1、16word版本可編輯歡迎下載支持.16word版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.習(xí)題解答4.1如題4.1圖所示為一長方形截而的導(dǎo)體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板,槽的電位為零，上邊蓋板的電位為求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解根據(jù)題意，電位卩（圮刃滿足的邊界條件為0（0, y） = 0（% y） = 00（ x, 0） = 0（p（x、b） = 5根據(jù)條件和，電位0（兒刃的通解應(yīng)取為題4.1圖卩(忑 y) = 2LA;rsinh( -)sin(-)由條件，有Uq = 4sinh(-)sin(-) 鋁a a.n/rx.sm()兩邊同乘以

2、 o ,并從0到對積分，得到亠血(竺gsinh( n7rb/a) J a25/rsinh( nnbui)(1-COS UTT)=4/ H7rsinh(n7rb/a)0 ,n = l,3,5,n = 246,心滬竺 V 1sinh（竺）sin（竺）故得到槽內(nèi)的電位分布治sinh肋恥）4.2兩平行無限大導(dǎo)體平而，距離為“，其間有一極薄的導(dǎo)體片由y = d到y(tǒng) = （-8 V兀V S）。上板和薄片保持電位下板保持零電位，求板間電位的解。設(shè)在薄片平而上，從y=到文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版word版本可編輯歡迎下載支持. y=d,電位線性變化，解 應(yīng)用疊加原理，設(shè)板間的電位為0（x,y） = %（

3、x,y） + 4（x,y）苴中，（x，y）為不存在薄片的平行無限大導(dǎo)體平而間（電壓為 %）的電位，即（x，y）=S）/b； pl）是兩個電位為零 的平行導(dǎo)體板間有導(dǎo)體薄片時的電位，其邊界條件為：02（/，）= 02 2） = 002 (a 刃=。(0, y) 一 (，y)=y(0yd)(dyb)根據(jù)條件和，可設(shè)（兒刃的通解為X工 4H=10(兒刃=0 (|x|too)(0y J)由條件有(dy sin（）sin（一 ）e b故得到俠圮刃=h dn幺/ bbC廣些4.3求在上題的解中，除開人川一項外，其他所有項對電場總儲能的貢獻(xiàn)。并按7 S文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎

4、下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.圧出邊緣電容。解在導(dǎo)體板（尸）上，相應(yīng)于（俎刃的電荷面密度則導(dǎo)體板上（沿z方向單位長）相應(yīng)的總電荷xcj = j* b idx = 2 b -)d v =-.-X)勞岬）e% = _呼汁伴 ”0題4.4圖“由條件，有咕的吟）sin（兩邊同乘以口龍兀）。，并從0到對積分,得到We =決。=-譽學(xué)土,SS（罟）相應(yīng)的電場儲能為2Z n bC/=-lsin()其邊緣電容為譏曠d n=l “ b 4.4如題4.4圖所示的導(dǎo)體槽，底而保持電位英余兩面電位

5、為零，求槽內(nèi)的電位的解。解根據(jù)題意，電位卩（俎刃滿足的邊界條件為0(0, y) = O(y-s)卩(如 0) = (7。根據(jù)條件和，電位0（如刃的通解應(yīng)取為000(3)=工 A#;r-l42U（）d jittx 2U4=Jsm（ ）cU =仝上（_ ms m）= a o annatj-,n = 1,3,5,H7t0 ,n = 2,46 俠.“)=地 力 1 e-a sin() 故得到槽內(nèi)的電位分布為兀心4.5 一長、寬、高分別為、的長方體表而保持零電位，體積內(nèi)填充密度為p = y（y-Z?）sin（）sin（） a c的電荷。求體積內(nèi)的電位。解在體積內(nèi)，電位滿足泊松方程獸+窪+窪一丄y（Z）s

6、in（竺（空）oxr oy ozr （）a c（1）長方體表而S上，電位滿足邊界條件創(chuàng)s=。由此設(shè)電位0的通解為心冷覧孰小竽川F)sin(竽代入泊松方程(1),可得奠注甲+(+(?sin（叱）sin（竺）sin（空）=y（y ）sin（竺）sin（變） abca c由此可得mp = 0孰吟吩弋曲鄒Si)（2）由式(2),可得An1（-）2+（）2+（-）2 = fjxy-/?）sin（）dy=4（）3（cos_1） =a c p oDb nn上，電位的邊界條件為10（俎0）二0（心）=002 （匕 0）=02（兀 4）= （“）- （x-s）02（兒 y）T0 （X- Y）4.6如題4.6圖所

7、示的一對無限大接地平行導(dǎo)體板，板間有一與z軸平行的線電荷如，其位宜為（皿）。求板間的電位函數(shù)。解 由于在（”）處有一與z軸平行的線電荷如，以x = 為界將場空間分割為兀和xv兩個區(qū)域.則這兩個區(qū)域中的電位（俎刃和（九刃都滿足拉普拉斯方程。而在乳=的分界而 可利用函數(shù)將線電荷切表示成電荷而密度b（y）= ?Q（y 一 ） e（O,y） = ?（O,y）（字-字）1/-縊（DOX OX00由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為嗆滬孰宀咋）（X 0）響滬學(xué)嚴(yán)唄（罟）（X 0)(x 0)(p、g y) =丄 sin(也)嚴(yán)W sin(竺)磯aa4.7如題4.7圖所示的矩形導(dǎo)體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線

8、電荷求槽內(nèi)的電位函數(shù)。解 由于在（心兒）處有一與Z軸平行的線電荷如，以2心為界將O題4.7圖場空間分割為VXX和兀V兩個區(qū)域，則這兩個區(qū)（必*0） 域中的電位 （兀刃和笑（乙刃都滿足拉普拉斯方程。而在X =的分界而上，可利用/函數(shù)將線電荷如表示成電荷面密度 鞏刃=艸-兒）,電位的邊界條件為 *(0尸 o (ay) = o0(x,O)=(x,b) = O02 (兀0尸 02() = 0e(xo，y) = 02(xo，y)（警智十紳f由條件和，可設(shè)電位函數(shù)的通解為)sinh(H7TX(0 xx0)50V B sin(- )sinh ( - x) 02(D=幺 h b(x0 x a)由條件，有XEA

9、r 血(n-l)=學(xué)sin(譽 sinh等 d)(1)字知n（罟g骨）(2)(3) TOC o 1-5 h z Bn 牛 sin(-) cosh牛(a -x0) =5(y-兒) 鋁 b bbso由式(1),可得4 sinh() - Bn sinh學(xué)(a -忑)=0bb血（叱）A 2將式（2）兩邊同乘以b ,并從到對y積分，有A“ cosh(-yL) + 3” cosh#(d -“)=芝 Jo (y - y)sin(器)dy =文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.2Sword版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.2

10、Sword版本可編輯歡迎下載支持.nrrs b(4)由式（3）和（4）解得帚顧盤誠嚀（f ）麗（乎）小2彳1. /龍兀、.磚碩圈贏匸nh（?。﹕m（?。〩7TX,恥刃燈嘉sinh爲(wèi)b嚴(yán)等go）】/兀兒、 nny.S1n()S1nh()S1n()(0 x -Er cos。+ C (r-oo)由此可設(shè) 俠幾)= 一Er cos 0 + A】r cos 0 + C由條件.有于是得到含=曠仇-E()a cos + Aa cos + C = C故圓柱外的電位為 卩(八 0) = (-r+ 6?21)0 cos0 + C若選擇導(dǎo)體圓柱表而為電位參考點，即卩（匕0）= ,則C = 。導(dǎo)體圓柱外的電場則為E

11、= -壬 0（幾 0） =- ；豈=_片（1 + 尋）（）cos 0 + s （-1 + g）垃 sin 080（匚 0）|C 口Zb = -匂一；一 =2 匂 o cos。導(dǎo)體圓柱表面的電荷面密度為4.9在介電常數(shù)為&的無限大的介質(zhì)中，沿z軸方向開一個半徑為的圓柱形空腔。沿軸方向 外加一均勻電場Eo=e、E。,求空腔內(nèi)和空腔外的電位函數(shù)。解 在電場）的作用下，介質(zhì)產(chǎn)生極化，空腔表而形成極化電荷，空腔內(nèi)、外的電場E為外加 電場E。與極化電荷的電場乙“的疊加。外電場的電位為久（“）一Ey = -E“cos而感應(yīng)電荷的電位應(yīng)與（幾0）一樣按cos0變化，則空腔內(nèi).外的電位分別為（八。）和文檔從網(wǎng)絡(luò)

12、中收集，已重新整理排版.word版本可編輯.歡迎下載支持.010word版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯.歡迎下載支持.010word版本可編輯歡迎下載支持.的邊界條件為尸 T 8 時，卩2（八 0）T -Ej COS 0 :一0時，為有限值；蟲=坐廠=時，0i（4）= 02（形）， dr dr 由條件和，可設(shè)% （匚 0） = -E（）rcos。+ A/ cos 0（r ）帶入條件，有 =生。，一耳+匂人=o 0 A2由此解得+心所以2w% (人 0) = _ ()rcos (ra)4.10 一個半徑為“、無限長的薄導(dǎo)體圓柱而被分割成四個四分之一圓

13、柱而，如題4.10圖所示。第二象限和第四象限的四分之一圓柱而接地，第一彖限和第三象n限分別保持電位。和 。求圓柱而內(nèi)部的電位函數(shù)。解 由題意可知，圓柱而內(nèi)部的電位函數(shù)滿足邊界條件為0（4）為有限值:0一5由條件可知，圓柱面內(nèi)部的電位函數(shù)的通解為0 v 0 v 龍/2 zr/2 (j),0) =2U/r+3(-1)-0 ,2/H7tbn = 1,3,5,n = 2,46x 1 railV ()sin“0 + (-l) 2 cos n(/) b(rb)(r) = (0) 代入條件，有心由此得到| 耐 23刃24 =盯0(0)血舁加0=亍J t/0sin/zd- J ()sinMd0= S (lco

14、s亦)= b幷ob兀q用bnn7rn = 1,3,5,n = 2,4,6，/r/23 町2J t/0 cos n(P()- | Uo cos/zdJ =4.11如題41圖所示，一無限長介質(zhì)圓柱的半徑為J介電常數(shù)為乙在距離軸線心比 。）處, 有一與圓柱平行的線電荷，計算空間各部分的電位。解 在線電荷如作用下，介質(zhì)圓柱產(chǎn)生極化，介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位0%）均為線電荷如的電位e（M）與極化電荷的電位偉0）的疊加，即處，0）= 9（幾0）+卩少，0）。線電荷的的電位(p.() 0) = - (/: In R = - In- 2：)cos 02碣2磯v(1)而極化電荷的電位殊S0）滿足拉普拉斯方程，且是。的

15、偶函數(shù)。題41圖文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.(1)13word版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.介質(zhì)圓柱內(nèi)外的電位人）和（人0）滿足的邊界條件為分別為9（%）為有限值；02（M）- 5（人 0）（廠 T ）d（p 6飾，f吩“臨由條件和可知，5（人0）和0幾）的通解為(P (人0)=卩(匚 0) + 工 Anrn cos M n-l(0r a)(2)x(P2 (匚 0)=卩(匚 0)+ 工 Bf cos n(/)n-l(a r n-ln-1(4)qt dnRyAn

16、iui1 + B店”“廠1)cos n(j)= (w 一 ) 気2濟(jì))少r-a(5)x 1 ,In /? = In 心-（一）cos n（/ 當(dāng)rR/|），11帶入式（5）,得 心丄碣）円心cosn(7)由式和（7）,有=Bna 兒”1 + Bn()nan（_6）4 嚴(yán) i（丿（_（）A?=”由此解得2龍匂（ +旬）“啟故得到圓柱內(nèi)、外的電位分別為4（一竊）戶Bn =2 磯（ + 匂）；十1和則一器諾裂（嚴(yán)昨(8)0 (幾。)=In Jr +幣 -2怖 cos0V- ()n cos n(/2亦2亦()( + %)組川w(9)討論：利用式（6）,可將式（8）和（9）中得第二項分別寫成為坐匸）yl

17、 （-） cos M =恥一習(xí)）（In R - In %） 2磯（ + （）曲 %2隔（ + 竊）爾一（）二 1Y-()ncos詢=出二匹(In尺一Inr)2昭J (w + (J 組 n rr2碣( + 勺)其中R=界+ 7孑一 2如九）cos 。因此可將9（幾0）和（M）分別寫成為叭(“)=_-生叢InR_In心2隔 + 。2碣( + )5“盤、R 2% +L仝也”丄口1也“2磯 +勺G由所得結(jié)果可知，介質(zhì)圓柱內(nèi)的電位與位于（心0）的線電荷 +匂 的電位相同，而介質(zhì)圓（.0）柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（）0）的線電荷切：位于 必 的一線電荷 +匂:位于廠=的線電荷 +

18、 6 o4.12將上題的介質(zhì)圓柱改為導(dǎo)體圓柱，重新計算。解 導(dǎo)體圓柱內(nèi)的電位為常數(shù)，導(dǎo)體圓柱外的電位*如均為線電荷如的電位切（八0）與感應(yīng) 電荷的電位的疊加,即線電荷如的電位為(p (? 0)=C in R =( In J廠+ 彳-2% cos0 2磯2磯而感應(yīng)電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數(shù)。必0）滿足的邊界條件為0（匚 0）-（人 0）（廠 TS）；（p（a） = C由于電位分布是0的偶函數(shù)，并由條件可知，卩（幾叭的通解為(2)卩（幾。）=卩（八。）+ 工 Anr cos n（/將式（1）和（2）帶入條件，可得到90n0cos n(p = C + -J； _ jn J/ +_ 加心

19、 cos(j(3)將】n血+才-2%心。展開為級數(shù)，有In J(r + % _ 2ciIq cos 0 = In /()- V ()A cos n(j) E %帶入式(3),得(4)A cos n(p = C + n0嘰一張E(5)4）= C + In An = （）K由此可得2齊），2庇屮%故導(dǎo)體圓柱外的電為(p(r、0)=C In J一 2q cos0 +2磯討論：利用式（4）,可將式（6）中的第二項寫成為文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.15word版本可編輯.歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.15word版本

20、可編輯.歡迎下載支持. TOC o 1-5 h z x 12V （）A cos n（t）= 5 （in R _ in r）2磯組n rr2亦（）其中Rp+s/d畑因此可將敗寫成為*、0）=In R + In RIn r +C + - Z In2磯 2磯2碼2硯0由此可見，導(dǎo)體圓柱外的電位相當(dāng)于三根線電荷所產(chǎn)生，它們分別為：位于（心0）的線電荷億（,0） _位于僉的線電荷一S：位于r = 0的線電荷如。4.13在均勻外電場耳）=占中放入半徑為的導(dǎo)體球，設(shè)（1）導(dǎo)體充電至。；（2）導(dǎo)體上 充有電荷。試分別計算兩種情況下球外的電位分布。解（1）這里導(dǎo)體充電至。應(yīng)理解為未加外電場仇時導(dǎo)體球相對于無限遠(yuǎn)

21、處的電位為此 時導(dǎo)體球而上的電荷密度=琢7。/,總電荷 = 亦WE,。將導(dǎo)體球放入均勻外電場竝中后, 在的作用下，產(chǎn)生感應(yīng)電荷，使球而上的電荷密度發(fā)生變化，但總電荷仍保持不變，導(dǎo)體 球仍為等位體。設(shè)卩（幾&） = %（人&） + %,&）其中% （匚 0） = -E（）z = - 0rcos 0是均勻外電場仇的電位，（幾&）是導(dǎo)體球上的電荷產(chǎn)生的電位。電位俠匚&）滿足的邊界條件為FTS時，卩（幾eT-E/cosB；2時，0（&）= Co,其中G為常數(shù)，若適當(dāng)選擇0（幾&）的參考點，可使57。文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.

22、文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.16word版本可編輯歡迎下載支持.（2）導(dǎo)體上充電荷。時，令Q = aUoQ4/T()d文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本口J編輯歡迎卞載支持.由條件，可設(shè)卩(八 &) = EQr cos + Ajf2 cos 6 + B/1 +G代入條件，可得到 A, =a E B、=dUo, Cx =C0-t/0C =11若使可得到 2)勺(八 &)= +,最后得到3卩4 =球殼內(nèi)表而上的感應(yīng)電荷而密度為感 應(yīng)電=f 0 d S =jcos0 17tr sin &d & = 04.16欲在

23、一個半徑為的球上繞線圈使在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場，問線圈應(yīng)如文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.16word版本可編輯歡迎下載支持.0（/?&） = 02（尺&）文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持. 何繞(即求繞線的密度)？解設(shè)球內(nèi)的均勻場為H嚴(yán)球外的場為H2 (ra)f如題4.I6圖所示。根據(jù)邊 界條件，球面上的電流而密度為Js =/ix(H2-Hl)|r=(i =erH1-ezH.)r=a =+%H

24、osin&若令/砂口，則得到球面上的電流面密度為丿s=%Hsin&這表明球而上的繞線密度正比于sin&,則將在球內(nèi)產(chǎn)生均勻場。4.17 一個半徑為R的介質(zhì)球帶有均勻極化強(qiáng)度P (1)證明：球內(nèi)的電場是均勻的，等于“；4托RT =(2)證明：球外的電場與一個位于球心的偶極子卩廠產(chǎn)生的電場相同，3解(1)當(dāng)介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中會形成極化電荷分布，本題中所求的電場即為極化電荷所產(chǎn)生 的場。由于是均勻極化，介質(zhì)球體內(nèi)不存在極化電荷，僅在介質(zhì)球而上有極化電荷而密度，球內(nèi)、 外的電位滿足拉普拉斯方程，可用分離變量法求解。建立如題4.17圖所示的坐標(biāo)系，則介質(zhì)球而上的極化電荷面密度為 j = P n = P

25、 er PcosO介質(zhì)球內(nèi)、外的電位和購滿足的邊界條件為(o，&)為有限值；02(WtO (FT 8)因此，可設(shè)球內(nèi)、外電位的通解為 % （八 &）=命COS&由條件，有列/?=尋勺）（ +解得=二B嚴(yán)學(xué)3匂30pP%（匚 0） = -rcosO = z于是得到球內(nèi)的電位彳勺3竊P Pd =一 =_=一 故球內(nèi)的電場為3% 3勺（2）介質(zhì)球外的電位為3勺廣4磯廣 34昭廠其中4龍用3 為介質(zhì)球的體積。故介質(zhì)球外的電場為SPE）警-G讐二奇5辭+朋詢可見介質(zhì)球外的電場與一個位于球心的偶極子卩孑產(chǎn)生的電場相同。4.18半徑為的接地導(dǎo)體球，離球心（人 ）處放苣一個點電荷,如題4.18圖所示。用分離

26、變量法求電位分布。解球外的電位是點電荷的電位與球而上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位的疊加，感應(yīng)電荷的電位滿足拉普 拉斯方程。用分離變量法求解電位分布時，將點電荷的電位在球面上按勒讓徳多項式展開，即可 由邊界條件確定通解中的系數(shù)。設(shè)卩（幾&） = %（”） + %（“）其中（&） =q4亦 yjr2 + /;2 一 2/7； cos 0是點電荷。的電位，久（人&）是導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電位。電位（幾&）滿足的邊界條件為r s時，0（人） T: r = d 時，0（么&） = 0。由條件，可得的通解為%（）= 仃比（cos 8）為了確龍系數(shù)利用A的球坐標(biāo)展開式/I-0f 爲(wèi)出（COS&）（5）/2=0 斤出

27、3&） （/）n=0廠oc tt將網(wǎng)什“）在球面上展開為二融若產(chǎn)代20OC ft工 A/rr（cos&）+總工為出（cos&）=0代入條件，有/,=4 0 ,?= 1_ 加T比較（8S叫勺系數(shù)，得到4磯廠x 2/t+l（p（t 0） = - 一 !工P （COS 0） 故得到球外的電位為4磯尺仏0 “） 討論：將俠幾&）的第二項與1/尺的球坐標(biāo)展開式比較，可得到x 么加利a!rE 廠兩 Pn（COS 0） = - J 二n=o （）J廣 + （cr；斤） 一 2r（ .）cos 0由此可見，俠幾&）的第二項是位于心訃、的一個點電荷q=-qM八所產(chǎn)生的電位，此電荷文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版

28、.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.16word版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持. 正是球而上感應(yīng)電荷的等效電荷，即像電荷。4.19 一根密度為、長為2的線電荷沿z軸放置，中心在原點上。 證明：對于ra的點，有35、-+ P,（COS /廠 +z2 -2/t/cos &丘寫心)r + z 2 - 2rz,f cos 0n-( r故得到敗豁 P(cos&M4 花u ”-0_a fi:丄心沙恥川+14.2

29、0 一個半徑為的細(xì)導(dǎo)線圓環(huán).環(huán)與小平而重合.中心在原點上，環(huán)上總電荷量為,如 題4.20圖所示。證明：空間任意點電位為3( r PJcos&) + -巳(cos&) +a)81。丿02 =P,cos&) +P4 (cos &) + (ra)解 以細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)所在的球而廠=把場區(qū)分為兩部分，分別寫題 4.20圖出兩個場域的通解，并利用s函數(shù)將細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)上的線電荷 表示成球而= “上的電荷面密度8）(1)(2)根據(jù)條件和.可得sz和曲的通解為 % (人 &)=工 4/乂 (cos &)/r-002()=Bj Pn OS 0)n-0代入條件，有心” =Bj嚴(yán)f_|_ b” (h +1)6/_,1_2

30、pn (cos &) = -J(cos 0)n=02 叫廣(4)將式兩端同乘以巴（8s&）sin&,并從o到兀對進(jìn)行積分，得兒必心+場+ 1）/心=2+ 1)。4齊)/j J (cos 0)Pn (cos &) sin &d 0 = o嚴(yán)化（。）其中此()=(J351)246mn = 1,3,5,n = 2,46B,嚴(yán)半化（0）由式和（5）,解得磯，4磯代入式（1）和（2）,即得到3 r(r a)(r a)Pcos&) + - P4(cos) + 只。丿q、Pcos&) +二 巳(cos&) +81 丿4.21 一個點電荷。與無限大導(dǎo)體平而距離為，如果把它移到無窮遠(yuǎn)處，需要作多少功?題4.21

31、圖題4.21圖所示。像電荷在點P處產(chǎn)生的電場為解 利用鏡像法求解。當(dāng)點電荷移動到距離導(dǎo)體平而為*的 點P處時，英像電荷=T、與導(dǎo)體平而相距為* = 一兀，女口所以將點電荷9移到無窮遠(yuǎn)處時，電場所作的功為叱訂：必3心訂；石孟嚴(yán)匸-盤外力所作的功為167ToJ 4.22如題4.22圖所示，一個點電荷彳放在60的接地導(dǎo)體角域內(nèi)的點（1，1，0）處*求：（）所有鏡像電荷的位置和大?。海?）點兀=2=1處的電位。解（1）這是一個多重鏡像的問題，共有5個像電荷，分布在以點電荷G到角域頂點的距離為半 徑的圓周上，并且關(guān)于導(dǎo)體平而對稱，其電荷量的大小等于9,且正負(fù)電荷交錯分布，其大小和位程分別為q； =6q；

32、 =q； =q、題4.22圖對cos 75。=0.366 丼=、伍sin 75 =1.366x = V2 cos 165: = 1.366y； = V2sinl65 =0.366= V2cosl95 =-1.366= V2sinl95 = -0.366W = cos 285。=0.366y； =V2 sin 285 =-1.366X5 = V2 cos315c = 1 y； = V2sin315 =_1（2）點x = 2=1處電位0(2,匕 0)=丄邑+久+魚+雖_+魚4龍（）R R、 R2 R3 /?4 R、）-(l 0597 + 0292-0275 + 0348 0477)=q = 288

33、xl0、(V) 4磯4磯 4.23 一個電荷疑為、質(zhì)量為加的小帶電體，放置在無限大導(dǎo)體平而下方，與平面相距為力。 求彳的值以使帶電體上受到的靜電力恰與重力相平衡（設(shè)加= 2xl（）7kg, /? = o.O2m）。 解 將小帶電體視為點電荷。，導(dǎo)體平而上的感應(yīng)電荷對。的靜電力等于鏡像電荷對。的作用 力。根據(jù)鏡像法可知，鏡像電荷為q，= cl，位于導(dǎo)體平而上方為處，則小帶電體。受到的靜電力為 ，4磯（2力）-令h的大小與重力相等，即4（2/?）于是得到q = 4力 J 齊嚴(yán) g = 5.9 x 10一、CS h（Zqo題 4.24 圖(a )4.24如題4.24 （“）圖所示，在？ 的下半空間是

34、介電常數(shù)為的介質(zhì)，上半空間為空氣, 距離介質(zhì)平而距為處有一點電荷求:（1）乙和Z的兩個半空間內(nèi)的電位：（2）介質(zhì)表而上的極化電荷密度，并證明表而上極化電荷總電疑等于鏡像電荷/。解（1）在點電荷。的電場作用下，介質(zhì)分界面上岀現(xiàn)極化電荷，利用鏡像電荷替代介質(zhì)分界而 上的極化電荷。根拯鏡像法可知，鏡像電荷分布為（如題4.24圖（“）、（）所示）d =q +匂，位于乙=hq =q0 +匂，位于乙=h1 1+勺 J/+(z+hf上半空間內(nèi)的電位由點電荷彳和鏡像電荷/共同產(chǎn)生，即_ a + 7 _ q ,q+q _ q4戀R、04磯R + 4磯R 4磯J/+(z-府下半空間內(nèi)的電位由點電荷Q和鏡像電荷/共同產(chǎn)生，即文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，已重新整理排版.word版本可編輯歡迎下載支持.1 Sword版本可編輯歡迎下載支持.16word版本可編輯歡迎下載支持.文檔從網(wǎng)絡(luò)中收集，