1、北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁1第二章離散時(shí)間系統(tǒng)變換域分析2.1 序列的傅立葉變換2.2 Z變換及其性質(zhì)2.3 系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng)2.4 LTI系統(tǒng)幅相特性分析北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁2定義？基本序列的DTFT?DTFT的主要性質(zhì)？2.1序列傅立葉變換(DTFT)北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁3一、DTFT及逆變換定義序列的傅立葉變換（DTFT)用來(lái)表示離散時(shí)間非周期信號(hào)及其傅立葉頻譜之間的關(guān)系：正變換：反變換:由于三角函數(shù)的周期性，反變換右邊的積分區(qū)間可以為任何一個(gè)周期區(qū)間。 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁4二、DTFT反變換推導(dǎo)北京航空航天大學(xué)204教研室

2、孫國(guó)梁5（一）單位沖激序列（二）單位常數(shù)序列（三）單位階躍序列（四）指數(shù)序列三、典型序列的傅立葉變換：矩形窗的DTFT北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁6北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁7四、序列傅立葉變換的主要性質(zhì)1、線性2、時(shí)域平移-頻域調(diào)制3、時(shí)域調(diào)制-頻域平移4、時(shí)域翻褶北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁85、時(shí)域相乘6、時(shí)域卷積7、帕塞瓦爾定理北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁9共軛對(duì)稱序列：共軛反對(duì)稱序列：可以證明：共軛反對(duì)稱序列的性質(zhì)如何？8、DTFT的對(duì)稱性北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁10序列共軛分量的傅立葉變換與序列傅立葉變換的共軛分量的關(guān)系北京航空航天大學(xué)

3、204教研室 孫國(guó)梁11 同理可得： 結(jié)論：對(duì)實(shí)序列而言，其傅立葉變換是共軛對(duì)稱的，即：實(shí)序列的傅立葉變換的實(shí)部是偶對(duì)稱，虛部是奇對(duì)稱；幅度是偶對(duì)稱，幅角是奇對(duì)稱。 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁12北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁13北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁142.2 Z變換及性質(zhì)一、Z變換定義二、Z變換收斂域三、Z變換性質(zhì)定理四、Z反變換北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁15設(shè)序列為x(n)，則冪級(jí)數(shù)：稱為序列x(n)的Z變換，其中z為變量。也可記作：當(dāng)冪級(jí)數(shù)收斂時(shí)，Z變換才有意義。Z變換收斂的所有z值的集合稱為收斂域。在收斂域內(nèi)，Z變換處處解析，不含任何奇異點(diǎn)。一

4、、Z變換定義及收斂域北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁16根據(jù)級(jí)數(shù)理論，冪級(jí)數(shù)收斂的充分且必要條件是該級(jí)數(shù)絕對(duì)可和，即要求：對(duì)于不同形式的序列，其收斂域的形式亦有所不同，分類討論如下二、不同序列的收斂域 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁17X(z)為有限項(xiàng)級(jí)數(shù)之和，只要級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)有界，則級(jí)數(shù)就是收斂的。收斂域至少包括有限Z平面1、有限長(zhǎng)序列x(n)n北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁18根據(jù)區(qū)間的不同，級(jí)數(shù)有可能在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)出現(xiàn)奇異點(diǎn)，故仍可細(xì)分為如下三種情況：1）、正半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；2）、負(fù)半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)橛邢轟平面和原點(diǎn)；3）、跨原點(diǎn)有

5、限長(zhǎng)序列，則收斂域僅為有限Z平面；北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁19第一部分若存在，則為一負(fù)半軸有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)椴话o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有Z平面。第二部分是z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理可知，存在一個(gè)最小的收斂半徑，在此半徑外的任何點(diǎn)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。 2、右邊序列x(n)n北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁20右邊序列Z變換的收斂域至少?gòu)哪骋徊粸榱愕挠邢薨霃教幭蛲鈹U(kuò)張的有限Z平面；若 ，還要包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。 時(shí)的右邊序列又稱為因果序列，是最重要的一種右邊序列。因此，在無(wú)窮遠(yuǎn)處收斂是因果序列的重要特征。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁21x(n)n3、左邊序列若第一部分存在，則為正半軸有限

6、長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)椴话ㄔc(diǎn)的所有Z平面。第二部分是z的正冪級(jí)數(shù)，由阿貝爾定理知，存在一個(gè)最大的收斂半徑 ，在此半徑內(nèi)的任何點(diǎn)級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁22左邊序列的收斂域至少?gòu)哪骋徊挥邢薨霃教幭騼?nèi)收斂的圓形區(qū)域 ；在 時(shí)（反因果序列），還包括原點(diǎn)。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁234、雙邊序列在全部時(shí)軸上皆有定義的序列，可以看作左邊序列和右邊序列之和（或者因果序列與反因果序列之和）。其收斂域應(yīng)該是正半軸序列與負(fù)半軸序列收斂域的重疊北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁24設(shè)第一項(xiàng)的收斂區(qū)域?yàn)椋?，第二項(xiàng)的收斂區(qū)域?yàn)椋?； 1）、若 ,則雙邊序列Z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)

7、狀區(qū)域： ； 2）、若 ，則雙邊序列Z變換在Z平面上處處不收斂。 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁25解： 這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在 ，即 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂為：Ex:求 Z變換及收斂域。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁26 Ex:求 Z變換及收斂域。解： 這是一個(gè)無(wú)窮項(xiàng)等比級(jí)數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在 ，即 時(shí)，級(jí)數(shù)收斂為：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁27結(jié)論：不同的序列其Z變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以完全一致。對(duì)于一個(gè)序列而言，僅僅用其Z變換來(lái)表示是不夠充分的，必須同時(shí)給出其Z變換的收斂范圍。同一個(gè)Z變換函數(shù)，當(dāng)收斂域不同時(shí)，代表時(shí)軸上性質(zhì)不同的序列。對(duì)

8、于僅具有三個(gè)極點(diǎn)的Z變換，可以代表四種序列。如下圖所示： 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁28 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁29三、Z變換性質(zhì)定理1、線性需要注意的是若參與和運(yùn)算的序列在時(shí)域上不重合，則相加后的和序列的收斂域?yàn)楦鱾€(gè)序列的收斂域的交集若不滿足上述條件，則線性組合過(guò)程中兩個(gè)序列Z變換的零、極點(diǎn)可能會(huì)互相抵消，導(dǎo)致收斂域的擴(kuò)大。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁302、序列的移位序列的移位僅對(duì)有限長(zhǎng)、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的是否收斂有影響。對(duì)于雙邊序列，由于它的收斂域?yàn)榄h(huán)形域，不包括原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以收斂域不發(fā)生變化。 北京航空航天大學(xué)204

9、教研室 孫國(guó)梁31在尺度變換中，若a為實(shí)數(shù)，則零、極點(diǎn)在Z平面上沿徑向運(yùn)動(dòng)；若a為單位復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心的園上旋轉(zhuǎn)；若a為任意復(fù)數(shù)，則零、極點(diǎn)既有徑向伸縮，又有角度旋轉(zhuǎn)。3、Z域尺度變換北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁324、序列線性加權(quán)（Z域求導(dǎo)）序列的線性加權(quán)對(duì)收斂域的影響與序列的移位相類似，僅對(duì)有限長(zhǎng)、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的是否收斂有影響。對(duì)于雙邊序列，由于它的收斂域?yàn)榄h(huán)形域，不包括原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，所以收斂域也不發(fā)生變化。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁335、共軛序列此處要注意，原序列Z變換極點(diǎn)的共軛是共軛序列Z變換的極點(diǎn)。由于共軛關(guān)系僅關(guān)

10、于X軸對(duì)稱，不影響極點(diǎn)矢徑的長(zhǎng)度，因而不改變收斂半徑和收斂域。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁346、序列翻褶序列的翻褶導(dǎo)致Z變換的收斂域以單位圓為基準(zhǔn)作了鏡像映射北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁357、初值定理（因果序列）北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁368、終值定理若序列為因果序列，并且極點(diǎn)處于單位圓以內(nèi)（若恰好在單位圓上，則最多可在z=1處有一階極點(diǎn)），則：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁37北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁389、時(shí)域累加（因果序列）北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁3910、時(shí)域卷積和若時(shí)域?yàn)榫矸e和，則Z域是相乘，乘積的收斂域是X(z)收斂域和

11、H(z)收斂域的交集。需要注意的是，上述結(jié)論是在兩個(gè)卷積和序列無(wú)零、極點(diǎn)對(duì)消的情況下才成立。若出現(xiàn)零、極點(diǎn)對(duì)消，則收斂域?qū)?huì)擴(kuò)大。 利用卷積和定理，可以求得LTI系統(tǒng)的響應(yīng)北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁4011、時(shí)域相乘（Z域復(fù)卷積）北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁41 證明：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁42為了使復(fù)卷積數(shù)學(xué)意義明顯，令圍線為一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓，即： 則復(fù)卷積公式變?yōu)椋河捎诜e分是在 到 的周期上進(jìn)行的，所以稱為周期卷積。 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁4312、帕塞瓦定理北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁44 若積分圍線取為單位圓，即： 則有： 再進(jìn)

12、一步，若令 ，則有： 上式表明：時(shí)域中序列的能量與變換域中頻譜的能量是一致的。 北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁45從給定的Z變換及其收斂域中還原出原始序列x(n)，稱為Z反變換Z反變換的實(shí)質(zhì)是求X(Z)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，通常有三種方法：長(zhǎng)除法、部分分式法、留數(shù)法（圍線積分法）。四、Z反變換北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁46部分分式法在實(shí)際應(yīng)用中，一般X(z)是z的有理分式：A(z)及B(z)都是變量z的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，并且沒(méi)有公因式，則可展成部分分式形式北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁47例題： 求x(n)解：由可知有兩個(gè)一階極點(diǎn)， 可展成由所給的收斂域可知，對(duì)應(yīng)第一極點(diǎn)z1=2為

13、反因果序列，對(duì)應(yīng)第二極點(diǎn)z2=0.5為因果序列,所以原始序列為：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁48作業(yè)：2.82.112.172.443.1(b)、(g) 3.3 3.43.6(c) 3.93.28 2.3.1 LTI的系統(tǒng)函數(shù)北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁49一、 系統(tǒng)函數(shù)定義LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應(yīng)來(lái)完整表示，即：H(z)描述了系統(tǒng)輸入輸出之間的關(guān)系，稱之為傳遞函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁50線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)絕對(duì)可和如果系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之亦成立；即系統(tǒng)的頻率響應(yīng)存在且連續(xù)。二、 系

14、統(tǒng)函數(shù)與因果、穩(wěn)定性的關(guān)系北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁51對(duì)于因果系統(tǒng)而言，其收斂域： 。LTI因果穩(wěn)定的充分必要條件是：收斂域必須包括單位圓及單位圓外的所有區(qū)域，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)部。 ZS不穩(wěn)定穩(wěn)定北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁52常系數(shù)線性差分方程處于零狀態(tài)時(shí)，可描述線性時(shí)不變系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)為：三、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關(guān)系結(jié)論差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)對(duì)應(yīng)；僅由差分方程得來(lái)的系統(tǒng)函數(shù)并沒(méi)有給定收斂域，因而可代表不同的系統(tǒng)；差分方程并不唯一地確定一個(gè)LTI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng),需要有相應(yīng)的邊界條件；系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際上僅描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)下的情況，即可以用于解決零狀態(tài)的常

15、系數(shù)線性差分方程，對(duì)于非零狀態(tài)則無(wú)法解決北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁53北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁54單邊Z變換系統(tǒng)函數(shù)實(shí)際上僅僅描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)下的情況，即可以用于解決零狀態(tài)的常系數(shù)線性差分方程，對(duì)于非零狀態(tài)則無(wú)法解決。主要原因在于采用的是雙邊Z變換。為了能夠完整地解決系統(tǒng)的非零狀態(tài)解的問(wèn)題，將對(duì)雙邊Z變換進(jìn)行變形，構(gòu)成單邊Z變換,如下：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁55其時(shí)移特性如下：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁56單邊Z變換的時(shí)移特性比雙邊Z變換的時(shí)移特性復(fù)雜，但卻可以用來(lái)解決差分方程非零狀態(tài)的問(wèn)題。 Ex:求解差分方程： 其中： 初始條件為： 。 解：

16、對(duì)差分方程兩邊同時(shí)進(jìn)行單邊Z變換，得到：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁57將初始條件代入后可得：所以：2.3.2 頻率響應(yīng)同樣道理北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁581、單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)是頻率響應(yīng)。2、傳遞函數(shù)存在，頻率響應(yīng)未必存在；3、任意信號(hào)通過(guò)LTI系統(tǒng)不會(huì)產(chǎn)生新頻率分量。一、LTI對(duì)信號(hào)頻譜的作用北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁59設(shè)LTI輸入的復(fù)指數(shù)序列為： 1、輸出信號(hào)與輸入為同頻信號(hào)， 2、輸出信號(hào)幅度受頻率響應(yīng)的幅值加權(quán)， 3、輸出信號(hào)相位為輸入信號(hào)的“相位”與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和頻譜及頻率響應(yīng)的再解釋信號(hào)的頻率分量（DTFT再解釋）北京航空航天大學(xué)204教研室 孫

17、國(guó)梁601、輸入信號(hào)可看作在頻域上分段劃分的許多個(gè)復(fù)指數(shù)分量信號(hào)2、系統(tǒng)響應(yīng)是系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的每一個(gè)復(fù)指數(shù)分量響應(yīng)之和北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁61輸入為正、余弦信號(hào)設(shè)由復(fù)信號(hào)的情況，則得系統(tǒng)的輸出為：北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁62假設(shè) 是實(shí)序列，則 滿足共軛對(duì)稱條件， 幅度 為偶對(duì)稱，相角 為奇對(duì)稱。所以有：增益和群延遲的理解北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁63北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁64北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁65式中 是系統(tǒng)的零點(diǎn)， 是系統(tǒng)的極點(diǎn)，它們都由差分方程的系數(shù) 和 決定。另外也可以看出，除比例常數(shù)K以外，系統(tǒng)函數(shù)完全由它的全部零點(diǎn)、極點(diǎn)來(lái)確定。二、系統(tǒng)零極點(diǎn)與頻率響應(yīng)的關(guān)系幅度響應(yīng)原點(diǎn)處的零、極點(diǎn)對(duì)幅度響應(yīng)無(wú)任何影響。經(jīng)過(guò)單位圓上的一個(gè)零點(diǎn)，幅度響應(yīng)就變?yōu)榱?，?jīng)過(guò)靠近單位圓的零點(diǎn)則會(huì)出現(xiàn)谷點(diǎn)；經(jīng)過(guò)單位圓附近的極點(diǎn)時(shí)幅度響應(yīng)就會(huì)出現(xiàn)峰點(diǎn)遠(yuǎn)離極點(diǎn)和零點(diǎn)的區(qū)域幅度特性會(huì)比較平坦相位響應(yīng)北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國(guó)梁67原點(diǎn)處的零、極點(diǎn)對(duì)相位響應(yīng)為線性作用，極點(diǎn)為正群延遲（滯后），零點(diǎn)為負(fù)群延遲（超前）。單位圓內(nèi)部的零點(diǎn)或極點(diǎn)會(huì)造成相位的連續(xù)增長(zhǎng)或變化，而單位圓外的零極點(diǎn)對(duì)相位的影響則隨頻率周期性變化歸零靠近單位圓的零點(diǎn)和極點(diǎn)會(huì)造成相位的劇烈變化，導(dǎo)致較大的群延遲；遠(yuǎn)離極