1、三角恒等變形及應用.課標要求：.經歷用向量的數量積推導出兩角差的余弦公式的過程，進一步體會向量方法的作 用；.能從兩角差的余弦公式導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內在聯(lián)系；.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括引導導出積化和差、和差化積、半角 公式，但不要求記憶)。.命題走向從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現的機會較多， 有時候也以填空題的形式出現，它們經常與三角函數的性質、解三角形及向量聯(lián)合考察， 主要題型有三角函數求值，通過三角式的變換研究三角函數的性質。本講內容是高考復習的重點之一，三角函數的化簡、求值及三角恒等

2、式的證明是三 角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運用的同時，還注重考察思 維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運算及觀察能力、運算推理能力和綜合分析能力。 三.要點精講.兩角和與差的三角函數sin(a P) =sin 汽 cos P cosu sin P ；cos(、二 I ,) = cos: cos : - sin : sin :; TOC o 1-5 h z tan 二 tan : tan(a P) =a 。+ tan : tan -.二倍角公式sin 2：cos 2：tan 2 ;=2sin ct cos a ；22= cos a -sin a =2cos 口 1 =1

3、2sin a ；2tan ;21 - tan -3.三角函數式的化簡常用方法：直接應用公式進行降次、消項；切割化弦，異名化同名，異角化同 角；三角公式的逆用等。(2)化簡要求：能求出值的應求出值；使三角函數種數 盡量少；使項數盡量少；盡量使分母不含三角函數；盡量使被開方數不含三角函 數。(1)降哥公式21 -cos2：21 cos2：sin 口 cosa = sin 2a ； sin a =； cos a =。22(2)輔助角公式asin x+bcosx = Ja2+b2 sin (x+平),其中sin 丁 =.a2b2 a2 b2.三角函數的求值類型有三類(1)給角求值：一般所給出的角都是非

4、特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關系， 利用三角變換消去非特殊角，轉化為求特殊角的三角函數值問題；(2)給值求值：給出某些角的三角函數式的值，求另外一些角的三角函數值，解題的關鍵在于“變角”，如& =(口 +P )-P,2 =(u +P )+(o( P )等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時要注意角的范圍的討論；(3)給值求角：實質上轉化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數值結合所 求角的范圍及函數的單調性求得角。.三角等式的證明(1)三角恒等式的證題思路是根據等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過

5、觀察，發(fā)現已知條件和待證等式間的關系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。四.典例解析題型1:兩角和與差的三角函數例 1.已知 sin a +sin P =1,cosa +cosP =0,求 co s(a + P)的值。a + B分析：因為(a + 0)既可看成是支與P的和，也可以 看作是的倍角，因而可2得到下面的兩種解法。解法一：由已知 sin a +sin P =1,cos 工 +cos : =02+ 2得 2+2cos ( a B) = 1 ；cos ( a _ P)= 22 2得 cos2a +cos2 + +2cos ( a + P)= 1,即 2cos (汽 + P ) cos(

6、a P) +1= 1。cos( + P )= T?！?r0( + P 0( P解法二：由得2sin cos =122ot + B a _ B由得 2coscos=022ot + P -一得cot-=0,21 - tan21 tan2,2 ：cot2,2 ：cot2-1點評：此題是給出單角的三角函數方程，求復角的余弦值，易犯錯誤是利用方程組解sin a、cos a、 sin P、 cosP，但未知數有四個，顯然前景并不樂觀，其錯誤的原因在于沒有注意到所求式與已知式的關系本題關鍵在于化和為積促轉化，“整體對應”巧應用。例 2 , 已知 t a, n P是方箱x2n x+ =的兩個或根根6的2sin

7、2 (a +B )3sin(a + 0 )cos(a + 0 )+cos2 (a +，?勺值。分析：由韋達定理可得到tana + tanP及tana tanP的值，進而可以求出tan( + P)的值，再將所求值的三角函數式用tan。+ P )表示便可知其值。解法一：由韋達定理得 tana+tan B =5, tana tan B = 6 ,tan - tan ：5所以 tan 二=1 -tan 二 tan :1 -6國 2sin21：工 一；) 3sin i 一 口)cosi - Fecos2 :2 一 F ：i原式-2:2:sin工 一 Pcos 工-P)2tan21y. I)3tan ;t

8、an2 戶-F11 2 1-3-11=3解法二：由韋達定理得 tan： tan : = 5,tan: tan ： =6,tan 二 tan ：5所以 tan I -=二1 -tan 二 tan : TOC o 1-5 h z 一一， -3于是有 a + P =kir +-n (k = Z ),一八.2 A33 3 . f3 )2 3 ) , 31八原式=2sin kn+n Isin 2kn+-n +cos kn 十一冗 |=1 十一十一=3。I4J 2 I2 )I4 J 22點評：（1）本例解法二比解法一要簡捷，好的解法來源于熟練地掌握知識的系統(tǒng)結構，從而尋找解答本題的知識“最近發(fā)展區(qū)”。（2

9、）運用兩角和與差角三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數 關系，三角函數名等抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用， 而且抓住了公式的結構特征，有利于在解題時觀察分析題設和結論等三角函數式中所具有的相似性的結構特征，聯(lián)想到相應的公式，從而找到解題的切入點。（3）對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如cos（口 + C JcosP +sin（ + P Sin P =cosa,tan：工 一 I； !1 -tan： tan : = tan工 tan :,tan:工一I； itan : tan ： = tan ：- tan- -

10、tan :,tan +tan B +tan（a + P ）tan tan B = tan（ + B ）題型2:二倍角公式例3.化簡下列各式：（1） J1 -1 I - +1cos2ct let 3 ii ,2n S,2 2、2 2 I I 2）2 . 2 .c cos 1 一sin -一公一V2 cot 十口 icos 一一口 |4 J U J分析：（1）若注意到化簡式是開平方根和2 a是口的二倍，c（是巴的二倍 以及其范2 TOC o 1-5 h z JIJIJ圍不難找到解題的突破口；（2）由于分子是一個平方差， 分母中的角 一+0（+口=一,442若注意到這兩大特征，不難得到解題的切入點。

11、一 一 ,3n一11 , 1,解析：（1）因為 a 2幾，所以一十cos2a = cos =cosa , 212 2又因卜上”所以4一3四a=sin 一2a= sin,2CL所以，原式=sin 。2(2)原式=cos2:cos 2：sinc , M 122 tan - -a icos4Jcos 2：cos 2：JT 1-CL I4=1。)cos 2a-2a I21712sin - -a cos - -a I點評：(1)在二倍角公式中，兩個角的倍數關系，不僅限于2a是ot的二倍，要熟悉多種形式的兩個角的倍數關系，同時還要注意Ji2a三個角的內在聯(lián)系的作用,71JTcos2a=sin 2 ! =

12、2sin 土a cos 土a |是常用的三角變換。(2)化簡題一定要找準解題的突破口或切入點，其中的降次，消元，切割化弦，異名化同名,sin2.：s21 cos2：(3) 公式變形 cosot =, cos a =,2sin :2法。異角化同角是常用的化簡技巧。3 17分析:.2 sin(ji注思x = 一4產-,一n x -n5 122，求 sin2x + 28s x 的值。1 - tanx及 2x=2 仁 +4-二的兩變換，就有以下的兩種解2解法一：由1712ji二 x 一:二 2 二4&又因cos x43 .一,sin 5(jix4cosxcos - x -八44=cos 一 x cos

13、 sin - x sin 二4444二,10107:2 ,一 從而 sin x = , tanx =7.22原式 2sin xcosx 2sin x1 - tan x10I 10 J1 -7+ 2用28752sin xcosx 1 tanx解法二：原式:1 -tanx= sin2xtan + x I,4而sin2x =sin 2 +x L2=-cos2 +x 1= - |2cos + x 1-114)tan - x4(兀sin - x4(JIcos x4所以，原式25 I 3 J點評：此題若將(Jicos x的值，就很繁瑣，把2875=3的左邊展開成5一刀 3工cos- cos-sin- si

14、nx 一再求 cosx, sinx45三+x作為整體，并注意角的變換 2 -4-+x= +2x,運用二0,a= R),x且f(x)的圖象在y軸右側的第一個局點的橫坐標為一6的值;(H)如果f(x)在區(qū)間-一，一 3 6L ”.更上的最小值為J3,求a的值。解析：(I)f (x)=31 .-3cos2 x sin 2 x -二.3: sin(2 x)a32JI TC TE依題意得20一 =(II)由(I)知,JT f (x): sin(x -)3二 5 二又當x ,53 631時，x+ 一0,3.-1 ，一，故一; sin(x+ )1,從而 f(x)在區(qū)上的最小值為近1+旦a,故”與 222HJ

15、If例 10. (06 上海理，17)求函數 y =2cos(x+)cos(x )+ J3sin2x 的值域和 最小正周期。解析：y=cos(x+ :)cos(x ： )+，3 sin2x=cos2x+ V3 sin2x=2sin(2x+ 1),函數y=cos(x+ ：)cos(x 亍)+ 3 sin2x的值域是2,2,最小正周期是 兀。題型6:三角函數綜合問題 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 4n兀例 11.已知向量 a = (sin i,1),b = (1,cos?), 一一 ：二 1 ：二一. HYPERLI

16、NK l bookmark70 o Current Document 22 44 4(I)若a _Lb,求仕 (II)求a +b的最大值。解析：(1) a _L b, = aLb =0 = sin 9 +cos6 =0=日=4 ;(2). a +b| =|(sin 曰 +1,cos9 +1) = J(sin 9 +1)2 +(cosB +1)2-sin2 2sin 1 cos22cos 1 - 2(sin【cos?) 3=.2；5sin(:二)3當sin(日+?=1時a +b有最大值，此時日=， 最大值為 67齊3=&+1。點評：本題主要考察以下知識點：1、向量垂直轉化為數量積為 0； 2,特

17、殊角的三角函數值；3、三角函數的基本關系以及三角函數的有界性；4.已知向量的坐標表示求模，難度中等，計算量不大。3T例 12. (2001 天津理，22)設 0 0 0 H故兩條已知曲線有四個不同的交點的充要條件為,(0。02(2)設四個交點的坐標為(Xi, y)(i=1, 2, 3, 4),則：Xi2+yi2=2cos 0 ( J2 ,(i=1, 2, 3, 4)。故四個交點共圓，并且這個圓的半徑 r= 2 cos0 C ( J2,J2).點評：本題注重考查應用解方程組法處理曲線交點問題，這也是曲線與方程的基本 方法，同時本題也突出了對三角不等關系的考查。題型7:三角函數的應用例13.有一塊

18、扇形鐵板，半徑為 R,圓心角為60。，從這個扇形中切割下一個內接 矩形，即矩形的各個頂點都在扇形的半徑或弧上，求這個內接矩形的最大面積.分析：本題入手要解決好兩個問題，(1)內接矩形的放置有兩種情況，如圖 2-19所示，應該分別予以處理；(2)求最大值問題這里應構造函數，怎么選擇便于以此表達矩形面積的自變量。圖 2-19解析：如圖 2-19(1)設/ FOA= 0 ,則 FG=Rsin0 ,在 AOEF 中一v一丁 sm(60 -8)_Rsin 120，EF =2酮60,-g)忑又設矩形EFGH的面積為S,那么S = FG*EF =2R3dn(600 -fl)Rgs(2e-6ir )-cos6

19、0fl R21二書忑際(26。)-又 0 0 60 ,故當 cos(2 0 -60 )= 1,即。=30時，S取得最大值吟Q-標宏寫如圖 2-19 (2),設/ FOA =。，則 EF=2Rsin(30 0 )，在 OFG 中，/ OGF= 150FG R故F =即FC = 2Rsmesincr suiIjU設矩形的面積為 S.那么 S= EFFG= 4R2sin 0 sin(30 -0)= 2R2 cos(2。-30 )-cos30 .-/3= 2R2cos(2 0 .30 )-y又. 0v。v 30 ,故當 cos(2 0 -30 )= 1即6 =15時S取最大值為2R?(1-，)=R12

20、f5)6，因此內接矩形的最大面積為6。五.思維總結從近年高考的考查方向來看，這部分常常以選擇題和填空題的形式出現，有時也以 大題的形式出現，分值約占5%因此能否掌握好本重點內容，在一定的程度上制約著在高 考中成功與否。.兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式,在學習時應注意以下幾點：(1)不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角如 口 = (ot + P P , 2a =(a + P )+ (a - P )2ot + P=(ot + P)+ot 等；(3)注意倍角的相對性(4)要時時注意角的范圍(5)化簡要求熟悉常用的方法與技巧，如切化弦，異名化同名，異角化同角等。.證明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結構，使等式兩邊化為同一形