1、.1 PAGE 0基于matlab的功率譜分析方法研究 作 者 姓 名 專 業(yè) 指導(dǎo)教師 專業(yè)技術(shù)職務(wù) 目 錄TOC o 1-3 h u HYPERLINK l _Toc12730 摘 要 PAGEREF _Toc12730 1 HYPERLINK l _Toc23441 第一章 緒論 PAGEREF _Toc23441 3 HYPERLINK l _Toc14102 第二章 譜估計(jì)中的變量 PAGEREF _Toc14102 6 HYPERLINK l _Toc3999 2.1隨機(jī)信號(hào)簡(jiǎn)介 PAGEREF _Toc3999 6 HYPERLINK l _Toc8747 2.1.1 隨機(jī)變量

2、PAGEREF _Toc8747 6 HYPERLINK l _Toc15811 2.1.2隨機(jī)信號(hào)的特征 PAGEREF _Toc15811 7 HYPERLINK l _Toc14898 2.2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào) PAGEREF _Toc14898 8 HYPERLINK l _Toc15472 2.2.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的定義 PAGEREF _Toc15472 8 HYPERLINK l _Toc24456 2.2.2 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) PAGEREF _Toc24456 9 HYPERLINK l _Toc1909 2.2.3 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜 PAGEREF _Toc1909 9

3、 HYPERLINK l _Toc28674 2.3估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) PAGEREF _Toc28674 10 HYPERLINK l _Toc6543 第三章 經(jīng)典功率譜估計(jì) PAGEREF _Toc6543 12 HYPERLINK l _Toc9910 3.1譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) PAGEREF _Toc9910 12 HYPERLINK l _Toc1928 3.1.1 相關(guān)函數(shù)和功率譜 PAGEREF _Toc1928 12 HYPERLINK l _Toc6958 3.1.2 相關(guān)函數(shù)的估計(jì) PAGEREF _Toc6958 13 HYPERLINK l _Toc4380 3.2 周

4、期圖法 PAGEREF _Toc4380 15 HYPERLINK l _Toc25381 3.2.1周期圖法的定義 PAGEREF _Toc25381 15 HYPERLINK l _Toc15936 3.2.2 周期圖的性能 PAGEREF _Toc15936 15 HYPERLINK l _Toc13118 3.2.3 周期圖法改進(jìn)措施 PAGEREF _Toc13118 16 HYPERLINK l _Toc4998 3.3自相關(guān)法 PAGEREF _Toc4998 17 HYPERLINK l _Toc32338 3.4 直接法和間接法的關(guān)系 PAGEREF _Toc32338 17

5、 HYPERLINK l _Toc32431 3.5譜估計(jì)仿真與比較 PAGEREF _Toc32431 17 HYPERLINK l _Toc20551 3.6 本章小結(jié) PAGEREF _Toc20551 23 HYPERLINK l _Toc25764 第四章 現(xiàn)代譜估計(jì) PAGEREF _Toc25764 24 HYPERLINK l _Toc18577 4.1平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的參數(shù)模型 PAGEREF _Toc18577 24 HYPERLINK l _Toc17521 4.2 AR模型的正則方程與參數(shù)計(jì)算 PAGEREF _Toc17521 25 HYPERLINK l _Toc311

6、78 4.2.1 正則方程的求導(dǎo) PAGEREF _Toc31178 25 HYPERLINK l _Toc16129 4.2.2 AR模型參數(shù)求解的典型算法 PAGEREF _Toc16129 26 HYPERLINK l _Toc24329 4.3 AR模型譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)及性質(zhì) PAGEREF _Toc24329 27 HYPERLINK l _Toc4506 4.3.1 譜估計(jì)的步驟 PAGEREF _Toc4506 27 HYPERLINK l _Toc23769 4.3.2 AR模型譜估計(jì)的性質(zhì) PAGEREF _Toc23769 28 HYPERLINK l _Toc16759 4.

7、3.3 AR 模型階次p的選擇 PAGEREF _Toc16759 28 HYPERLINK l _Toc13056 4.3.4 AR模型譜估計(jì)仿真 PAGEREF _Toc13056 29 HYPERLINK l _Toc26861 4.4 MA模型譜估計(jì) PAGEREF _Toc26861 30 HYPERLINK l _Toc11643 4.5 ARMA模型譜估計(jì) PAGEREF _Toc11643 31 HYPERLINK l _Toc23295 4.6 小結(jié) PAGEREF _Toc23295 32 HYPERLINK l _Toc5721 第五章 論文總結(jié) PAGEREF _Toc

8、5721 32 HYPERLINK l _Toc14415 參考文獻(xiàn) PAGEREF _Toc14415 34 HYPERLINK l _Toc14162 致 PAGEREF _Toc14162 35.1摘 要數(shù)字信號(hào)處理(DSP)重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一，是建立在周期信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)根底上的功率譜估計(jì)。在實(shí)際應(yīng)用中往往不能獲得具體信號(hào)的表達(dá)式,需要根據(jù)有限的數(shù)據(jù)樣本來(lái)獲得較好的譜估計(jì)效果，因而譜估計(jì)被廣泛的應(yīng)用于各種信號(hào)處理中。 本論文研究了功率譜估計(jì)的幾種常用的方法，包括經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的各種方法，且對(duì)每種方法的估計(jì)質(zhì)量做了數(shù)學(xué)推導(dǎo)，并給出仿真程序及仿真圖。經(jīng)典法主要包括周期圖法、自相關(guān)法，

9、但這兩種方法都存在缺陷，即認(rèn)為觀測(cè)數(shù)據(jù)之外的數(shù)據(jù)都為零，所以對(duì)經(jīng)典法中的周期圖法進(jìn)展了加窗、平均等修正，因此提出了周期圖法的改進(jìn)方法；現(xiàn)代譜估計(jì)的方法分類比較多，AR模型法,MA模型法和ARMA模型法是現(xiàn)代功率譜估計(jì)中最主要的參數(shù)模型，本論文著重討論了AR模型參數(shù)法。同時(shí)論文將通過(guò)對(duì)經(jīng)典譜估計(jì)和現(xiàn)代譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)方法及仿真圖的比較，得出經(jīng)典功率譜估計(jì)方法的方差性較差，分辨率較低，而現(xiàn)代譜估計(jì)的目標(biāo)正是在于努力改善譜估計(jì)的分辨率，因此能得到較好的譜估計(jì)效果，為此應(yīng)用更為廣泛。關(guān)鍵字：數(shù)字信號(hào)處理；功率譜估計(jì)；周期圖法；自相關(guān)法；AR模型法。ABSTRACTPerhaps one of the mo

10、re important application areas of digital signal processing(DSP) is builting on thePower Spectral Estimation of periodic and random signals. Actually, wecant get the e*pression of a specific signal, so we need to estimate the power spectral of a signal according to some sample data sequences.so spec

11、trum estimation which is widely used in various signal processing.In this thesis, some mon methods of Power Spectral Estimation, such as classical spectral estimation and modern spectral estimation,are studied. The quality of each estimation method isderived, simulation program and simulation figure

12、 is given. Classical methods of Power Spectral Estimation mainly include the Periodogram and the BT method. But both of them have a mon drawback: the data sequences, beyond the area of the observed sequences, are all presumed to zero. So the Windows and the average method are introduced to improve t

13、he quality of the Periodogram.Therefore the improvement of The Periodogram estimation method is proposed. The classification of modern spectral estimation methods are more ,AR，MA,andARMAis the most important parametersof modern spectral estimation.This thesis will focus on discussion of AR model par

14、ameters method. At the same time ,It can be seen from the parison and realization of classical spectral estimation and modern spectral estimation,classical power spectrum estimation variance is poor, low resolution .The goal of modern spectral estimation is woking to improve the resolution of spectr

15、al estimation, better results of the estimation of the power spectrum can be obtained, so it is applied more widely. Keywords: digital signal processing;Power Spectrum Estimation;The Periodogram；the BT methods；AR model.第一章 緒論1.功率譜估計(jì)的開(kāi)展 功率譜估計(jì)技術(shù)淵源流長(zhǎng)，在過(guò)去的幾十年獲得了飛速的開(kāi)展。功率譜估計(jì)涉及信號(hào)與系統(tǒng)、隨機(jī)信號(hào)分析、概率統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過(guò)程、矩陣代數(shù)等一

16、系列的根底科學(xué)，廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、聲納、通信、地址勘探、天文、生物醫(yī)學(xué)工程等眾多領(lǐng)域，其容、方法不斷更新，是一個(gè)具有強(qiáng)大生命力的研究領(lǐng)域。 功率譜估計(jì)(PSD)是用有限長(zhǎng)的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)信號(hào)的功率譜, 它對(duì)于認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)或其它應(yīng)用方面來(lái)講都是極其重要的, 是數(shù)字信號(hào)處理的重要研究容之一，在軍事、生物醫(yī)學(xué)、通信等領(lǐng)域得到了較為廣泛的應(yīng)用3?！白V最早是由英國(guó)科學(xué)家牛頓提出來(lái)的，后來(lái)法國(guó)工程師傅里葉提出了著名的傅里葉諧波分析理論，該理論至今仍然是我們進(jìn)展信號(hào)分析和處理的理論根底。傅里葉級(jí)數(shù)首先在觀察自然界中的周期現(xiàn)象得到應(yīng)用，但傅里葉的計(jì)算比較復(fù)雜，促使人們研制相應(yīng)的機(jī)器來(lái)計(jì)算傅里葉級(jí)數(shù)。在19世紀(jì)末

17、，Schuster提出傅里葉系數(shù)的平方，并命名為周期圖，這是經(jīng)典譜估計(jì)的最早提出法，至今仍被人們沿用。后來(lái)，鑒于周期圖的起伏劇烈，提出了平均周期圖的概念，并提出了在對(duì)有限長(zhǎng)數(shù)據(jù)計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)所存在的邊瓣問(wèn)題，這就是后來(lái)我們所熟悉的窗函數(shù)的影響。周期圖較差的方差性能促使人們研究另外的分析方法。Yule在1927年提出了用線性回歸方程來(lái)模擬一個(gè)時(shí)間序列，從而發(fā)現(xiàn)隱含在該時(shí)間序列中的周期,從而發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代譜估計(jì)中最重要的方法參數(shù)模型法。Walker利用Yule的分析方法研究了衰減正弦時(shí)間序列，并得出了在對(duì)最小二乘分析中經(jīng)常應(yīng)用的Yule-Walker方程。Yule的工作使人們重新想起了早在1795年

18、Prony提出的指數(shù)擬合法，從而Prony方法形成了現(xiàn)代譜估計(jì)的又一重要容。之后又陸續(xù)提出了Wiener-khintchine定理、譜估計(jì)自相關(guān)法BT法等。所有這些都為現(xiàn)代譜估計(jì)的開(kāi)展打下了良好的根底1。2.功率譜估計(jì)的方法 功率譜估計(jì)可以分為經(jīng)典譜估計(jì)(非參數(shù)估計(jì)) 和現(xiàn)代譜估計(jì)(參數(shù)估計(jì))。經(jīng)典譜估計(jì)的方法主要方法有自相關(guān)估計(jì)法和周期圖法以及對(duì)周期圖的改進(jìn)方法; 現(xiàn)代譜估計(jì)的容極其豐富，涉及的學(xué)科及應(yīng)用領(lǐng)域也相當(dāng)廣泛，方法大致可分為參數(shù)模型譜估計(jì)和非參數(shù)模型譜估計(jì)，前者有AR 模型法(最大熵譜分析法)、MA模型，ARMA模型、Prony 指數(shù)模型等；后者有最小方差法，多分量的MUSIC方法

19、等。其中周期圖法和AR 模型法是用得較多且最具代表性的方法。從信號(hào)的來(lái)源分，又可分為一維譜估計(jì)、二維譜估計(jì)及多維譜估計(jì)。從使用的統(tǒng)計(jì)量來(lái)分，目前大局部工作是建立在二階矩根底上的，但由于功率譜密度是頻率的實(shí)函數(shù)，缺少相位信息，因此，建立在高階矩根底上的譜估計(jì)方引起人們的注意。從信號(hào)的特征來(lái)分，在這之前所說(shuō)的方法都是對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)而言，其譜分量不隨時(shí)間變化，對(duì)非平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，其譜是時(shí)變的，近20年來(lái)，以wigner分析為代表的時(shí)域分析引起了人們的廣泛興趣，形成了現(xiàn)代譜估計(jì)的一個(gè)新的研究領(lǐng)域1。3.功率譜估計(jì)的提出 在通信系統(tǒng)中，往往需要研究具有統(tǒng)計(jì)特性的隨機(jī)信號(hào)。由于隨機(jī)信號(hào)是一持續(xù)時(shí)間無(wú)限長(zhǎng)，具

20、有無(wú)限大能量的功率信號(hào)，它不滿足傅里葉變換條件，而且也不存在解析表達(dá)式，因此就不能夠應(yīng)用確定信號(hào)的頻譜計(jì)算方法去分析隨機(jī)信號(hào)的頻譜。然而，雖然隨機(jī)信號(hào)的頻譜不存在，但其相關(guān)函數(shù)是可以確定的。如果隨機(jī)信號(hào)是平穩(wěn)的，則其相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換就是它的功率譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱功率譜。功率譜反響了單位頻帶隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)樣本信號(hào)來(lái)對(duì)該隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度函數(shù)做出估計(jì)。4.經(jīng)典譜估計(jì) 直接法：又稱周期圖法，它是把隨機(jī)序列*(n)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算*(n)的離散傅立葉變換，得*(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列*(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。周期圖這一概念早在1989年就提出了，

21、但由于點(diǎn)數(shù)N一般比較大，該方法的計(jì)算量過(guò)大在當(dāng)時(shí)無(wú)法使用，在1965年FFT出現(xiàn)后，此法才變成譜估計(jì)的一個(gè)常用方法。周期圖法包含了以下二條假設(shè)：認(rèn)為隨機(jī)序列是廣義平穩(wěn)且各態(tài)遍歷的，可以用其一個(gè)樣本*(n)中的一段來(lái)估計(jì)該隨機(jī)序列的功率譜,這當(dāng)然必帶來(lái)誤差。由于對(duì)有限序列采用DFT，就默認(rèn)此有限序列時(shí)域是周期的，以及該有限序列在頻域是周期的。這種方法把隨機(jī)序列樣本*(n)看成是截得一段的有限序列的周期延拓，這也就是周期圖法這個(gè)名字的來(lái)歷。 間接法：也叫相關(guān)法。間接法先由序列*(n)估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)R(n)，然后對(duì)R(n)進(jìn)展傅立葉變換，便得到*(n)的功率譜估計(jì)。 周期圖法與相關(guān)法相比，相關(guān)法在

22、求相關(guān)函數(shù)時(shí)將有限長(zhǎng)序列以外的數(shù)據(jù)看做是零，因此相關(guān)法認(rèn)為除有限長(zhǎng)序列外*(n)是全零序列，這種處理方法顯然和周期法不一樣。但是，當(dāng)相關(guān)法被引入基于FFT的快速變換后，相關(guān)法和周期圖法開(kāi)場(chǎng)融合。 改進(jìn)的周期圖法：對(duì)于直接法的功率譜估計(jì)，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N太大時(shí)，譜曲線起伏加劇，假設(shè)N太小，譜的分辨率又不好，因此需要改進(jìn)。其又有以下幾種方法：1. Bartlett法 Bartlett平均周期圖的方法是將N點(diǎn)的有限長(zhǎng)序列*(n)分段求周期圖再平均。2. Welch法 Welch法對(duì)Bartlett法進(jìn)展了兩方面的修正，一是選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)w(n)，并再周期圖計(jì)算前直接加進(jìn)去，加窗的優(yōu)點(diǎn)一是無(wú)論什么樣的窗

23、函數(shù)均可使譜估計(jì)非負(fù)。二是在分段時(shí)，可使各段之間有重疊，這樣會(huì)使方差減小。不同窗函數(shù)的welch譜估計(jì)在選擇窗函數(shù)時(shí)，一般有如下要求：窗口寬度M要遠(yuǎn)小于樣本序列長(zhǎng)度N，以排除不可靠的自相關(guān)值；當(dāng)平穩(wěn)信號(hào)為實(shí)過(guò)程時(shí)，為保證平滑周期圖和真實(shí)功率譜也是實(shí)偶函數(shù)，平滑窗函必須是實(shí)偶對(duì)稱的；平滑窗函數(shù)應(yīng)當(dāng)在m=0是峰值，并且m隨絕對(duì)值增加而單調(diào)下降，使可靠的自相關(guān)值有較大的權(quán)值；功率譜是頻率的非負(fù)函數(shù)且周期圖是非負(fù)的，因而要求窗函數(shù)的fourier變換是非負(fù)的。 在經(jīng)典譜估計(jì)中，無(wú)論是周期圖法還是其改進(jìn)方法，都存在著頻率分辨率低、方差性能不好的問(wèn)題，原因是譜估計(jì)時(shí)需要對(duì)數(shù)據(jù)加窗截?cái)?，用有限個(gè)數(shù)據(jù)或其自相

24、關(guān)函數(shù)來(lái)估計(jì)無(wú)限個(gè)數(shù)據(jù)的功率譜，這其實(shí)是假設(shè)了窗以外的數(shù)據(jù)或自相關(guān)函數(shù)全為零，這種假設(shè)是不符合實(shí)際的，正是由于這些不符合實(shí)際的假設(shè)造成了經(jīng)典譜估計(jì)分辨率較差。另外，經(jīng)典譜估計(jì)的功率譜定義中既無(wú)求均值運(yùn)算又無(wú)求極限運(yùn)算，因而使得譜估計(jì)的方差性能較差，當(dāng)數(shù)據(jù)很短時(shí)，這個(gè)問(wèn)題更為突出，如何選取最正確窗函數(shù)、提高頻率分辨率，如何在數(shù)據(jù)情況下提高信號(hào)譜估計(jì)質(zhì)量，還需要進(jìn)一步研究。5.現(xiàn)代譜估計(jì) 現(xiàn)代譜估計(jì)與經(jīng)典譜估計(jì)的主要區(qū)別就在于，現(xiàn)代譜估計(jì)一般采用信號(hào)模型法，信號(hào)模型法將原始信號(hào)視為白噪聲通過(guò)一系統(tǒng)的輸出信號(hào)，通過(guò)對(duì)輸出信號(hào)的觀測(cè)，按照一定的準(zhǔn)則，求出相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)，這樣再由輸入白噪聲和以求得的系統(tǒng)

25、函數(shù)就很容易得到輸出信號(hào)的功率譜。由白噪聲和系統(tǒng)函數(shù)求得的輸出序列，實(shí)際上是對(duì)原始觀測(cè)到的輸出信號(hào)的兩端進(jìn)展了估計(jì)或延拓。數(shù)據(jù)長(zhǎng)度加寬以后，頻譜分辨率會(huì)得到改善！因此現(xiàn)代譜估計(jì)優(yōu)于經(jīng)典譜估計(jì)。6.功率譜估計(jì)應(yīng)用及用途功率譜估計(jì)有著極其廣泛的應(yīng)用，不僅在認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)信號(hào)時(shí)，需要估計(jì)它的功率譜。它還被廣泛的應(yīng)用于各種信號(hào)處理中。在信號(hào)處理的許多場(chǎng)所，要求預(yù)先知道信號(hào)的功率譜密度。例如，在最正確線性過(guò)濾問(wèn)題中，要設(shè)計(jì)一個(gè)維納濾波器就首先要求知道信號(hào)與噪聲的功率譜密度，根據(jù)信號(hào)與噪聲的功率譜才能設(shè)計(jì)出能夠盡量不失真的重現(xiàn)信號(hào)，而把噪聲最大限度抑制的維納濾波器常常利用功率譜估計(jì)來(lái)得到線性系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì)。

26、例如，當(dāng)我們要了解*一系統(tǒng)的幅頻特性H(w)時(shí)，可用一白色噪聲通過(guò)該系統(tǒng)，再?gòu)脑撓到y(tǒng)的輸出樣本估計(jì)功率譜密度，故通過(guò)估計(jì)輸出信號(hào)的psd，可以估計(jì)出系統(tǒng)的頻率特性。從寬帶噪聲中檢測(cè)窄帶信號(hào)。這是功率譜估計(jì)在信號(hào)處理中的一個(gè)重要用途。但是這要求功率譜估計(jì)有足夠好的頻率的分辨率，否則就不一定能夠清楚地檢測(cè)出來(lái)。所謂譜估計(jì)的分辨率可以粗略的定義為能夠分辨出的二個(gè)分立的譜分量間的最小頻率間隙，提高譜估計(jì)的分辨率已成為目前譜估計(jì)研究中的一個(gè)重要方向1。 功率譜估計(jì)就是通過(guò)信號(hào)的相關(guān)性估計(jì)出承受到信號(hào)的功率隨頻率的變化關(guān)系，實(shí)際用途有濾波、信號(hào)識(shí)別、信號(hào)別離、系統(tǒng)辨識(shí)等。譜估計(jì)技術(shù)是現(xiàn)代信號(hào)處理的一個(gè)重要

27、局部，還包括空間譜估計(jì)、高階譜估計(jì)等。第二章 譜估計(jì)中的變量2.1隨機(jī)信號(hào)簡(jiǎn)介 隨機(jī)變量 隨機(jī)變量random variable表示隨機(jī)現(xiàn)象在一定條件下，并不總是出現(xiàn)一樣結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象各種結(jié)果的變量一切可能的樣本點(diǎn)。例如*一時(shí)間公共汽車站等車乘客人數(shù)，交換臺(tái)在一定時(shí)間收到的呼叫次數(shù)等等，都是隨機(jī)變量的實(shí)例。 隨機(jī)變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種不同的值，具有不確定性和隨機(jī)性，但這些取值落在*個(gè)圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量可以是離散型的，也可以是連續(xù)型的。如分析測(cè)試中的測(cè)定值就是一個(gè)以概率取值的隨機(jī)變量，被測(cè)定量的取值可能在*一圍隨機(jī)變化，具體取什么值

28、在測(cè)定之前是無(wú)法確定的，但測(cè)定的結(jié)果是確定的，屢次重復(fù)測(cè)定所得到的測(cè)定值具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)變量與模糊變量的不確定性的本質(zhì)差異在于，后者的測(cè)定結(jié)果仍具有不確定性，即模糊性。 按照隨機(jī)變量可能取得的值，可以把它們分為兩種根本類型：離散型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間變量取值為有限個(gè)，或數(shù)值可以一一列舉出來(lái)。例如*地區(qū)*年人口的出生數(shù)、死亡數(shù)，*藥治療*病病人的有效數(shù)、無(wú)效數(shù)等。連續(xù)型隨機(jī)變量，即在一定區(qū)間變量取值有無(wú)限個(gè),或數(shù)值無(wú)法一一列舉出來(lái)。例如*地區(qū)男性安康成人的身長(zhǎng)值、體重值，一批傳染性肝炎患者的血清轉(zhuǎn)氨酶測(cè)定值等。1.隨機(jī)變量的分布函數(shù) 設(shè)*是隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)*，事件*的概率P*稱為隨機(jī)變

29、量*的分布函數(shù)。記為F(*)，即F(*)P *，易知，對(duì)任意實(shí)數(shù)a, b (ab), P a*bP* bP*a F(b)F(a). 分布函數(shù)的性質(zhì)1、單調(diào)不減性：假設(shè)*1*2, 則F(*1)F(*2);2、歸一性：對(duì)任意實(shí)數(shù)*，0F(*)1，且 .左連續(xù)性：對(duì)任意實(shí)數(shù)*，數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差定義： ,為*的數(shù)學(xué)期望值，或簡(jiǎn)稱為均值。； 以上分別稱為*的標(biāo)準(zhǔn)差和方差。假設(shè)*為離散型隨機(jī)變量，則上述的求均值運(yùn)算將有積分改為求和。例如，式中的是*取值為時(shí)的概率。隨機(jī)向量 在*些實(shí)際問(wèn)題中，往往需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述試驗(yàn)的結(jié)果。 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間是=e，設(shè)*=*(e)

30、和Y=Y(e)是定義在上的隨機(jī)變量， 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(*, Y)叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。注: 二維隨機(jī)向量 (*, Y)的性質(zhì)不僅與*和Y有關(guān),而且還依賴于這兩個(gè)隨機(jī)變量的相互關(guān)系。4.概率密度函數(shù) 概率密度函數(shù)是為了表示瞬時(shí)數(shù)據(jù)落在指定幅值圍的概率。其定義為：。瞬時(shí)值*(t)小于或等于*值*的概率定義為概率分布函數(shù)或累計(jì)概率分布函數(shù)5.相關(guān)函數(shù) 表征了一個(gè)隨機(jī)過(guò)程自身在不同時(shí)刻的狀態(tài)間，或者兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程在*個(gè)時(shí)刻狀態(tài)間線性依從關(guān)系的數(shù)字特征。 相關(guān)函數(shù)是兩隨機(jī)變量之積的數(shù)學(xué)期望，稱為相關(guān)性。統(tǒng)計(jì)學(xué)中用相關(guān)系數(shù)*y來(lái)描述變量*，y之間的相關(guān)性，函數(shù)的相關(guān)系數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)：隨機(jī)信

31、號(hào)的特征 隨機(jī)信號(hào)具有不重復(fù)性、不確定性，通常用概率與統(tǒng)計(jì)方法研究其中是否存在*些重復(fù)、確定的成分。 隨機(jī)過(guò)程在*一時(shí)刻t1的均值一階矩可將總體中各樣本函數(shù)在t1的瞬時(shí)值相加，然后除以樣本函數(shù)的個(gè)數(shù)而得到 自相關(guān)函數(shù)即為隨機(jī)過(guò)程兩不同時(shí)刻之值的相關(guān)性，又稱二階矩。用t1和t1+兩時(shí)刻瞬時(shí)值乘積的總體平均值得到自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：(1) 自相關(guān)函數(shù)是 的偶函數(shù) R*()= R*(-)； (2) 當(dāng)=0 時(shí)，自相關(guān)函數(shù)具有最大值， R*(0)=；(3) 周期信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)仍然是同頻率的周期信號(hào)，但不保存原信號(hào)的相位信息。(4) 當(dāng)隨機(jī)信號(hào)中含有周期信號(hào)時(shí)，R*()中也必定有周期性分量，且周期一樣。

32、 (5) 對(duì)變化迅速的信號(hào)寬帶隨機(jī)過(guò)程，相關(guān)的程度在很小時(shí)就完全喪失 。2.2平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的定義 平穩(wěn)信號(hào)分嚴(yán)平穩(wěn)和寬平穩(wěn)，嚴(yán)平穩(wěn)的條件在信號(hào)處理中太嚴(yán)格，不實(shí)用，一般所說(shuō)的平穩(wěn)是指寬平穩(wěn)，滿足三個(gè)條件：均值為與時(shí)間無(wú)關(guān)的常數(shù)； 均方有界； 自相關(guān)函數(shù)與信號(hào)時(shí)間的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)，只和時(shí)間差有關(guān)寬平穩(wěn)信號(hào)的方差和均方也是與時(shí)間無(wú)關(guān)的。 1.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義: 如果對(duì)于任意和以及有則稱為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱狹義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。2.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征：1,平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望與時(shí)間無(wú)關(guān)；2，平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的方差與時(shí)間無(wú)關(guān)；3其中：；4。 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與無(wú)關(guān)，它的自相關(guān)函數(shù)

33、和協(xié)方差函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)；隨機(jī)過(guò)程的這種“平穩(wěn)數(shù)字特征，有時(shí)就直接用來(lái)判斷隨機(jī)過(guò)程是否平穩(wěn)。即假設(shè)一個(gè)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無(wú)關(guān)，而其相關(guān)函數(shù)僅與有關(guān)，即我們就稱這個(gè)隨機(jī)過(guò)程是廣義平穩(wěn)的。3.寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程廣義平穩(wěn): 假設(shè)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，且自相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)，則稱為寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或稱廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。不難看出，嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程一定是寬平穩(wěn)過(guò)程，反之不一定。但對(duì)于正態(tài)隨機(jī)過(guò)程兩者是等價(jià)的。本論文假設(shè)不加特別說(shuō)明，平穩(wěn)過(guò)程均指寬平穩(wěn)過(guò)程。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù) 實(shí)隨機(jī)信號(hào)*(t)的自相關(guān)函數(shù)定義： ，由于平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性與時(shí)間的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，設(shè)t2=t1+, 則有f2(*1, *2

34、; t1, t2)=f2(*1, *2;)。所以，平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間間隔的函數(shù)，記為R*()。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)：設(shè)*(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為R*()，自協(xié)方差函數(shù)C*()，則它們有如下性質(zhì)： 1 =0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)等于均方差，自協(xié)方差函數(shù)等于方差， 即 2當(dāng)平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)是實(shí)函數(shù)時(shí)，其相關(guān)函數(shù)是偶函數(shù)，即：3=0時(shí)的自相關(guān)函數(shù)、自協(xié)方差函數(shù)取最大值，即 假設(shè)*(t)=*(t+T)，則其自相關(guān)函數(shù)也是周期為T的周期函數(shù)，即 假設(shè)均值m*=0，當(dāng)時(shí)，*(t)與*(t+)相互獨(dú)立，有 ，即對(duì)于零均值的平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，當(dāng)時(shí)間間隔很大時(shí)，*(t)與*(t+)相互獨(dú)立，互

35、不相關(guān)。 平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的功率譜功率譜密度定義： 設(shè) * (t),t 0, mn，分母無(wú)實(shí)根。3.隨機(jī)序列的功率譜 隨機(jī)序列*(n)，它的相關(guān)函數(shù)滿足其功率譜密度 具有如下式子：。2.3估計(jì)質(zhì)量的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)1. 無(wú)偏性 對(duì)于待估參數(shù)，不同的樣本值就會(huì)得到不同的估計(jì)值，這樣，要確定一個(gè)估計(jì)量的好壞，就不能僅僅依據(jù)*次抽樣的結(jié)果來(lái)衡量，而必須由大量抽樣的結(jié)果來(lái)衡量對(duì)此，一個(gè)自然而根本的衡量標(biāo)準(zhǔn)是要求估計(jì)量無(wú)系統(tǒng)偏差。也就是說(shuō)，盡管在一次抽樣中得到的估計(jì)值不一定恰好等于待估參數(shù)的真值，但在大量重復(fù)抽樣時(shí)，所得到的估計(jì)值平均起來(lái)應(yīng)與待估參數(shù)的真值一樣換句話說(shuō)，我們希望估計(jì)量的均值數(shù)學(xué)期望應(yīng)等于未知參數(shù)的真

36、值，這就是所謂無(wú)偏性(Unbiasedness)的要求。 定義:設(shè)來(lái)自總體*的一個(gè)樣本，是總體參數(shù) 的一個(gè)估計(jì)量，假設(shè) ,則稱是 的無(wú)偏估計(jì)量(Unbiased Estimator)。一個(gè)估計(jì)量如果不是無(wú)偏的就稱它是有偏估計(jì)量。稱為估計(jì)量的偏差。無(wú)偏估計(jì)的實(shí)際意義就是無(wú)系統(tǒng)偏差，估計(jì)量是否無(wú)偏是評(píng)價(jià)估計(jì)量好壞的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè) ，但有，則稱是的漸近無(wú)偏估計(jì)。 2.有效性 比較兩個(gè)無(wú)偏估計(jì)量?jī)?yōu)劣的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)就是觀察它們哪一個(gè)取值更集中于待估參數(shù)的真值附近，即哪一個(gè)估計(jì)量的方差更小，這就是下面給出的有效性(Effectiveness)概念。 定義: 設(shè)與都是總體參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)，假設(shè) ,則稱比

37、更有效。在的所有無(wú)偏估計(jì)量中，如果存在一個(gè)估計(jì)量，它的方差最小，則此估計(jì)量應(yīng)當(dāng)最好，并稱此估計(jì)量為 的最小方差無(wú)偏估計(jì)，也稱其為最有效的 3.相合性 估計(jì)量的無(wú)偏性和有效性都是在樣本容量n固定的情況下討論的。由于估計(jì)量和樣本容量n有關(guān)，我們自然希望當(dāng)n很大時(shí)，一次抽樣得出的的值能以很大的概率充分接近被估參數(shù)，這就提出了相合性(Consistency)一致性的要求。定義： 設(shè) 是總體參數(shù)的估計(jì)量，如果對(duì)任意都有, 則稱是的相合估計(jì)量或一致估計(jì)量。是的相合估計(jì)就意味著依概率收斂于.根據(jù)大數(shù)定律，無(wú)論總體*服從什么分布，只要其k階原點(diǎn)矩 存在，則對(duì)任意 都有所以樣本的k階原點(diǎn)矩始終是總體k階原點(diǎn)矩的

38、相合估計(jì)。 進(jìn)一步地, 可以證明：只要相應(yīng)的總體矩存在，矩估計(jì)必定是相合估計(jì)。特別地， 總是 的相合估計(jì), 樣本方差 和樣本的二階中心矩都是總體方差 的相合估計(jì)S和s又都是的相合估計(jì)。由相合性定義可以看出，假設(shè)是的相合估計(jì)，當(dāng)樣本容量很大時(shí)，一次抽樣得到的值便可作為的較好近似值。第三章 經(jīng)典功率譜估計(jì) 經(jīng)典譜估計(jì)方法是以傅里葉變換為根底的方法，主要有兩類：周期圖法和自相關(guān)法布萊克曼圖基法，簡(jiǎn)稱BT法。這兩類方法都與相關(guān)函數(shù)有著密切的聯(lián)系，由維納辛欽定理可知，功率譜和相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系是一對(duì)傅里葉變換，因而可以從觀測(cè)數(shù)據(jù)直接估計(jì)相關(guān)函數(shù)，根據(jù)估計(jì)出來(lái)的相關(guān)函數(shù)，求它的傅立葉變換，就可以得到功率譜

39、的估計(jì)值。3.1譜估計(jì)與相關(guān)函數(shù) 相關(guān)函數(shù)和功率譜 假設(shè) 常數(shù)，即，則稱為廣義平穩(wěn)序列。 假設(shè)和均為廣義平穩(wěn)序列，且即：，則稱和為廣義聯(lián)合平穩(wěn)序列。廣義平穩(wěn)隨機(jī)序列的相關(guān)函數(shù)和它的功率譜密度之間是傅立葉變換對(duì)的關(guān)系，即這一關(guān)系式常稱為維納辛欽定理。 由自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度的定義，不難得出它們的一些根本性質(zhì)，主要有：1、當(dāng)為復(fù)序列時(shí)，；假設(shè)為實(shí)序列，則相關(guān)函數(shù)為偶函數(shù)，即。2、相關(guān)函數(shù)的極大值出現(xiàn)在處，即。3、假設(shè)含有周期性分量，則也含有同一周期的周期性分量，否則，當(dāng)時(shí)，。4、當(dāng)為實(shí)序列時(shí)，為非負(fù)實(shí)對(duì)稱函數(shù)，即和。5、平穩(wěn)隨機(jī)序列的自相關(guān)函數(shù)是實(shí)的且為正，而且對(duì)任一序列和任一，自相關(guān)函數(shù)ACF

40、滿足：，這個(gè)函數(shù)稱為半正定的。 自相關(guān)函數(shù)ACF和互相關(guān)函數(shù)CCF的z變換定義為：；， 假設(shè)令為歸一化頻率，頻率區(qū)間為根本周期。則上述兩式功率譜密度又可分別表示為：其中，是實(shí)的，且非負(fù)。 當(dāng)一平穩(wěn)隨機(jī)序列通過(guò)一個(gè)脈沖響應(yīng)為的線性非時(shí)變系統(tǒng)時(shí)，其輸出序列也是一平穩(wěn)隨機(jī)序列。它的自相關(guān)函數(shù)為： 假設(shè)為實(shí)系統(tǒng)，則。令，得到相應(yīng)的功率譜表達(dá)：或，上述關(guān)系對(duì)以后討論譜估計(jì)問(wèn)題是很有用的。為輸出過(guò)程的平均功率。 我們經(jīng)常會(huì)遇到的一種過(guò)程是離散白噪聲，它的自相關(guān)函數(shù)ACF定義為： ，其中是離散沖激函數(shù)。這就是說(shuō)，各樣本之間彼此是不相關(guān)的。所以 ， 這說(shuō)明它在各頻率上是完全平坦的。換句話說(shuō)，白噪聲的所有頻率分

41、量均具有一樣的功率。 相關(guān)函數(shù)的估計(jì)1、 自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性 一般說(shuō)來(lái)，嚴(yán)格各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程允許我們用時(shí)間平均來(lái)代替系綜平均集合平均或統(tǒng)計(jì)平均，用時(shí)間平均作為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程均值的估計(jì)。; 2.相關(guān)函數(shù)的估計(jì) 我們實(shí)際所能得到的隨機(jī)序列的樣本數(shù)總是有限的，由有限個(gè)樣本通過(guò)*種運(yùn)算求出的序列的均值和自相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)特征值叫做它們的估計(jì)值。下面討論隨機(jī)序列有限個(gè)樣本的相關(guān)函數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。 設(shè)為實(shí)隨機(jī)序列的一批樣本，共有N個(gè)值。有時(shí)簡(jiǎn)稱之為長(zhǎng)度為N的隨機(jī)序列。方法一：根據(jù)假定的自相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性，可用下式估計(jì)它的自相關(guān)函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，因此是相關(guān)函數(shù)的無(wú)偏估計(jì)且是漸近一致的，即當(dāng)為有限值時(shí)，是

42、的一致估計(jì)。方法二：有限長(zhǎng)度序列的相關(guān)函數(shù)的另一種估計(jì)方法可表示為 3-1可見(jiàn)，它是相關(guān)函數(shù)的有偏估計(jì)。但是，當(dāng)，估計(jì)值是漸近無(wú)偏的。當(dāng)時(shí)，即3-1式的也是的一致估計(jì)。3-1式所定義的相關(guān)函數(shù)取傅立葉變換求功率譜估計(jì)時(shí)，在計(jì)算上有*些方便之處，以后的討論中，如不作特別申明，將采用這種有偏估計(jì)表示式求相關(guān)函數(shù)的估計(jì)式。 功率譜密度的另一個(gè)定義: 可以證明，功率譜密度PSD的一個(gè)近似等效的定義是 3-2上式定義的PSD與維納一辛欽定理 3-3是等效的。 由3-2式和由3-3式維納一辛欽定理給出的PSD的等效定義將作為經(jīng)典譜估計(jì)方法的根底。3.2 周期圖法周期圖法的定義 周期圖法，它是把隨機(jī)序列*(

43、n)的N個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)視為一能量有限的序列，直接計(jì)算*(n)的離散傅立葉變換，得*(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作為序列*(n)真實(shí)功率譜的估計(jì)。 周期圖譜估計(jì)定義為： 可以證明，周期圖等于估計(jì)出的自相關(guān)序列的傅里葉變換，或其中是有偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)值，定義為: 周期圖的性能 周期圖的期望值是: 3-4 式中是Bartlett窗三角形窗的傅里葉變換。 由式3-4可知周期圖的均值是真實(shí)PSD和Bartlett窗傅里葉變換的卷積，在平均意義上得到真實(shí)功率譜密度PSD的平滑形式。因此對(duì)有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖一般有偏的，但是當(dāng)時(shí)，它是無(wú)偏的。這是由于收斂到狄拉克函數(shù)。 對(duì)于高斯白噪聲的特殊情況，結(jié)

44、果為: 對(duì)于白噪聲情況，即使有限記錄數(shù)據(jù)，周期圖也是無(wú)偏的。對(duì)于白高斯過(guò)程，方差 對(duì)任何非白過(guò)程，只要記錄數(shù)據(jù)足夠長(zhǎng),對(duì)于不靠近0或的頻率，且時(shí)，上式近似地退化為： 3-5 可以看出，方差與數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N無(wú)關(guān)，即方差不隨N的增大而減小至零。由此可得出一個(gè)重要的看法：周期圖估計(jì)器是不可靠的，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差和均值一樣大，因而周期圖不是一致估計(jì)而其均值近似地等于要估計(jì)的量值。 上述論證說(shuō)明，我們不能寄希望于直接用周期圖方法獲得良好的譜估計(jì)，必須采用適當(dāng)?shù)男拚胧p小估計(jì)方差，才能使之成為一種實(shí)用的方法。 周期圖法改進(jìn)措施1、 加窗周期圖 周期圖法只用了N個(gè)樣本，這可以看作是用一長(zhǎng)度為N的矩形窗函數(shù)與原來(lái)無(wú)限

45、長(zhǎng)的序列相乘的結(jié)果，我們知道，時(shí)域中兩函數(shù)相乘對(duì)應(yīng)于頻域中它們的傅立葉變換的卷積。由此可以想到，當(dāng)用周期圖方法作譜估計(jì)時(shí)，它的譜分辨率約與N成反比，且和信號(hào)本身的特征，例如信噪比等無(wú)關(guān)。此外，如果序列是由多個(gè)正弦波信號(hào)組成的，而各分量強(qiáng)度不等，則弱信號(hào)分量可能淹沒(méi)在強(qiáng)信號(hào)譜的旁瓣中而無(wú)法發(fā)現(xiàn)。這種所謂信號(hào)能量向旁瓣泄漏現(xiàn)象如果不設(shè)法消除，也將阻礙周期圖譜估計(jì)法的應(yīng)用。因此提出了周期圖的改進(jìn)方法： 周期圖改進(jìn)的方法之一是將長(zhǎng)度為N的序列乘以同一長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)窗。數(shù)據(jù)加窗后的周期圖譜估計(jì)值的數(shù)學(xué)期望值等于譜的真實(shí)值與窗譜函數(shù)的平方的卷積。顯然它不等于功率譜的真實(shí)值，因而是有偏估計(jì)。 假設(shè)序列為單頻信號(hào)

46、，則為函數(shù)，這樣，數(shù)據(jù)加窗后的譜估計(jì)值的均值與窗譜函數(shù)的平方形狀一樣，因此選用低旁瓣的數(shù)據(jù)窗可使得雜散響應(yīng)減少。但旁瓣的降低必然使主瓣加寬，而且降低了分辨率。 數(shù)據(jù)加窗后，周期圖譜估計(jì)值的方差大于或近似等于譜估計(jì)值的平方，且不隨數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的增大而減小到0。 從以上的分析可知，數(shù)據(jù)加窗用于周期圖譜估計(jì)可以降低譜估計(jì)值的旁瓣，但要降低譜估計(jì)的分辯率，而用數(shù)據(jù)加窗的方法不能減小估計(jì)方差，因而無(wú)法降低分辨率。平均周期圖平均周期圖的思想：對(duì)一個(gè)隨機(jī)變量進(jìn)展觀測(cè)，得到L組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，用每一組數(shù)據(jù)求其均值，然后將L個(gè)均值加起來(lái)求平均。這樣得到的均值，其方差將是用一組數(shù)據(jù)得到的均值的方差的1/L。 為了改進(jìn)周

47、期圖的統(tǒng)計(jì)特性，可以近似地用對(duì)一組周期圖進(jìn)展平均的方法完成期望運(yùn)算。假定在區(qū)間上有組獨(dú)立記錄數(shù)據(jù)，并且都是同一隨機(jī)過(guò)程的現(xiàn)實(shí)。平均周期圖估計(jì)器定義為： 其中是第個(gè)數(shù)據(jù)組的周期圖。 因?yàn)?，所以方差將減少K倍。又因?yàn)?，所以譜估計(jì)器具有樣本的分辨率。 顯然，為了獲得最大分辨率，L將盡可能選得大一些或就選，此時(shí)，平均周期圖就成為標(biāo)準(zhǔn)周期圖估計(jì)。但有時(shí)為了減小方差，應(yīng)該把選得大一些，或等效地把L取得小一些。因?yàn)檫@兩個(gè)目的不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)，所以必須調(diào)整L在方差和偏差之間進(jìn)展折衷。3.3自相關(guān)法 自相關(guān)法是先估計(jì)自相關(guān)函數(shù)，再進(jìn)展傅里葉變換得到功率譜。下面介紹自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。 利用觀測(cè)到的實(shí)隨機(jī)序列，估計(jì)

48、自相關(guān)函數(shù)的兩種方法是：無(wú)偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)和有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)。BT法功率譜估計(jì)采用有偏自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法。自相關(guān)法的理論根底是維納-辛欽定理，即先由估計(jì)出自相關(guān)函數(shù)，然后對(duì)求傅里葉變換得到的功率譜，因?yàn)橛蛇@種方法求出的功率譜是通過(guò)自相關(guān)函數(shù)間接得到的，所以稱為間接法。3.4 直接法和間接法的關(guān)系由以下式子可以得出： m=k-n，則k=n+m，得 可見(jiàn)周期圖法就是BT法中M=N-1時(shí)的功率譜估計(jì)。3.5譜估計(jì)仿真與比較1.周期圖法以下是利用matlab對(duì)周期圖法進(jìn)展仿真，并得到仿真圖3-1。程序如下：clear;Fs=1000;%采樣頻率n=0:1/Fs:1;%產(chǎn)生含有噪聲的序列*n=cos(2

49、*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;window=bo*car(length(n);%加矩形窗P*,f=periodgram(*n,window,nfft,Fs);%直接法 plot(f,10*log10(P*); 圖3-1 周期圖法仿真圖2.平均周期圖以下是利用matlab對(duì)平均周期圖法進(jìn)展仿真，并得到仿真圖3-3。程序如下：clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;*n=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;window=bo*car(le

50、ngth(n); %加矩形窗noverlap=0; %數(shù)據(jù)無(wú)重疊 p=0.9; %置信概率P*,P*c=psd(*n,nfft,Fs,window,noverlap,p);inde*=0:round(nfft/2-1);k=inde*Fs/nfft;plot_P*=10*log10(P*(inde*+1);plot_P*c=10*log10(P*c(inde*+1);figure(1) plot(k,plot_P*); pause; figure(2)plot(k,plot_P* plot_P*-plot_P*c plot_P*+plot_P*c);圖3-2 周期圖法仿真圖 圖3-3平均周期圖

51、法仿真圖3.加窗周期圖以下是利用matlab對(duì)加窗周期圖法進(jìn)展仿真，并得到仿真圖。程序如下：clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;*n=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;window=bo*car(100);%矩形窗 window1=hamming(100);%漢明窗window2=blackman(100); %blackman窗noverlap=20; %數(shù)據(jù)無(wú)重疊range=half; %頻率間隔為0 Fs/2，只計(jì)算一半的頻率P*,f=pwelch(*n,window,noverlap,nfft

52、,Fs,range);P*1,f=pwelch(*n,window1,noverlap,nfft,Fs,range);P*2,f=pwelch(*n,window2,noverlap,nfft,Fs,range);plot_P*=10*log10(P*);plot_P*1=10*log10(P*1);plot_P*2=10*log10(P*2);figure(1)plot(f,plot_P*);pause;figure(2)plot(f,plot_P*1);pause;figure(3)plot(f,plot_P*2); 圖3-4 加矩形窗仿真圖 圖3-5 加漢明窗仿真圖 圖3-6 加blac

53、kman窗仿真圖 從圖中可以看出，采用周期圖法估計(jì)得到的功率譜很不平滑，相應(yīng)的估計(jì)協(xié)方差比較大，而且采用增加采樣點(diǎn)的方法也不能使周期圖變得更加平滑，這是周期圖法的缺點(diǎn)。周期圖法得出的估計(jì)譜方差特性不好：當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N太大時(shí)，譜線的起伏加劇;N太小時(shí)，譜的分辨率又不好。對(duì)其改進(jìn)的主要方法有兩種，即平均和平滑，平均就是將截取的數(shù)據(jù)段再分成L個(gè)小段，分別計(jì)算功率譜取功率譜的平均，這種方法使估計(jì)的方差減少，但偏差加大，分辨率下降。平滑是用一個(gè)適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)與算出的功率譜進(jìn)展卷積，使譜線平滑，這種方法得出的譜線是無(wú)偏的，方差也小，但分辨率下降。4.自相關(guān)法以下是利用matlab對(duì)自相關(guān)法進(jìn)展仿真，并得到仿真

54、圖。程序如下：clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;*n=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;c*n=*corr(*n,unbiased);%計(jì)算序列的自相關(guān)函數(shù)C*k=fft(c*n,nfft)%對(duì)自相關(guān)函數(shù)進(jìn)展傅里葉變換;P*=abs(C*k);%求絕對(duì)值；inde*=0:round(nfft/2-1);k=inde*Fs/nfft;plot_P*=10*log10(P*(inde*+1);plot(k,plot_P*); 圖3-7 自相關(guān)法仿真圖 當(dāng)M=N-1時(shí)，自相關(guān)法與周期圖法估計(jì)出的功率譜是一

55、樣的：當(dāng)M，而在另外的區(qū)域，。因?yàn)?，整個(gè)積分值為1，所以又可得到譜匹配的局部性質(zhì)，也就是說(shuō)是的包絡(luò)的一個(gè)好的近似。4 .AR譜的統(tǒng)計(jì)性質(zhì) 嚴(yán)格的分析AR譜的方法比較困難，目前尚未有一個(gè)解析表達(dá)式。粗略的講，AR譜的方差反比于數(shù)據(jù) 的長(zhǎng)度N和信噪比SNR。4.3.3 AR 模型階次p的選擇1.FPE準(zhǔn)則最終預(yù)測(cè)誤差準(zhǔn)則隨著m的增加，使到達(dá)最小值時(shí)的。2. AIC準(zhǔn)則信息論準(zhǔn)則 前者表征將隨著m的增加而單調(diào)下降，后者表示計(jì)算誤差將隨著m的增加而增長(zhǎng)。 4.3.4 AR模型譜估計(jì)仿真以下是用matlab對(duì)AR模型法進(jìn)展仿真，并得到仿真圖。clear;Fs=1000;n=0:1/Fs:1;*n=cos

56、(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n);nfft=1024;Subplot(411);plot(n,*n);title(仿真信號(hào)*(n);p*1,f1=pyulear(*n,30,nfft,Fs);subplot(412);plot(f1,p*1);title(自相關(guān)法功率譜估計(jì));p*2,f2=pburg(*n,30,nfft,Fs);subplot(413);plot(f2,p*2);title(burg算法功率譜估計(jì));p*3,f3=pmcov(*n,30,nfft,Fs);subplot(414);Plot(f3,p*3);title(改

57、進(jìn)協(xié)方差算法功率譜估計(jì)) 圖4-1 AR模型譜估計(jì)仿真圖 由仿真結(jié)果可知：對(duì)兩個(gè)頻率相差不大的信號(hào)進(jìn)展功率譜估計(jì)時(shí)，自相關(guān)法不容易看出其頻率成分，而B(niǎo)urg算法和改進(jìn)的協(xié)方差算法提高了參數(shù)估計(jì)的精度和頻率分辨率。 功率譜估計(jì)的實(shí)現(xiàn)有許多方法，也有很多具體的算法可以參閱，MATLAB提供的算法函數(shù)為學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)譜估計(jì)提供了方便高效的途徑。參數(shù)模型譜估計(jì)方法是現(xiàn)代譜估計(jì)的重要容，AR模型譜估計(jì)隱含著數(shù)據(jù)和自相關(guān)函數(shù)的外推，其長(zhǎng)度可能超過(guò)給定的長(zhǎng)度，分辨率不受信源信號(hào)長(zhǎng)度的限制，這是經(jīng)典譜估計(jì)無(wú)法做到的。在AR模型BT算法中由于前后都加窗，使得自相關(guān)法的分辨率降低，數(shù)據(jù)越短分辨率越差。仿真結(jié)果直觀說(shuō)明了

58、BT算法、Burg算法和改進(jìn)協(xié)方差算法各自的優(yōu)缺點(diǎn)，能為實(shí)際工作中做出合理的選擇提供依據(jù)。 4.4 MA模型譜估計(jì)給出MA(q)模型的三個(gè)方程 4-14 4-15 4-16 由4-1得 4-17 將上式兩邊同乘以，并求均值，得式中。 因?yàn)?對(duì)MA(q)模型，由式(2) 式得 ; 所以，可以求出MA(q)模型的正則方程，即有 MA(q)的功率譜為 等效于經(jīng)典譜估計(jì)中的自相關(guān)法，即MA譜估計(jì)等效為信號(hào)長(zhǎng)度為q+1的自相關(guān)法譜估計(jì)。 4.5 ARMA模型譜估計(jì)ARMA(p,q)模型的差分方程式中。類似地，可導(dǎo)出其正則方程如下：式中是系數(shù)和的函數(shù)，前q+1個(gè)方程是高度非線性的。從第q+1個(gè)方程開(kāi)場(chǎng)是線性的，可以解出AR局部的系數(shù)，將上式中的第二個(gè)方程寫成如下展開(kāi)形式：上式雖然可解出AR局部的系數(shù)，但存在以下兩個(gè)問(wèn)題：由于式中的真實(shí)自相關(guān)函數(shù)