1、函數(shù)建模案例知識回顧解函數(shù)應用題的一般流程審題建模求模還原弄清題意，分清條件和結論，理順數(shù)量關系。將文字語言轉化為數(shù)學語言，用數(shù)學知識建立相應的數(shù)學模型。求解數(shù)學模型，得到數(shù)學結論。將用數(shù)學方法得到的結論還原為實際問題。現(xiàn)在許多家庭都以燃氣（天然氣、煤氣、液化氣、沼氣等）為燒水做飯的燃料，請同學簡單的概述燃氣灶燒水的環(huán)節(jié)。問題引入例1 現(xiàn)在燃氣價格不斷上升，用燃氣燒水做飯是必要的，但怎樣用氣才能做到節(jié)約。怎樣燒開水最省燃氣呢？問題提出省燃氣的含義就是燒開一壺水的燃氣用量少。燒水時是通過燃氣灶上的旋鈕控制燃氣流量的，流量隨著旋鈕位置的變化而變化。由此可見，燃氣用量與旋鈕的位置是函數(shù)關系。于是，問

2、題是：旋鈕在什么位置時燒開一壺水的燃氣用量最少？設想，當旋鈕轉角非常小時，燃氣流量也非常小，甚至點火后的熱量不足以將一壺水燒開，如果一直燒下去，燃氣用量將無止境；隨著旋鈕轉角增大，即燃氣流量漸漸增大。但旋鈕轉角很大時，燃氣不一定充分燃燒，過分的熱量也不能充分作用于水壺，會產(chǎn)生浪費，反而會使燒一壺開水的燃氣用量增大。旋鈕在什么角度用氣量最小呢？我們不可能測出所有旋鈕轉角對應的燃氣用量值，于是，試圖經(jīng)過實驗測出幾組數(shù)據(jù)，然后用這些數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，得到所求。分析理解1. 給定燃氣灶和一只水壺，因為燃氣灶關閉時，燃氣旋鈕的位置為豎直方向，我們把這個位置定為0o；燃氣開到最大時，旋鈕轉了90o.選擇燃氣灶

3、旋鈕的五個位置18o，36o，54o，72o，90o圖象。一、建立數(shù)學模型解決問題的方案018365472903. 利用數(shù)據(jù)擬合函數(shù)，建立旋鈕位置與燒開一壺水燃氣用量的函數(shù)解析式。4. 利用函數(shù)解析式求最小用氣量。5. 對結果的合理性作出檢驗分析。2. 在選好的五個位置上，分別記錄燒開一壺水所需的時間和所用的燃氣量。一、建立數(shù)學模型解決問題的方案項目位置燃氣表開始時讀數(shù)/m3水開時燃氣表讀數(shù)/m3所用燃氣量/m318o9.0809.2100.13036o8.9589.0800.12254o8.8198.9580.13972o8.6708.8190.14990o8.4988.6700.172 為

4、減少實驗誤差，要保證每次燒水時水壺的起始溫度是一樣的.所以，在做實驗之前，記錄相關數(shù)據(jù)得到下表: 用表內(nèi)數(shù)據(jù)，用橫坐標表示旋鈕位置，縱坐標表示燒開一壺水燃氣用量的點，在直角坐標系上標出各點。二、數(shù)學實驗三、擬合函數(shù) 從所選的5組數(shù)據(jù)可以判斷燃氣用量與旋鈕角度之間存在什么樣的關系呢？0.20.118o 36o 54o 72o 90o 旋鈕角度 燃氣用量/m3 0 0.1300.1220.1390.1490.172從圖可以看出，5個點顯示出隨著旋鈕的角度逐漸增大，燃氣用量有一個從小到大的過程。在我們學習過的函數(shù)圖像中，二次函數(shù)的圖像與之最接近，因此可以用二次函數(shù)近似地表示這種變化。三、擬合函數(shù) 為

5、此，設函數(shù)式為y=ax2+bx+c：取三對數(shù)據(jù)可求出表達式的系數(shù)，不妨取(18，0.130)，(36，0.122)，(90，0.172)，得方程組則函數(shù)解析式為 求燃氣用量最少時的旋鈕位置，實際上是求函數(shù)的最小值點x0 即燃氣用量最少時旋鈕的位置是旋轉39度，這時的用氣量為四、求最小用氣量 取旋轉39度角，燒開一壺開水，所得實際用氣量是不是0.1218m3? 如果基本吻合就可以依托此做結論了。 如果相差大，特別是這個用量大于0.122，最小值點就肯定不是39度了，說明這三對數(shù)據(jù)取的不好，可以換另外的點重新計算.然后再檢驗。直至結果與實際比較接近就可以了。 實際上，我們從已知的五對數(shù)據(jù)可以看出，

6、如果取(18,0.130)，(36,0.122)，(54,0.139)，函數(shù)的最小值點就小于36。了。五、檢驗分析用數(shù)學思想、方法、知識解決實際問題的過程叫做數(shù)學建模。抽象概括實際情景提出問題數(shù)學模型數(shù)學結果可用結果檢驗合乎實際不合乎實際數(shù)學建模的過程如圖： 例2 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高/cm60708090100110體重/kg6.137.909.9912.1515.0217.50身高/cm120130140150160170體重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05(1)根據(jù)表提供的的數(shù)據(jù)，能否建立一個恰當?shù)暮瘮?shù)模型，使它能近似地反映這個地區(qū)一體化未成年男性體重y與身高x的函數(shù)關系?試寫出這個函數(shù)模型的關系式；典例講解(2)若體重超過相同身高男性體重的平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175，體重為78的在校男生的體重是否正常?解：(1)以身高為橫坐標，體重為縱坐標，畫出散點圖典例講解典例講解根據(jù)圖中點的分布特點，設y=abx這一函數(shù)來近似刻畫其關系;解 (2)將x=175代入y=21.02x，得y=21.02175用計算器得：y63.