1、于過程中錘煉學(xué)生思維 于聯(lián)系中傳承數(shù)學(xué)思想 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)江蘇省如東高級(jí)中學(xué) 陳唐明 設(shè)計(jì)思路普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))中要求“探索并掌握等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式”。仔細(xì)研讀教材不難發(fā)現(xiàn)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，是在建立等比數(shù)列概念、學(xué)習(xí)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后，對(duì)等比數(shù)列進(jìn)一步的學(xué)習(xí)研究，其對(duì)完善自身知識(shí)結(jié)構(gòu)，乃至于完善數(shù)列的知識(shí)體系，是不可或缺的內(nèi)容。教材編者意在讓學(xué)生經(jīng)歷等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)的探索歷程，掌握錯(cuò)位相減法和前項(xiàng)和公式，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用。江蘇高考（數(shù)學(xué)科）考試說明在命題指導(dǎo)思想中明確提出：對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的考查，貼近教學(xué)實(shí)際，既注意全面，又突出重點(diǎn)。注重知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的考查，

2、注重對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法的考查。等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式不但在知識(shí)點(diǎn)的考查要求中被列為級(jí)要求（靈活運(yùn)用層次），而且其中所蘊(yùn)涵的特殊到一般、類比、基本量、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想（方法）也是非常重要的，必須加以重視。教育的根本目標(biāo)是育人，“從數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)的角度，作為人的發(fā)展，就體現(xiàn)為發(fā)展人的認(rèn)知力。”因此，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)當(dāng)是錘煉學(xué)生思維品質(zhì)以提高學(xué)生認(rèn)知力的過程。在教學(xué)中，讓學(xué)生經(jīng)歷等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)與運(yùn)用的思維過程，滲透特殊到一般、類比、基本量、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想（方法）理應(yīng)是本節(jié)課的“主心骨”?；谝陨先c(diǎn)，教者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：通過

3、讓學(xué)生探索并掌握錯(cuò)位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列前項(xiàng)和公式并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)用。讓學(xué)生經(jīng)歷等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)與簡(jiǎn)單運(yùn)用的思維過程，學(xué)會(huì)從不同角度去考慮問題，體驗(yàn)并理解特殊到一般、類比、基本量、分類討論、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想（方法）在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。揭示知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究數(shù)學(xué)問題的一般方法；激發(fā)學(xué)生勇于探索的科學(xué)精神，養(yǎng)成“理性思維”的習(xí)慣，形成良好的個(gè)性品質(zhì)。圍繞上述教學(xué)目標(biāo)，為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，教者以有名的“棋盤丟麥?！睘槔胝n題，通過問題串搭建“腳手架”試圖引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)（或部分發(fā)現(xiàn)）等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)的推導(dǎo)思路，凸顯教學(xué)重點(diǎn)等比

4、數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)和簡(jiǎn)單運(yùn)用。鑒于課堂時(shí)空的制約，教者在引導(dǎo)學(xué)生探索過程中將適時(shí)加以點(diǎn)撥提示，試圖破解教學(xué)難點(diǎn)“錯(cuò)位相減法”生成的瓶頸。課堂教學(xué)不追求淺層次的表層靚麗的“精彩互動(dòng)”和“一氣呵成”，但求在教師的引導(dǎo)下，學(xué)習(xí)在靜悄悄中真正發(fā)生，學(xué)生在潛移默化中獲取深層的知識(shí)，掌握科學(xué)的方法。教學(xué)過程預(yù)設(shè)導(dǎo)語：?jiǎn)栴}是數(shù)學(xué)的心臟。（哈爾莫斯）我們要善于發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，思考問題并解決問題。問題情境：投影國(guó)際象棋的傳說。提煉成數(shù)學(xué)問題就是：。請(qǐng)同學(xué)們思考：如何求？法一：逐項(xiàng)累加（項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，不太現(xiàn)實(shí)）法二：特殊化，求出，找規(guī)律，猜想出結(jié)果?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過國(guó)際象棋的傳說激發(fā)學(xué)生的興趣和探究欲望；通過結(jié)

5、論的探求讓學(xué)生學(xué)會(huì)研究陌生問題可采用特殊到一般的方法入手。這個(gè)結(jié)果只能算是一種猜想，而不是理論上的證明。數(shù)學(xué)講究嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评?。你能不能給出一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那蠓?？公式推?dǎo)：為了使問題更具有一般性，我們將問題一般化：已知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求。即求（基本量表示）?；仡櫟炔顢?shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法：倒序求和，能用來求等比數(shù)列前項(xiàng)和嗎？表面上是倒序求和，本質(zhì)上實(shí)為從項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系中找出規(guī)律，消去數(shù)列中項(xiàng)與項(xiàng)的差異，把省略號(hào)（）的“無形”化為“有形”。對(duì)等比數(shù)列而言，難點(diǎn)也是如何把省略號(hào)（）的“無形”化為“有形”。引導(dǎo)：從項(xiàng)的關(guān)系出發(fā)！等比數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的倍。即：將等比數(shù)列的每一項(xiàng)乘以

6、公比后就等于它后面的一項(xiàng)。那么，將這個(gè)和式的兩邊同乘以，所得和式與之有許多相同的項(xiàng)。從而通過兩個(gè)和式相減，將省略號(hào)（）的“無形”化為“無影”，豈不是更好！ -，得：。從而有。 【設(shè)計(jì)意圖】 通過等差數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法的回顧，讓學(xué)生從更高的層面認(rèn)識(shí)數(shù)列求和方法的生成，并從方法上類比遷移到等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)并提煉出推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法。其間引導(dǎo)學(xué)生尋找項(xiàng)之間的關(guān)系，回扣等比數(shù)列的概念！（李邦河院士語：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！）公式解讀：（1）各個(gè)字母的含義：首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)，末項(xiàng)（2）公式可以看成一個(gè)分段函數(shù)（自變量，函數(shù)值）公式運(yùn)用：1回扣引例，讓學(xué)生利用公式求解

7、?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生熟悉公式的簡(jiǎn)單套用（公式運(yùn)用的第一層次）并驗(yàn)證猜想的正確性，感受數(shù)學(xué)文明。2例1 在等比數(shù)列中， （1）已知，求。 （2）已知，求?！驹O(shè)計(jì)意圖】比較（1）（2），讓學(xué)生體會(huì)公式的選擇性使用（公式使用的第二層次）。3例2 在等比數(shù)列中，求?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生知曉五個(gè)量中，知三求二，體會(huì)基本量方法和方程思想。注意等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的條件：在未知的情況下，要對(duì)是否等于1進(jìn)行分類討論。（公式使用的第二層次）。4例3 求數(shù)列的前項(xiàng)和。變：求數(shù)列的前項(xiàng)和。【設(shè)計(jì)意圖】將不熟悉的數(shù)列求和問題轉(zhuǎn)化為熟悉的等差等比數(shù)列數(shù)列求和問題，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化和化歸思想（公式使用的第三層次）。至于公式使用的第四層次（利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法錯(cuò)位相減法解題），留待下一節(jié)課完成。 5鞏固訓(xùn)練：教材P5