1、2013（數(shù)二）時間：180 分鐘一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。（1）當 x 0 時，下列無窮小量中階數(shù)最高的是（ ）（A） 1 x2 1 x2x7（B）xln(1 x) sin t 2（D） 2（C） ex cos xdtt0【】D】當 x 0 時，1 x 1 x2 (1x2；x2 1 x2x7 3x3 ；3 cos x (1 x2 o(x2 ) (1 1 x2 o(x2 )23 x222ex；xln(1 x) sin t 20dtx4.故選D.t（2）設函數(shù) f (x) 在 x x0

2、處取極大值，則（ ）（A） f (x0 ) 0存在 0 ，使得 f (x) 在 x x0 的左半鄰域單增，右半鄰域單減存在 0 ，使得 f (x) 在 x x0 的左半鄰域 f (x0 ) 0 ，右半鄰域 f (x0 ) 0 f (x) 在 x x0 處取極小值【】D】極值點可能在不可導點處取得，排除 A；12 x (2 sin )xx 20， f (0) 2 是極大值，但 f (x) 的導數(shù)在 x 0 的B 例子： f (x) x 02左右鄰域都是小于零的，排除B、C；1根據(jù)對稱性可知，D 項正確.（3）設 f (x) 處處可導，則（ ）（A）當 lim f (x) 時， lim f (x)

3、 xx（B）當 lim f (x) 時， lim f (x) xx（C）當 lim f (x) 時， lim f (x) xx（D）當 lim f (x) 時， lim f (x) xx【】D【】由物理意義，xt, f (x)a, f (x)s ，隨著時間t 增大，位移 s 肯定是增加的.也可用排除法，取 f (x) x ， f (x) 1，A、C 錯誤；取 f (x) x2 ， f (x) 2x ，排除B 項；故選 D.（4）設 f (u) 為連續(xù)函數(shù)， a 為常數(shù)，下列變限積分函數(shù)為奇函數(shù)的個數(shù)為（ ）xu f (t 2 )dtdua0 xu f ( f (t) t)dtdu00 xy 為

4、奇函數(shù)， f (t3 )dtdy設 f (t) 0 xxy f (t)dtdya y（A）1（B）2（C）3（D）4【】B因 f (x) 連續(xù)，若 f (x) 為奇函數(shù)，則 f (x) 的任一原函數(shù)為偶函數(shù)；若 f (x) 為偶函數(shù)，則xf (x) 僅有一個原函數(shù)f (t)dt 為奇函數(shù).故為偶為奇為奇為偶.選 B.0（5）下列反常積分發(fā)散的是（ ）ex（A） 0 x edx（B） 0 x dx2 x2（C） 0（D） 0(【】C1【】02dx1若 p 1時，收斂， p 1時，發(fā)散.px(ln x)0dx12發(fā)散，從而選 C.故x ln x0（6）設 z (x2 y2 )，其中 有連續(xù)導數(shù)，則

5、 z 滿足（）（A） x z y z 0（B） x z y z 0 xyxy（C） y z x z（D） y z x z 0 0 xy】Cxy【】令u x2 y2 ， z (u) ，【z u 2x(u) ， z u 2 y(u) ，故 y z x z 0 .xu x 1yu yxy1100（7）設 A 10 ，則 A合同于（ ） 02 100 10 100 10 010110（A） 00 .（B） 00 . （C） 01 . （D） 10 .110 01 01 011 02 】C【】A 與 B 合同 A 與B 正（負）特征值個數(shù)相同.A 0 ，A 必有一特征值為 0，排除（A）（B）. 11

6、01 1 000 2E A ( 2)( 2) 1 0 ， 2 2 ， 3 2 11 01 1 0 110 00 2令 B 110 ，則E B ( 2) 2, 02，123 02 0排除（D），應選（C）.31 1111a 2 x1 （8）已知方程組 2a 3 x 4 ，那么a 3,b 1是此方程組有無2 x b 11 3 窮多解的（ ）（A）充分但非必要條件.（C）必要但非充分條件.【】A（B）充分必要條件.（D）既不充分也不必要.11101 11 11【】 2b+1a 3a110 11a 1a 13 a12 0 0b+1+23 aa= 1a=3方程組有無窮多解，因此 a 3,b , 或1是此

7、方程組有無窮多解的充當b= 1b= 9分但非必要條件，故選A二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分。把填在題中橫線上。x4x cos ( )（9） 2 dx sin3 x.x1 cot x C42x【】28sin ( )2x211】xsin3x2C【2)2d14 x )28sin2 (222（10） xdxdy D，其中 D 由 x 0 ， x 2 ， y 2 ，及 y x2 2x 所圍.】4 2】由形心坐標公式：【4xdxdy X S 4 DD21 n 2 n 3 n 2013) n（11） lim(.2013n】 2013 2013!【1 n a n b) ab 可知原式=

8、2013! .n32013【】由lim(3n（12）微分方程 y y tan x cos x 的通解為 y .【】(x C) cos x【】直接代入公式計算.y eln cos x (cos xeln cos xdx C) cos x(x C)x 3at1 t33at 2（13） .為蔓葉線的參數(shù)方程，其漸近線方程為 y 1 t3【】 y x a3at 2【】由 y 知，僅當t 1 時有 y ，但當t 1 時， x ，故無垂直1 t3漸近線.因 x 等價于t 1.lim y lim t 1， lim y (x) a ，僅有一條漸近線 y x a .t 1 xt 1t1（14）設 A是 3 階矩

9、陣，1,2 ,3 ，是 3 維線性無關列向量且滿足 A1 1 22 3 ，A(1 2) 21 2 3, A(1 2 3) 1 2 23 ，則| A | .【】-4 121 ) , 21 】 A( , , ,11【112123123 125 111 121 A , 01 , 21 ,1011123123 01 121121211A 1 = 42三、解答題：1523 小題，共 94 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分 10 分）2ex 1 2x2求lim.4tan xx0【】當 x 0 時，1 ( 1 1)1(14 o(x4 )1 1 x2 1 x4 o(x4 ) ，

10、ex2 (1 2x2 )2 x4 o(x4 ) ， tan2ex42故原極限=1（16）（本題滿分 10 分）b設 f (x) 在a, b 上連續(xù)， f (x) 在(a, b) 內(nèi)二階可導， f (a) f (b) 0 ，f (x)dx 0 ，求證：在(a, b) 內(nèi)至少存在一點 ，使 f ( ) f ( ) ，a在(a, b) 內(nèi)至少存在一點 ( ) ，使 f () f () .【】設G(x) ex f (x)b由積分中值定理可知，存在c (a, b) ，使0 f (x)dx f (c)(b a) ， f (c) 0 .aG(x) 在a, b 上連續(xù)，在(a, b) 內(nèi)可導，且G(a) G(

11、b) G(c) 0 .由羅爾定理可知存在1 (a, c) ， 2 (c,b) ，使得G(1) G(2 ) 0 .設 F(x) ex f (x) f (x)由 G(1) G(2 ) 0 f (2 )F(2 ) 0由羅爾定理可知存在 (1,2 ) (a,b) ，使得 F () 0 ，即 f () f () .（17）（本題滿分 10 分）6 y x2 dxdy ，x 表示取整函數(shù).（： 4 (4 4 3 3 2) ）32x y40 y x2 1時 y x2 0 ；當1 y x2 2 時 y x2 1；當2 y x2 3【】當時 y x2 2 ；當3 y x2 4 時 y x2 3 .拋物線 y x

12、2 3 ， y x2 2 ， y x2 1，及 y x2 與 y 4 在第一象限內(nèi)的交點為A(1, 4) ， B(3, 4) 及 D(2, 4) ，與oy 軸對稱的位置還有四個交點，于是2, 4) ， C(2x2 234x2 y4dxdy 20dxx2 1dy dxdy y x2x 1224x2 dxdy 2dx 2 3 dy 3 (4 4 3 3 2)dxdy 2 2（18）（本題滿分 10 分）y=f x, x 0 二階可導， y x0, y 0=1 ，過曲線上任意一點 P x, y 作切線，過該點作垂直于 X 軸的直線 X =x ，與 X 軸圍成的區(qū)域記為 S1 ，曲線與 X 軸 Y 軸

13、及 X =x 圍成的區(qū)域記為 S2 ，且滿足2S1 S2 =1，求曲線 y=f x 的表達式。y y】切線方程Y y=y X x ，令Y =0 ，得到 X =x 【1 y y22 yxy t dtS x x y ， S =122y0y2xy t dt 1 ，兩邊求導代入2S1 S2 =1，得到y(tǒng)02 y y2 y2 y y2 y x 0 ，整理得： yy y2 0 y =0 y =C ln y=C x+C y 112yy 0=1,y0=1 代入，得到C1=1,C2 =0把所以 y=ex , x 0（19）（本題滿分 10 分）7容器側(cè)面由 x=f y, y 0 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)得到， f x 在

14、0,+ 連續(xù)，容器底面過 x 軸的水平截面為R=1 的圓（即（f 0）=1），當勻速地向容器注水時，若液面高度 h 的升高速度與2V +成反比，求 f（y）。dVdt=k1 ， k1 為常數(shù)。【】因為是勻速向容器注水，所以可以設又液面高度 h 的升高速度與 2V + 成反比，設 dh =k2， k 為常數(shù)，dt2V +2hf 2 y dy其中V =0dh所以=dtk2dVdh= f 2 h，hf 2 y dy+k220dh = dh dVk1 f 2 h=hdtdV dtf 2 y dy+20f 2 h = k1f 2 y dy+1h2k02把 f（0）=1 代入上式 k1 =1 fh =2f

15、y dy+1h 22k20兩邊對 h 求導2 f h f h=2 f 2 h f h =eh（20）（本題滿分 11 分）1 n+1 n+ e 1+ n 1+求使不等式對所有的自然數(shù) n 都成立的最大的數(shù) 和最小的數(shù)n1 1 ln 1+ 1 n+ ln 1+】已知不等式等價于 n+【n n 1 n ln 1+ 1 n 10,1f令11 1+x2 則 fx2 =x8 x2,x 0,1,g 0=0 2x, g0=0令 g且 g2 ln 1+xg 2x故 g x 在0,1上遞減， g x g0=0g x 在0,1上遞減， g x0即1+f x 0,0 x 1x2 0，從而f x 在0,1 上也是嚴格

16、單調(diào)遞減令 x= 1 ，則f x nmax = lim 1 =111x ln 2max = lim 1 = 11x 21ln2 1，最小的數(shù) 為 1 。2故最大的數(shù) 為（21）（本題滿分 11 分）證明 f x=xe2x 2x cos x 在,+ 有且僅有兩個實根，且一正一負?！咀C明】存在性：1e2f 0 = 10, f 1=2 cos10由零點定理可知，存在 x1 1, 0, x2 0,1, f x1 f x2 0唯一性：f x=2x+1e2x 2+sin x ，當 x 1時， f x 0 ，所以此時 f（x）單調(diào)遞減當 xf 10 ，所以在, 1 內(nèi) f（x）=0 沒有實根f x=4 x+

17、1e2x + cos x ，當 x 1時， f x0 ，所以 f（x）=0 在1,+ 上最多存在兩個實根9綜上所述，有且僅有兩個實根，且一正一負。（22）（本題滿分 11 分） 121a3設 A 0且秩r( A) 2 ，求方程組 Ax 0 的通解。2 14 a 1 1 121a321a+232103【】 A 0 0 0222 14 a 07 a 03 3a 因為秩r( A) 2 ，所以3 3a=0 a=1 13 211A 02 ，秩r( A*) 1， 13 = 12 =1, A = 23 = 3, A= 23 =1A112131131312故 Ax 0 的同解方程是 3 1x =03通解為：

18、k 1 +k0 ,k ,k為任意常數(shù)1 2 12 0 1 （23）（本題滿分 11 分） 1 111 11111 11 1 設 A ，求 11 1 1（）A 的特征值，特征向量；（）正交陣Q ，使QT A1AQ=111111+1111+11【】（） E A +110111+1111111+11111+1= 2= 2+23=0 1 =2, 2 =3 =4 = 21T，得 = 1 1由 2E A x=011由2E A x=0 ，得2 =10T , =130T , =143T10121 1故屬于 2 的特征向量為k11(k1 0) ，屬于-2 的特征向量為k22 k33 k44 （ k2, k3,

19、k4 不全為零） i（）化，i令Q (1,2,3,4)，則 1121201616260121 2 1 2121Q= 1 212 130 212 22QT A =1AQ=22 2013（數(shù)二）時間：180 分鐘一、選擇題：18 小題，每小題 4 分，共 32 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)。11 arctan x（1）曲線 y (x 1)e 2漸近線的條數(shù)為（ ）（A）1（B）2（C）3（D）4【】B】由漸近線定義知，曲線沒有水平漸近線.由于函數(shù)是連續(xù)的，不存在無窮間斷點，即不存在垂直漸近線.由lim y 存在知存在斜漸近線，斜漸近線有 2

20、條.x x1 cos xx 0 x 0（2）設函數(shù) f (x) 處處連續(xù)，則 f (0) （x2a）112112（D） （A）0（B）不存在（C）【】Dx2x41 (1)12 】 f【f (0) x2 f (x) f (0) f (0)x 2!f (0) 1112 f (0) 所以2!4!（3）設函數(shù) y y(x) 是微分方程 y (x 1) y x2 y ex 的解，滿足 y(0) 0 ，y(0) 1，y(0) 2 ，則lim y(x) x 為（ ）x2x0（A）0（B）1（C）2（D）3【】B】lim y(x) x lim y(x) 1 lim y(x) 1【x20f (x, y) 1 4

21、 ，則（4）設 f (x, y) 在(0, 0) 處連續(xù)，且lim）2 2ex y1x0 y0（A） f (x, y) 在(0, 0) 處不可偏導（B） f (x, y) 在(0, 0) 處可偏導但不可微12（C） fx(0, 0) f y(0, 0) 4 且 f (x, y) 在(0, 0) 處可微（D） fx(0, 0) f y(0, 0) 0 且 f (x, y) 在(0, 0) 處可微【】Df (x, y) 1 4 f (0, 0) 1【】lim2 2ex y1x0 y0f (x, y) 1 lim f (x, y) f (0, 0) 4limx2 y22 2ex y 1x0 y0 x

22、0 y0f (x, y) f (0, 0) 4 z 0 x 0 y o( x2 y2 )x2 y2a cos0df ( cos , sin )d ，其中a 0 ，則 D 是（5）已知f (x, y)dxdy D2）2（A） x2 y2 a2（B） x2 y2 ax（C） x2 y2 axy（D） x2 y2 ay【】B】 2 a cos x2 y2 ax【（6）設函數(shù) y x2 與直線 x 0 ， x 1 ， y t(0 t 1) 所圍圖形的面積結論為（）（A）當t 1 時，面積最大4（B）當t 1 時，面積最小4（C）當t 1 時，面積最大2（D）當t 1 時，面積最小2【】Bt1A ydy

23、 (1y )dy【】面積0tA 2 t 1 0 t 141A ( ) 2 0 4因此，當t 1 時，面積最小.413 12300 （7）已知 A, B 滿足關系式 A2 2 AB E ，若 B 0a ， 05 則秩r( AB 2BA 3A) （ ）（A）1 .（B） 2 .（C） 3 .（D）與a 的取值有關.【】B】 A A 2B E= A 2B A AB=BA ，【r( AB 2BA 3A) r(BA 2BA 3A)=r B 3E A =r B 3E 2 00 203E B= 0a 02 故選 B.（8）設 n 維向量1, 2, 3滿足1 22 33 0，對于任意 n 維向量 ，向量組1

24、a,2 b,3 線性相關，則參數(shù)應滿足條件（ ）（A） a b . （B） a b . （C） a 2b . （D） a 2b .【】C】方法一： (1 a ) 2(2 b ) 33 (a 2b) 0 a 2b ，選 C.【方法二：選1 (1, 0, 0) ， (0,1, 0) ，根據(jù)已知可以求出 ，代入向量組TT231 a,2 b,3 ，該向量組線性相關，行列式等于零，找到 a 與 b 的關系.二、填空題：914 小題，每小題 4 分，共 24 分。把填在題中橫線上。x xx（9） lim.x1 1 x ln x【】21)2 o(x 1) 2【】ln2x 1)21x 1)2(141)2 li

25、m 211)22)( x 2013)（10）設 f (，駐點個數(shù)為.【】2012x 2013)【】 f x 2013) 2) (x 2013)令 g(f (x) 駐點個數(shù)即滿足 g(x) 0 的 x 的個數(shù)滿足 g(x) 0 的 x 的個數(shù)為 2013，則滿足 g(x) 0 的 x 的個數(shù)為 2012.22x1xdydx（11）.(1 tan y )204【】22x221xdydy1x2 ydyy2dx dx 【】(1 tan y )2(1 tan y )2(1 tan y )200002dy2du u y22 (1 tan y(1 tan u)42)00 xzy（12）已知函數(shù) z ( )

26、y ，則x.x (1,2)2】(ln 2 1) 2【x)22xx2】 z (l nz l n【2x1 z 1 ln 2 x x ( 2 ) 1 ln 2 1z x22x2zx21212 ( )2 ( ln ) (ln 2 1)x22（13）設ex cos x 和 x 為某n 階常系數(shù)線性方程的兩個特解，階數(shù)n 盡可能低時的微分15.方程為【】 y(4) 2y(3) 2y 0】由特解ex cos x 知，微分方程有兩個特征根1 i【由特解 x 知，微分方程由特征根 0，且 0 是二重特征根.特征方程為 (1 i) (1 i)2 0因此，微分方程為 y(4) 2y(3) 2y 0（14）設 A,

27、B 是 n 階矩陣，且 B 可逆，并滿足 A2 BA A 2B 0 ， A B 可逆，則( A B)1 .1】( A E)B】【A2 BA A 2B 0 ( A B)( A E) B ( A B)( A E)B1 E ( A B)1 ( A E)B1三、解答題：1523 小題，共 94 分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。（15）（本題滿分 10 分）求極限 limx+ t2 1 t+ 2 e 1+tt6lim 】 limx+ 【t3 t t 0+t2 t 2t311 t+1+t+o t 1+t +o t3662 23!2= lim t 0+t3t33! 3+o t16= limt 0

28、+=3t（16）（本題滿分 10 分）設 f（x）在l,l 上連續(xù)，在 0 點處可導，且 f 0 0 x x f t dt=x f x f xx 0,l ， 0,1 ，使得f t dt+證明0016求 lim x0+x x f t dt ，則 F 0 =0【證明】設 F x =f t dt+00日中值定理， 0,1 ，滿足 F x x F x F 0根據(jù)又 F x f x f x xx f t dt=x f x f x f t dt+所以00 xx f t dt=x f x f x 兩邊同時除以2x2 ，并求極限【】對f t dt+00 x x f t dt+f t dt f f x x li

29、m00= lim2 x2x2+x0 x0左邊= lim f x f x = 1f 04x2x0+f 0 lim 右邊x0左邊=右邊，所以 lim = 1x02（17）（本題滿分 10 分） x+y ln 1+ y x dxdy ，其中 D 由 x 軸，y 軸和直線 x+y=1 圍城。計算 D1 x y x+yln 1+ y x x+yln x+y1 x y x+yln x 1 x y dxdy=DDdxdy dxdy=I I【】121 x yD1x x+yln x+y1 u2 ln u1 u ln uu ln u111udx=01 uI =dxdy x+y=udxdu =dudu1 u11 x

30、 y1 u000 x001x x+yln x1 u2 ln u 11 u ln xu ln x111udu =dudx=01 uI =dxdy x+y=udxdu21 x y1 u1 u000 x00 sin4 t4 216u21I I =22sin t cos tdt=2sin tdt=2 5du u= sin t=2 212531 151 ucos t000（18）（本題滿分 10 分）172 z2 z設函數(shù) f u 具有二階連續(xù)導數(shù)， z=f ex sin y 滿足方程+= z+1e2 x，若x2y2f 0 = 0,f 0= ，求 f u 的表達式。ze sin y ex cos y】=

31、f【xy2 ze sin y esin y,2 x2x2 =f2 ze sin yecos y,y2 = f2 x2f u f u=1 （ u ex sin y ）方程為 f u f u=0代入原方程，此方程對應的 uu方程的通解為： f u =C e +C e12 u其方程特解為 f * u = 1 ，故原方程通解為 f u =C e +C e1u12= 12f 0=0, f 0=0 ，代入 f u =C e +C e1，得到C =Cuu因121211從而 f u 的表達式為 =f ue +e1uu22（19）（本題滿分 10 分）21x t et dt 1+e1 ，證明 F x =0 在區(qū)

32、間,+ 上有且僅有兩個實根。 1F x =設21【證明】1x1222x t edt=x t edt +t x edtttt11xxx112222=xedt tedt+tedt xedttttt11xx1e 1x1t2t2x2=xedt xedt +e1x1x222=xedt xedu+etuxe1x11exx=xedt+e=2xedt+et2x2t2x2ex018所以 F x =2xedt+e1+e=2xedt +e1113 xxt2 x2t2 x21e222e00F 0 = 1 0 ，所以當 x0 時，至少有一個實根22e22e x 2t又 Fx =2edt0 ，所以當 x0 時 F x =

33、0 有且僅有一個實根0又 F x =F x 是偶函數(shù)，所以 F x =0 在區(qū)間,+ 上有且僅有兩個實根。（20）（本題滿分 11 分）x1設由 y= lim和 y=x 圍城的平面圖形 D 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積 V。2e2axa 1+xxx【】當 x0 時， y= lim=a 1+x2 eax1+x2x當 x0 時， y= lim=0a 1+x2 eaxxx 0 x0,即 y=x21+0,1 2 2x2112故V 11111= xd21+ 121 2 2111= xd21+ = 4 +=81283（21）（本題滿分 11 分）求u=xyz 在約束條件 x2 +y2 +z2 =1與 x+y+z=0 下的最大值與最小值。【】做拉氏函數(shù)F x, y, z, xyz x2 y2 z2 1 u x y z 19F yz 2 x u=0 xF xz 2 y u=0yF xy 2 z u=0zx2 y2 z2 =1x y z=0 y x z 2 =0-，-，- z x y 2 =0 z y x 2 =0由 y=x 或 z=21）當 y=x 時， z x 此時有 x=y=2 代入 z= 4 ，代入得 = 1，于是可能的2 6