFGH平行四邊形，EF/ HGHG 平面 ABDEF/平面 ABD.EF 平面 ABC平面 ABDH平

20、面 ABC= AB. .EF/AB, ，AB/平面 EFGH.(2)同理可證：CD/ EHCD/平面 EFGH.評(píng)析：由線線平行線面平行線線平行.328.求證：如果兩條平行線中的一條和一個(gè)平面相交，那么另一條也和這個(gè)平面相交已知：a / b,a n a = A,求證：b和a相交.證明：假設(shè)b a或b / a右 b a , .1 b / a, a/ a .這與an a = A矛盾，b a不成立.若b/ a ,設(shè)過a、b的平面與a交于 c.b / a ,. b / c,又 a / b a / ca / a這與an a = A矛盾. b/ a不成立.，b與a相交.那么它們的交線和這條直線329.求證：如果兩個(gè)相交平面分別經(jīng)過兩條平行直線中的一條, 平行.已知：a/ b,a a , b 3 , a n 3 = c.求證：ca b、小mb 證； 卜=匚 卜=bu B a n 0 -c ”匕 JJ330.在下列命題中，真命題是（）A.若直線m n都平行平面a ,則 m/ n;B.設(shè)a l 3是直二面角，若直線 ml ,則ml