1、中考數(shù)學(xué)幾何模型8:費(fèi)馬點(diǎn)最值模型撥開(kāi)云霧開(kāi)門(mén)見(jiàn)山名師點(diǎn)睛費(fèi)馬爾問(wèn)題思考：PA+PB+PCM ??？如何找一點(diǎn)P使它到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和BP AP CP=BP PQ QE BE當(dāng)B、P、Q、E四點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取得最小值費(fèi)馬點(diǎn)的定義：數(shù)學(xué)上稱(chēng)，到三角形 3個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn)。它是這樣確定的：.如果三角形有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120。，這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)就是費(fèi)馬點(diǎn)；.如果3個(gè)內(nèi)角均小于120 ,則在三角形內(nèi)部對(duì) 3邊張角均為120的點(diǎn)，是三角形的費(fèi)馬點(diǎn)。費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)：費(fèi)馬點(diǎn)有如下主要性質(zhì)：.費(fèi)馬點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小。.費(fèi)馬點(diǎn)連接三頂點(diǎn)所成的三夾角皆為120。費(fèi)馬點(diǎn)最小值快速求解：費(fèi)

2、爾馬問(wèn)題告訴我們，存在這么一個(gè)點(diǎn)到三個(gè)定點(diǎn)的距離的和最小，解決問(wèn)題的方法是運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換.秘訣：以4ABC任意一邊為邊向外作等邊三角形，這條邊所對(duì)兩頂點(diǎn)的距離即為最小值典題探究啟迪思維探究重點(diǎn)例題1.已知：4ABC是銳角三角形， G是三角形內(nèi)一點(diǎn)。/ AGC=/AGB= /BGC=120 .求證：GA+GB+GC的值最小.變式練習(xí).如圖，P是邊長(zhǎng)為1的等邊 ABC內(nèi)的任意一點(diǎn)，求t PA PB PC的取值范圍.求正方形的邊長(zhǎng).例題2.已知正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)E至ij A、B、C三點(diǎn)的距離之和的最小值為我 J6變式練習(xí).若P為銳角 4ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，且/ ABC=60, PA=3, PC=4,求

3、PB的值.例題3.如圖，矩形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為1000米，寬為600米的貨場(chǎng)，A、D是入口，現(xiàn)擬在貨場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)收費(fèi)站P,在鐵路線(xiàn)BC段上建一個(gè)發(fā)貨站臺(tái) H,設(shè)鋪設(shè)公路 AP、DP以及PH之長(zhǎng)度和為1,求l的最小值.A 1000m d變式練習(xí).如圖，某貨運(yùn)場(chǎng)為一個(gè)矩形場(chǎng)地ABCD,其中AB = 500米，AD= 800米，頂點(diǎn)A, D為兩個(gè)出口，現(xiàn)在想在貨運(yùn)廣場(chǎng)內(nèi)建一個(gè)貨物堆放平臺(tái)P,在BC邊上(含B, C兩點(diǎn))開(kāi)一個(gè)貨物入口 M,并修建三條專(zhuān)用車(chē)道PA, PD, PM.若修建每米專(zhuān)用車(chē)道的費(fèi)用為10000元，當(dāng)M, P建在何處時(shí)，修建專(zhuān)用車(chē)道的費(fèi)用最少？最少費(fèi)用為多少？(結(jié)果保留整數(shù))例題4.

4、如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中， ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A (- 6, 0) , B (6, 0) , C (0,4/3),延長(zhǎng) AC到點(diǎn)D ,使CD = AC,過(guò)點(diǎn)D作DE / AB交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn) E.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)作C點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F,分別連接DF、EF,若過(guò)B點(diǎn)的直線(xiàn)y=kx+b將四邊形CDFE分 成周長(zhǎng)相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線(xiàn)的解析式；(3)在第二問(wèn)的條件下，設(shè) G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線(xiàn)y=kx+b與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿 y軸到達(dá)G 點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線(xiàn) GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的 位置，使P點(diǎn)按照上述要

5、求到達(dá) A點(diǎn)所用的時(shí)間最短.(要求：簡(jiǎn)述確定G點(diǎn)位置的方法，不要求證明)例題5.如圖1,已知一次函數(shù)y= x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，拋物線(xiàn)y = - x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與x軸交于另一點(diǎn)C.(1)求b、c的值；(2)如圖1,點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段BD上，且BE=2ED,連接CE并延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn) M,求 點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)將直線(xiàn)AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 15后交y軸于點(diǎn)G,連接CG,如圖2, P為4ACG內(nèi)一點(diǎn)，連接PA、PC、PG,分別以 AP、AG為邊，在他們的左側(cè)作等邊 4APR,等邊AACQ,連接QR求證：PG=RQ;求PA+PC+PG的最小值，并求

6、出當(dāng) PA+PC+PG取得最小值時(shí)點(diǎn) P的坐標(biāo).領(lǐng)悟提升強(qiáng)化落實(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.如圖，已知矩形 ABCD, AB=4, BC=6,點(diǎn)M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn) E為BC邊上任意一點(diǎn)，則 MA+MD+ME的最小值為4AB=2,貝U AP+BP+CP的最小值為（.如圖，四邊形 ABCD是菱形，AB = 4,且/ ABC= / ABE = 60 , M為對(duì)角線(xiàn)BD （不含B點(diǎn)）上任意60得到BN,連接EN、AM、CM,貝U AM + BM+CM的最小值為.將4ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為 1的網(wǎng)格中，點(diǎn)B、C落在格點(diǎn)上，點(diǎn) A在BC的垂直平分線(xiàn)上, /ABC = 30,點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn).(1) /ACB =（

7、2）如圖，將4APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（尺規(guī)作圖，保留痕跡）；（3） AP+BP+CP的最/、值為* -1 WS 3 H- in 尸V! 、 VI：1RV1Il*I.1.-ji I I L .r -!W!l!L *卜耳a * i Br a *(i111|i!ibiic :：L|HIL .Illi! IlinH1|1|lL -4一一.L -I - - jiirk_l Jl*1 w3,lL .-l號(hào)用國(guó)3C6.已知，在 4ABC 中，/ACB=30(1)如圖1 ,當(dāng)AB=AC= 2,求BC的值；(2)如圖2,當(dāng)AB=AC,點(diǎn)P是4ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 PA = 2, PB=。R(

8、3)如圖 3,當(dāng) AC=4, AB=V7 (CBCA),點(diǎn) P 是4ABC 內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，sic國(guó)1圖2,PC= 3,求/ APC的度數(shù)；貝U PA+PB+PC的最小值為 臚圖35.如圖，四個(gè)村莊坐落在矩形 ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，AB=10公里，BC=15公里，現(xiàn)在要設(shè)立兩個(gè)車(chē)站 E, F,貝U EA+EB+EF+FC+FD的最小值為 公里.7.如圖 1,在 4ABC 中，/ACB=90,點(diǎn) P 為4ABC 內(nèi)一點(diǎn).(1)連接PB, PC,將BCP沿射線(xiàn)CA方向平移，得到 ADAE,點(diǎn)B, C, P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn) E,連接CE.D、A、依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；如果BPXCE, BP = 3,

9、 AB=6,求CE的長(zhǎng)(2)如圖3,以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將 4ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60得到AAMN,連接PA、PB、PC,當(dāng)AC=3, AB= 6時(shí)，根據(jù)此圖求 FA+PB+PC的最小值.38. （1）閱讀證明P為AABC的如圖1,在 ABC所在平面上存在一點(diǎn) P,使它到三角形三頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱(chēng)點(diǎn) 費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí) PA+PB+PC的值為4ABC的費(fèi)馬距離.如圖2,已知點(diǎn)P為等邊 ABC外接圓的京上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA.（2）知識(shí)遷移根據(jù)（1）的結(jié)論，我們有如下探尋 4ABC （其中ZA, ZB, /C均小于120）的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法: 第一步：如圖3,在 ABC的外部以BC為邊長(zhǎng)作等邊4BCD及其外接圓；PoA+PoB+PoC= PoA+ (PoB+PoC) = PoA+;第二步：在一而上取一點(diǎn)Po,連接PoA, PoB, PoC, PoD.易知第三步：根據(jù)（1