1、第 頁4.6正弦定理(dngl)、余弦定理及解三角形1正弦(zhngxin)、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所對的邊分別(fnbi)是a，b，c，R為ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內容eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2Ra2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C變形(1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(2)sin Aeq f(a,2R)，sin Beq f(b,2R)，sin Ceq f(c,2R)；(3)abcsin_Asin_Bsin_C；(4)asin Bbs

2、in A，bsin Ccsin B，asin Ccsin Acos Aeq f(b2c2a2,2bc)；cos Beq f(c2a2b2,2ac)；cos Ceq f(a2b2c2,2ab)2.SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)acsin Beq f(abc,4R)eq f(1,2)(abc)r(r是三角形內切圓的半徑)，并可由此計算R、r.3在ABC中，已知a、b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式absin Absin Aab解的個數(shù)一解兩解一解一解4.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標線在同一鉛垂平面內的水平

3、視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方叫仰角，目標視線在水平視線下方叫俯角(如圖)(2)方向(fngxing)角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等(3)方位角指從正北方向(fngxing)順時針轉到目標方向線的水平角，如B點的方位角為(如圖)(4)坡度(pd)：坡面與水平面所成的二面角的正切值1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”) (1)在ABC中，AB必有sin Asin B( )(2)若滿足條件C60，ABeq r(3)，BCa的ABC有兩個，那么a的取值范圍是(eq r(3)，2)( )(3)若ABC中，acos Bbcos A，則ABC是等腰三角形(

4、)(4)在ABC中，tan Aa2，tan Bb2，那么ABC是等腰三角形( )(5)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180.( )2(2013湖南)在銳角ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asin Beq r(3)b，則角A等于( )3(2013陜西)設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為( )A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D不確定4在ABC中，B60，ACeq r(3)，則AB2BC的最大值為_ _5一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向

5、，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為_ _ km.題型一正、余弦定理的簡單(jindn)應用例1(1)在ABC中，內角(ni jio)A，B，C的對邊分別(fnbi)是a，b，c，若a2b2eq r(3)bc，sin C2eq r(3)sin B，則A等于( )A30 B60 C120 D150(2)在ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，則sin Bsin C的最大值為( )A0 B1 C.eq f(1,2) D.eq r(2)思維啟迪(1)由sin C2eq r(3)sin B利用正

6、弦定理得b、c的關系，再利用余弦定理求A.思維升華(1)在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2)解題中注意三角形內角和定理的應用及角的范圍限制(1)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知8b5c，C2B，則cos C等于( )A.eq f(7,25) Beq f(7,25) Ceq f(7,25) D.eq f(24,25)(2)已知a

7、，b，c分別是ABC的三個內角A，B，C所對的邊，若a1，beq r(3)，AC2B，則角A的大小為_題型二正弦定理、余弦定理的綜合應用例2(2012課標全國)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，acos Ceq r(3)asin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面積(min j)為eq r(3)，求b，c.思維(swi)啟迪利用正弦定理(dngl)將邊轉化為角，再利用和差公式可求出A；面積公式和余弦定理相結合，可求出b，c.思維升華有關三角形面積問題的求解方法：(1)靈活運用正、余弦定理實現(xiàn)邊角轉化(2)合理運用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關系、二倍角公式等

8、在ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.(1)若c2，Ceq f(,3)，且ABC的面積為eq r(3)，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，試判斷ABC的形狀題型三解三角形的實際應用例3某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，立即測出該漁輪在方位角為45，距離為10 n mile的C處，并測得漁輪正沿方位角為105的方向，以9 n mile/h的速度向某小島靠攏，我海軍艦艇立即以21 n mile/h的速度前去營救，求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間思維啟迪本題中所涉及的路程在不斷變化，但艦艇和漁輪相遇時所用時間相等，先設出所用時間t

9、，找出等量關系，然后解三角形思維(swi)升華求解測量問題的關鍵是把測量目標納入到一個可解三角形中，三角形可解，則至少(zhsho)要知道這個三角形的一條邊長解題中注意各個角的含義，根據(jù)這些角把需要的三角形的內角表示出來，注意不要把角的含義弄錯，不要把這些角與要求解的三角形的內角之間的關系弄錯在斜度一定(ydng)的山坡上的一點A測得山頂上一建筑物頂端對于山坡的斜度為15，如圖所示，向山頂前進100 m后，又從B點測得斜度為45，設建筑物的高為50 m求此山對于地平面的斜度的余弦值.代數(shù)式化簡或三角運算不當致誤典例：(12分)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，

10、試判斷ABC的形狀易錯分析(1)從兩個角的正弦值相等直接得到兩角相等，忽略兩角互補情形；(2)代數(shù)運算中兩邊同除一個可能為0的式子，導致漏解；(3)結論表述不規(guī)范規(guī)范解答溫馨(wn xn)提醒(1)判斷三角形形狀(xngzhun)要對所給的邊角關系式進行轉化，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶尤缓笈袛?；注意不要輕易兩邊同除以一個式子(2)在判斷三角形形狀時一定要注意解是否唯一，并注重挖掘(wju)隱含條件另外，在變形過程中要注意角A，B，C的范圍對三角函數(shù)值的影響方法與技巧1應熟練掌握和運用內角和定理：ABC，eq f(A,2)eq f(B,2)eq f(C,2)eq f(,2)中互補和互余的情況，

11、結合誘導公式可以減少角的種數(shù)2正、余弦定理的公式應注意靈活運用，如由正、余弦定理結合得sin2Asin2Bsin2C2sin Bsin Ccos A，可以進行化簡或證明3合理利用換元法、代入法解決實際問題失誤與防范1在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對角求另一邊的對角，進而求出其他的邊和角時，有時可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進行分類討論2利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內角和定理對角的范圍的限制.A組專項基礎訓練(時間：35分鐘，滿分：57分)一、選擇題1在ABC，已知A45，ABeq r(2)，BC2，則C等于( )A30 B60 C120 D30或1502ABC中，角A、B

12、、C所對的邊分別(fnbi)為a、b、c，若eq f(c,b)cos A，則ABC為( )A鈍角(dnjio)三角形 B直角三角形 C銳角三角形 D等邊三角形3(2012湖南)ABC中，ACeq r(7)，BC2，B60，則BC邊上(bin shn)的高等于( )A.eq f(r(3),2) B.eq f(3r(3),2) C.eq f(r(3)r(6),2) D.eq f(r(3)r(39),4)4(2013遼寧)在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Aeq f(1,2)b，且ab，則B等于( )A.eq f(,6) B.eq f(,3

13、) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)5在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，已知b2c(b2c)，若aeq r(6)，cos Aeq f(7,8)，則ABC的面積等于( )A.eq r(17) B.eq r(15) C.eq f(r(15),2) D3二、填空題6(2013安徽)設ABC的內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若bc2a,3sin A5sin B，則角C_.7在ABC中，若b5，Beq f(,4)，tan A2，則a_.8如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在點A的同側的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B

14、兩點的距離為_ _三、解答題9(2013北京)在ABC中，a3，b2eq r(6)，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值10(2013江西(jin x)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別(fnbi)為a、b、c，已知cos C(cos Aeq r(3)sin A)cos B0.(1)求角B的大小(dxio)；(2)若ac1，求b的取值范圍B組專項能力提升(時間：25分鐘，滿分：43分)1ABC的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asin Asin Bbcos2Aeq r(2)a，則eq f(b,a)等于( )A2eq r(3) B2eq r(2) C.eq r(3) D.eq r(2)2有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10，則斜坡長為( )A1 B2sin 10 C2cos 10 Dcos 20(2013浙江(zh jin)在ABC中，C90，M是BC的中點(zhn din)若sinBAMeq f(1,3)，則sinBAC_.4(2012江西(jin x)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，