1、第九章聯(lián)立方程模型經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是復(fù)雜的，因果關(guān)系可能是雙向的，或者一果多因，或者一因多果。這時(shí)用一個(gè)單一方程很難完整地表達(dá)，需要用多個(gè)相互聯(lián)系的方程，才能正確反映復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)狀況。聯(lián)立方程模型概述聯(lián)立方程模型的識別聯(lián)立方程模型的估計(jì) 第一節(jié) 聯(lián)立方程模型概述一、概念 所謂聯(lián)立方程模型，是指同時(shí)用若干個(gè)相互關(guān)聯(lián)的方程去表示一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中經(jīng)濟(jì)變量相互依存性的模型。例如：商品需求Q與商品價(jià)格P，事實(shí)上存在雙向因果關(guān)系，可形成如下的聯(lián)立方程模型：二、聯(lián)立方程模型中的變量一般而言，聯(lián)立方程模型的變量可分為： 內(nèi)生變量：由模型內(nèi)變量所決定的變量，它一般是被解釋變量。 外生變量：由模型外變量所決定的變量

2、前定變量：外生變量和滯后變量的統(tǒng)稱例如，在一個(gè)由國民收入Y、消費(fèi)C、投資I、政府支出G等變量構(gòu)成的簡單的宏觀經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，對這些變量之間的關(guān)系用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型來進(jìn)行描述。 從上面的模型來看，內(nèi)生變量包括：國民收入Y、消費(fèi)C、投資I；外生變量包括：前期國民收入Yt-1和政府支出G。 三、聯(lián)立方程模型的種類1.結(jié)構(gòu)式模型依據(jù)經(jīng)濟(jì)理論直接設(shè)定的描述經(jīng)濟(jì)變量關(guān)系結(jié)構(gòu)的聯(lián)立方程組模型形式稱為結(jié)構(gòu)式模型（Structural equations)；結(jié)構(gòu)式模型是在對經(jīng)濟(jì)變量的影響關(guān)系進(jìn)行理論分析基礎(chǔ)上建立的，反映了內(nèi)生變量直接受預(yù)定變量、其他內(nèi)生變量和隨機(jī)項(xiàng)影響的因果關(guān)系。結(jié)構(gòu)模型的一般形式：該模型具有g(shù)個(gè)方程

3、和g個(gè)內(nèi)生變量：Y1,Y2,Yg;k個(gè)前定變量：X1,X2,Xk;模型矩陣形式可寫為：結(jié)構(gòu)式模型的特點(diǎn)：模型直觀地描述了經(jīng)濟(jì)變量之間的關(guān)系結(jié)構(gòu)，模型的經(jīng)濟(jì)意義明確。模型只反映了各變量之間的直接影響，卻無法直觀地反映各變量之間的間接影響和總影響。無法直接運(yùn)用結(jié)構(gòu)是模型進(jìn)行預(yù)測。2.簡化式模型簡化式方程(Reduced-form equations)是指將結(jié)構(gòu)式模型中的每個(gè)內(nèi)生變量都只表示為前定變量和隨機(jī)誤差項(xiàng)的函數(shù)所構(gòu)成的模型。其一般形式為對P169（9-2）所表示的模型，其簡化式模型可表示為： 用矩陣形式表示為：簡化式模型的特點(diǎn)：簡化式方程的解釋變量都是與隨機(jī)項(xiàng)不相關(guān)的前定變量，可以應(yīng)用OLS

4、對簡化式方程中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，其估計(jì)量是無偏的和一致的。簡化式參數(shù)反映了前定變量對內(nèi)生變量的總影響，包括直接影響和間接影響。利用簡化式模型可以直接進(jìn)行預(yù)測。簡化式模型沒有客觀地描述經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)變量間的內(nèi)在聯(lián)系，模型的經(jīng)濟(jì)含義不是分明確。結(jié)構(gòu)式模型與簡化式模型的關(guān)系結(jié)構(gòu)式模型：簡化式模型：對于結(jié)構(gòu)式，兩邊同時(shí)左乘 ，整理得到 將其與簡化式比較，可以得到： ，該式描述了簡化式參數(shù)與結(jié)構(gòu)式參數(shù)之間的關(guān)系，稱其為參數(shù)關(guān)系體式。 第二節(jié) 聯(lián)立方程模型的識別一、模型的識別識別(Identification)問題：是指能否從所估計(jì)的簡化式結(jié)構(gòu)系數(shù)求出一個(gè)結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)的估計(jì)值。如果不能，則稱該方程不可識別

5、；如果能夠，則稱該方程可以識別。其中后一種情況又可分為恰好識別與過度識別。下面通過糧食的需求供給模型說明上述幾個(gè)概念例子P172：糧食的需求供給模型市場達(dá)到平衡時(shí)，模型估計(jì)值無法區(qū)別是對 0，1的估計(jì)還是對0，1的估計(jì)，該模型不可識別。需求函數(shù)供給函數(shù)平衡條件若在需求函數(shù)和供給函數(shù)中分別加入收入變量I t和滯后價(jià)格變量Pt-1，此時(shí)，能區(qū)分各自的估計(jì)值，方程可識別。具體見后面識別條件。 Dt = 0 + 1 Pt + 2 It + u1 St = 0 + 1 Pt + 2 Pt-1 + u2 St = Dt 二、聯(lián)立方程模型的識別條件上述例子告訴我們，可以借助于簡化式結(jié)構(gòu)方程來決定聯(lián)立方程模型

6、中的某一方程組的可識別性；然而，許多情況下，這個(gè)過程是非常費(fèi)力的；識別的階條件與秩條件提供了規(guī)范的判斷方法。我們首先引入以下符號： 模型中內(nèi)生變量個(gè)數(shù)為g，前定變量個(gè)數(shù)為k； 第i個(gè)方程中前定變量個(gè)數(shù)為ki ， 第i個(gè)方程中所含的內(nèi)生變量個(gè)數(shù)為gi 1.簡化式模型的識別（1）秩條件：若秩 ，則第i個(gè)結(jié)構(gòu)方程不可識別。若秩 ，則第i結(jié)構(gòu)方程可識別。（2）階條件：當(dāng)?shù)趇 個(gè)結(jié)構(gòu)方程可識別時(shí) 若 則該方程恰好識別。 若 則該方程過度識別。 例如：某一模型的結(jié)構(gòu)式為： 式中Y1，Y2，Y3為內(nèi)生變量，即g=3；X1，X2，X3為前定變量,即k=3。 第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程中g(shù)1=2，k1=2； 第二個(gè)結(jié)構(gòu)方程

7、中g(shù)2=2，k2=1; 第三個(gè)結(jié)構(gòu)方程中g(shù)3=3，k3=1其結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為 對于第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程，它不含內(nèi)生變量Y3，包含前定變量X1，X2，則劃掉中第三行和第一、第二列得到 ： R（1）=1=g1-1=2-1，因此第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程可識別，進(jìn)而可用階條件，這里k-k1=3-2=1=g1-1=2-1，因此第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程是恰好識別的。 對于第二個(gè)結(jié)構(gòu)方程，它不含內(nèi)生變量Y1，包含前定變量X3，劃去中第一行及第三列得 ：R（2）=1=g2-1=2-1，此結(jié)構(gòu)方程可識別，再用階條件，k-k2=3-1=2，g2-1=2-1=1，有k-k2g2-1，第二個(gè)結(jié)構(gòu)方程是過度識別的。 對于第三個(gè)結(jié)構(gòu)方程，它含內(nèi)生變

8、量Y1，Y2，Y3，包含前定變量X3，則保留 中的全部行，再劃掉其第三列，得R（3）=1g3-1=3-1，因此由秩條件，第三個(gè)結(jié)構(gòu)方程是不可識別的。由于第三個(gè)結(jié)構(gòu)方程是不可識別的，所以該聯(lián)立方程模型是不可識別的。2.結(jié)構(gòu)式模型的識別（1）階條件注意：識別的階條件只是結(jié)構(gòu)方程可識別的一個(gè)必要條件，而非充要條件。如果階條件不成立，則對應(yīng)的結(jié)構(gòu)方程不可識別；如果階條件成立，則對應(yīng)的結(jié)構(gòu)方程是否可識別不能確定，還需進(jìn)一步通過秩條件判別。（2）結(jié)構(gòu)方程識別的秩條件若秩R（B(i)，(i)）g1-1=1，所以該方程是過度識別的 對于第二個(gè)結(jié)構(gòu)方程 其中：k2=2，g2=2，R（B（2）（2）=2=g-1=

9、3-1，所以該方程可以識別；又因?yàn)閗-k2=1=g2-1，所以該方程是恰好識別的。 第三個(gè)方程是平衡方程，不存在識別問題。所以該聯(lián)立方程模型是可以識別的。 第三節(jié) 聯(lián)立方程模型的估計(jì)聯(lián)立方程模型的估計(jì)方法分為兩類：單方程估計(jì)方法：每次只估計(jì)模型系統(tǒng)的一個(gè)方程，依次逐個(gè)估計(jì)； 主要為間接最小二乘法以及兩階段最小二乘法；系統(tǒng)估計(jì)方法：同時(shí)對全部方程進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)得到所有方程的參數(shù)估計(jì)量。 主要為完全信息最大似然法以及三階段最小二乘法。我們主要介紹前者，要掌握間接最小二乘法以及兩階段最小二乘法。1.間接最小二乘法ILS對一個(gè)恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，從簡化式系數(shù)的OLS估計(jì)量獲得結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值的方法叫做間

10、接最小二乘法(Indirect Least Squares,簡稱ILS）；ILS步驟如下：先對關(guān)于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用OLS估計(jì)簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計(jì)量，然后通過參數(shù)關(guān)系體系，計(jì)算得到結(jié)構(gòu)式參數(shù)的估計(jì)量。聯(lián)立方程模型的估計(jì)方法ILS模型簡化式為：實(shí)例：其系數(shù)矩陣表示：由結(jié)構(gòu)式識別條件可知第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程恰好識別，第二個(gè)是過度識別，第三個(gè)不可識別。第一個(gè)結(jié)構(gòu)方程式是恰好識別的，該方程含有兩個(gè)內(nèi)生變量Y1和Y2，對應(yīng)的簡化式方程為：整理可得： 用普通最小二乘法分別對的簡化式參數(shù) 作出的估計(jì)值 ，再將 代入式中，得到：注意：間接最小二乘法只適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程的參數(shù)估計(jì)，因此只有恰好識別的結(jié)構(gòu)方程才能從參數(shù)關(guān)系體系中得到唯一一組結(jié)構(gòu)參數(shù)的估計(jì)量；兩階段最小二乘法既適用于恰好識別的結(jié)構(gòu)方程，又適用于過度識別的結(jié)構(gòu)方程。2.二階段最小二乘法2SLS基本思想如下：首先利用OLS法估計(jì)簡化式方程，得到內(nèi)生變量的估計(jì)值，然后以內(nèi)生變量的估計(jì)值為工具變量，對結(jié)構(gòu)式方程應(yīng)用OLS法得到結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值。具體步驟：第一步：從結(jié)構(gòu)方程導(dǎo)出簡化式方程，用普通最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，然后用簡化方程求出結(jié)構(gòu)方程中內(nèi)生解釋變量的估計(jì)值。第二步：用所求出的內(nèi)生解釋變量的估計(jì)值替換結(jié)構(gòu)方程中該內(nèi)生解釋變量的樣本觀測值，再對結(jié)構(gòu)方程用普通最小二乘法進(jìn)行估價(jià)，所求出的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量即為二階段最小