1、1 矩陣的定義與運算目的要求（1）理解矩陣的定義；（2）掌握矩陣的基本運算及性質(zhì).一、矩陣概念的引入1. 線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表的研究.線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項按原位置可排為2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線 ,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接 A 與B.四城市間的航班圖情況常用表格來表示:發(fā)站到站其中 表示有航班.把表中的 改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:二、矩陣的定義 由 個數(shù)稱為 矩陣.簡稱 矩陣.記作排成的 m行n列的數(shù)表簡記為這個數(shù)叫做矩陣A的元素，簡稱為元 .表示第i行第j

2、列的元素，稱為（i，j）元.一對圓括弧元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣,元素是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣.例如是一個 實矩陣,是一個 復(fù)矩陣,是一個 矩陣,是一個 矩陣,是一個 矩陣.默認為實矩陣三、幾種特殊矩陣例如是一個3 階方陣.(2)只有一行的矩陣行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 ，稱為 階方陣.也可記作稱為只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量). （3）形如 的方陣,稱為不全為0對角矩陣(或?qū)顷嚕?（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.記作零矩陣記作或例如(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1四、同型矩陣與矩陣相等的概念 1.兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等

3、時,稱為 2.兩個矩陣 為同型矩陣,并且則稱矩陣 相等,記作例如為同型矩陣.同型矩陣.對應(yīng)元素相等,即五、線性變換關(guān)系式的線性變換.表示一個由變量到變量系數(shù)矩陣線性變換與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系線性變換稱之為恒等變換. 單位陣.對應(yīng)線性變換對應(yīng) 這是一個以原點為中心旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)變換.六、矩陣的線性運算、定義（一）、矩陣的加法設(shè)有兩個 矩陣 那末矩陣A與B 的和記作A+B ，規(guī)定為說明 只有當兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例12、 矩陣加法的運算規(guī)律稱為A的負矩陣.（二）、數(shù)與矩陣相乘1、定義若求：（1）；（2）；（3）例22、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的

4、線性運算.（設(shè) 為 矩陣， 為數(shù)）七、矩陣與矩陣相乘、定義稱C為A與B的乘積.設(shè) , 規(guī)定 , 其中例3，求解：注意只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.例4說明1：一般來說， 即矩陣乘法無交換律.或滿足，未必有說明2：若矩陣.例5說明3：例6 對角元乘相應(yīng)行；對角元乘相應(yīng)列.例7 已知線性方程組于是 那么上述線性方程組可記成、矩陣乘法的運算規(guī)律（其中 為數(shù)）; 若A是 階矩陣，則 為A的 次冪，即 并且 矩陣乘法的應(yīng)用-生產(chǎn)成本 某工廠生產(chǎn)三種產(chǎn)品. 每種產(chǎn)品的原料費、工資支付每季度生產(chǎn)每種產(chǎn)品的數(shù)量見表2.、管理費等見表1.（1）每一季度中每一類成本的

5、數(shù)量；（2）每一季度三類成本的總數(shù)量；（3）四個季度每類成本的總數(shù)量.該公司希望在股東會議上用一個表格展示出解我們用矩陣的方法考慮這個問題. 這兩個表格中的每一個均可表示為一個矩陣.的第一列表示夏季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本的第二列表示秋季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本的第三列表示冬季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本的第四列表示春季生產(chǎn)三種產(chǎn)品的總成本計算得：的第一行元素表示四個季度中每一季度原料的總成本的第二行元素表示四個季度中每一季度工資的總成本的第三行元素表示四個季度中每一季度管理的總成本每一類成本的年度總成本由矩陣的每一行元素相加得到每一季度的總成本可由每一列相加得到表3匯總了總成本八、轉(zhuǎn)置矩陣將矩陣A的各行變成

6、同序數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣, 記為 性質(zhì)證明：例9 解法1解法2對稱陣矩陣 A 稱為對稱矩陣，如果 AT = A .是對稱矩陣的充要條件是容易知道,對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.說明九、方陣的行列式由n階矩陣A的元素（按原來的位置）構(gòu)成或的行列式，稱為方陣 A 的行列式,記作 例10 3階方陣，求.性質(zhì)十、方陣的伴隨矩陣 設(shè) A 是 n 階矩陣，由行列式 |A| 的各元素的稱為矩陣A的伴隨矩陣.代數(shù)余子式 Aij 所構(gòu)成的矩陣性質(zhì)證明則故例11求伴隨矩陣.伴隨矩陣.例12 求思考題1、矩陣與行列式的有何區(qū)別? 矩陣與行列式有本質(zhì)的區(qū)別，行列式是一個算式，一個數(shù)字行列式經(jīng)過計算