1、第三章 z變換及離散系統(tǒng)的頻域分析課程名稱：數(shù)字信號(hào)處理任課教師：張培珍授課班級(jí)：信計(jì)1081-1082 3.1 z變換124533.5 序列的傅里葉變換及性質(zhì)3.4 z變換與拉氏變換和傅里葉變換的關(guān)系 3.3 z變換的性質(zhì)和定理3.2 z反變換 3.6 離散系統(tǒng)的頻域分析673.7 綜合實(shí)例引言離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)3信號(hào)與系統(tǒng)的分析方法時(shí)域分析法頻域分析法拉普拉斯變換傅里葉變換Z變換DFT變換復(fù)頻域連續(xù)離散z變換的定義 3.1 z變換離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)3Z變換Matlab函數(shù): F=ztrans()Z逆變換Matlab函數(shù): F=itrans()雙邊：?jiǎn)芜叄簔變換的收斂域?qū)τ谌?/p>

2、意給定序列x(n)，使其z變換收斂的z平面上所有z值的集合稱為z變換的收斂域。收斂域一般用環(huán)狀域來(lái)表示，其中取值可為零，取值可為無(wú)窮大，如圖所示。 序列x(n)的z變換絕對(duì)收斂的條件是絕對(duì)可和，即3.1 Z變換3例3.1 Z變換3討論幾類序列Z變化的收斂域 1.有限長(zhǎng)序列其z變換為3.1 Z變換30n2n1n (n).保證|z-n|下面分四種情況來(lái)考慮其收斂域。3.1 Z變換3例3.1序列 如圖3.8所示，求其z變換及收斂域。解 這是一個(gè)有限序列，其z變換為 其收斂域?yàn)?|z|，即除原點(diǎn)之外的整個(gè)z平面，如圖3.9所示。 圖3.8序列 圖3.9 序列 的收斂域 3.1 Z變換32. 右邊序列第

3、一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，其收斂域?yàn)?；第二項(xiàng)為z的負(fù)冪級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)?,即以 為半徑的圓外，其中 。只有兩項(xiàng)都收斂時(shí)，該z變換才收斂。一般而言，右邊序列的收斂域?yàn)?。 3.1 Z 變換3x(n)n0n1.1.當(dāng)時(shí) ，此時(shí)的右邊序列就是因果序列，其收斂域?yàn)?。 例3.2 求序列 的z變換及收斂域。 解 這是一個(gè)右邊序列，其z變換為 只有當(dāng) 時(shí) ，即 ，該序列收斂。此時(shí) 只有當(dāng)收斂域?yàn)?，即半徑 的圓外部。 收斂域?yàn)?.1 Z變換33. 左邊序列第二項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，其收斂域 ；第一項(xiàng)為z的正冪級(jí)數(shù)，其收斂域?yàn)?,即以 為半徑的圓內(nèi)。只有兩項(xiàng)都收斂時(shí)，該z變換才收斂。一般而言，左邊序列的收斂域?yàn)?。當(dāng)時(shí)

4、 ，其收斂域?yàn)?。 ,即以。當(dāng)。 3.1 Z變換3x(n)0n n2例3.3 求序列 的z變換及收斂域。 解 這是一個(gè)左邊序列，其z變換為 顯然，只有當(dāng) 時(shí)，即 ，該序列才收斂。因此 其收斂域?yàn)?，即半徑 的圓內(nèi)部分 圖3.11 收斂域 3.1 Z變換34. 雙邊序列只有當(dāng) 時(shí)，雙邊序列z變換才存在，其收斂域?yàn)?，即為一環(huán)狀域。若 ，則無(wú)公共收斂域， 不存在。 3.1 Z變換30nx例3.4 已知雙邊序列 ，b為實(shí)數(shù)，求X(z)。解 這是一個(gè)雙邊序列，其z變換為 3.1 Z變換3(1) 若 ，則存在公共收斂域 (2)若 ，則不存在公共收斂域，X(z)不存在。3.1 Z變換33.1 Z變換3問(wèn)題

5、：(n)，u(n)屬于哪一種序列（單邊、雙邊、有限長(zhǎng)）？其Z變換、收斂域如何？總結(jié)：有限序列全z面，零和無(wú)窮要察看；右邊序列圓外面，因果斂至無(wú)窮遠(yuǎn)；左邊序列圓里面，逆向因果含零點(diǎn)；雙邊序列是圓環(huán)，邊界考慮零極點(diǎn)。3.1 Z變換33.1 Z變換3RezjImz半徑R=1的圓N-1階例：3.1 Z變換33.1 Z變換33.2 序列x(n) z反變換其中c是在X(z)的收斂域內(nèi)一條繞原點(diǎn)的逆時(shí)針閉合單圍線。求z反變換的方法通常有留數(shù)法、冪級(jí)數(shù)法和部分分式法三種。 3.2 Z 反變換3若X(z)是z的有理函數(shù)，利用留數(shù)定理來(lái)計(jì)算圍線積分。其中X(z)zn-1須在圍線上連續(xù)，在圍線以內(nèi)有K個(gè)極點(diǎn)zk，而

6、在圍線以外有M個(gè)極點(diǎn)zm。 則有或注意在公式(3.12)中，必須滿足X(z)zn-1的分母多項(xiàng)式z的階次要比分子多項(xiàng)式z的階次高二階或二階以上。 (3.12)(3.11)3.2.1 留數(shù)法3zk是X(z)zn-1的極點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的留數(shù)計(jì)算方法是：(1) zk是X(z)zn-1的單階極點(diǎn) (2) zk是X(z)zn-1的 l 階極點(diǎn)3.2.1 留數(shù)法3例3.5 ，設(shè)收斂域 ，試用留數(shù)法求x(n)。 解 由收斂域可知x(n)是一個(gè)右邊序列。式中，圍線c是半徑大于2的圍線，如圖3.13所示。 圖3.13 例3.5的圍線 3.2.1 留數(shù)法3從X(z)zn-1的表達(dá)式可以看出，當(dāng) 時(shí)，有兩個(gè)一階極點(diǎn) 和

7、 ，當(dāng) 時(shí)有兩個(gè)一階極點(diǎn) 和 及n階極點(diǎn) 。 當(dāng) 時(shí)， 3.2.1 留數(shù)法3當(dāng) 時(shí)，可用式(3.12)求留數(shù)，其留數(shù)為零。 所以或3.2.1 留數(shù)法3把X(z)按z-1展成冪級(jí)數(shù)，即 其級(jí)數(shù)的系數(shù)就是序列x(n)。常用方法有按冪級(jí)數(shù)公式展開(kāi)法和長(zhǎng)除法。 3.2.2 冪級(jí)數(shù)法3部分分式法是將X(z)表達(dá)式展開(kāi)成常見(jiàn)部分分式之和，然后分別求各部分的z反變換，最后把各z反變換相加即可得到。即 則3.2.3 部分分式法3例3.11 若已知 ，設(shè)收斂域 ，試用部分分式法求x(n)。 解 由X(z)的表達(dá)式可以看出，存在 和 兩個(gè)單階極點(diǎn)。所以查表3-1，可得到 3.2.3 部分分式法31線性若 則有 2

8、序列的移位若則有3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理3例已知 ,求其z變換。3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理33序列的翻褶若 則有4. 乘以指數(shù)序列若則有3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理35. 序列乘以若則有6. 復(fù)序列的共軛若則有3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理37. 初值定理 若x(n)為因果序列，則有 3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理33.3 Z 變換的性質(zhì)和定理38. 終值定理 如果x(n)為因果序列，且X(z)的極點(diǎn)在單位圓以內(nèi)(單位圓上最多有一階極點(diǎn))，則有 證明9. 序列的卷積(時(shí)域卷積定理)若 ，則 即收斂域等于兩個(gè)收斂域的重疊部分。如果Y(z)=X(z)H(z)存在零極點(diǎn)相消情況時(shí)，收斂域會(huì)擴(kuò)大。3

9、.3 Z 變換的性質(zhì)和定理310z域復(fù)卷積定理 若 ，則 ，其中c是平面上 的公共收斂域內(nèi)繞原點(diǎn)逆時(shí)針一周的封閉圍線。 3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理311. 帕斯瓦爾定理3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理3它表明信號(hào)在時(shí)域的總能量等于信號(hào)在頻域的總能量，即信號(hào)經(jīng)傅里葉變換后其總能量保持不變，符合能量守恒定律。 3.3 Z 變換的性質(zhì)和定理33.3 Z 變換的性質(zhì)和定理3設(shè) 為連續(xù)信號(hào)， 為其理想采樣信號(hào)，則 的拉普拉斯變換為 即而序列 的z變換為 3.4 z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系3可以看出，當(dāng) 時(shí)，序列x(n)的z變換就等于理想采樣信號(hào)的拉普拉斯變換。即 3.4 z變換與拉普拉斯變換的關(guān)系3（3.

10、28）又由式(3.26)可知 由于 所以上式說(shuō)明：在時(shí)域采樣信號(hào)的拉式變換是連續(xù)時(shí)間信號(hào)拉氏變換在s平面上沿虛軸的周期延拓。 （3.31）結(jié)合式(3.28)和式(3.31)可知連續(xù)時(shí)間信號(hào) 的拉普拉氏變換 與離散時(shí)間信號(hào)x(n)的z變換之間的關(guān)系為 離散時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間系統(tǒng)3由于傅里葉變換是拉普拉斯變換在虛軸 的特例,因而映射到z平面上為單位圓 。也就是說(shuō)，采樣序列在單位圓上的z變換，就等于理想采樣信號(hào)的傅里葉變換。式(3.30)也可寫成即采樣序列的頻譜是連續(xù)信號(hào)頻譜 以 為周期的周期延拓。3.4 z變換與傅里葉變換的關(guān)系3序列的傅里葉變換定義為 常用 表示序列的傅里葉變換。 序列的傅里葉反

11、變換定義為 常用 表示序列的傅里葉反變換。 3.5 序列的傅里葉變換3序列的傅里葉變換是具有周期性的。 可以看出， 是以 為周期的周期性函數(shù)。因此在繪制 圖形時(shí)，一般只需在 或 區(qū)間上標(biāo)注即可。 3.5 序列的傅里葉變換3序列傅里葉變換的性質(zhì)3.5 序列的傅里葉變換33.6.1 系統(tǒng)函數(shù) 線性移不變系統(tǒng)，可用單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示，即 等式兩邊取z變換，有 Y(z) = X(z) H(z) H(z)稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。 3.6 離散系統(tǒng)的頻域分析3一個(gè)N階線性時(shí)不變系統(tǒng)，其常系數(shù)差分方程表示的一般形式為 兩邊取變換，有 3.6.2 系統(tǒng)函數(shù)和差分方程3還可以表示為 其中，cm為H

12、(z)的零點(diǎn)，dk為H(z)的極點(diǎn)，K為比例常數(shù)。從表達(dá)式可以看出，系統(tǒng)函數(shù)也可由系統(tǒng)的零、極點(diǎn)來(lái)確定。3.6.2 系統(tǒng)函數(shù)和差分方程3例3.17 差分方程 ，且 ， ， ，求 。 解 對(duì)已知的差分方程兩邊取變換，有 代入已知條件，得到 取z反變換，得到3.6.2 系統(tǒng)函數(shù)和差分方程33.6.3 因果穩(wěn)定系統(tǒng)31）因果：其單位脈沖響應(yīng)h(n)=0,n0;那么系統(tǒng)的收斂域一定包括無(wú)窮點(diǎn)，收斂域在某一圓外3.6.3 因果穩(wěn)定系統(tǒng)3序列h(n)絕對(duì)可和，即而h(n)的z變換的收斂域：2）穩(wěn)定：穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域須包含單位圓Z=13.6.3 因果穩(wěn)定系統(tǒng)3H(z)須從單位圓到 的整個(gè)z

13、域內(nèi)收斂即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)3）因果穩(wěn)定：不能構(gòu)成既穩(wěn)定又因果系統(tǒng)例3.19 已知某系統(tǒng)函數(shù) ，分析其因果性和穩(wěn)定性。解 根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)可知，H(z)的極點(diǎn)為z1=0.5和z2=2。下面分三種情況討論。(1) 當(dāng)收斂域 ，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。由于其收斂域不包含單位圓，所以不是穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng) ，這是一個(gè)因果序列，同時(shí)又是發(fā)散的序列。3.6.3 因果穩(wěn)定系統(tǒng)3(2) 當(dāng)收斂域 ，該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。由于其收斂域包含單位圓，所以是穩(wěn)定系統(tǒng)。單位脈沖響應(yīng)，這是一個(gè)非因果但收斂的雙邊序列。(3) 當(dāng)收斂域 ，該系統(tǒng)不是因果系統(tǒng)。由于其收斂域不包含單位圓，所以也不是穩(wěn)定系統(tǒng)

14、。3.6.3 因果穩(wěn)定系統(tǒng)3設(shè)某一系統(tǒng)由差分方程y(n)=y(n-1)+y(n-2)+x(n-1)描述。(1) 求系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，并畫出零極點(diǎn)分布圖。(2) 限定系統(tǒng)是因果的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。(3) 限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，寫出H(z)的收斂域，并求出其單位脈沖響應(yīng)h(n)。(4) 求出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)并畫出響應(yīng)的幅頻特性曲線。(5) 設(shè)輸入x(n)=(n)+ (n-1)，且系統(tǒng)因果的條件下，求輸出y(n)。綜合實(shí)例3解 (1) 對(duì)差分方程兩邊求z變換可得 所以其中，零點(diǎn)為綜合實(shí)例3極點(diǎn)為(2) 若限定系統(tǒng)是因果的，則收斂域?yàn)楫?dāng)n0時(shí)，h(n)=0 當(dāng)n0時(shí)，綜合實(shí)例3因而（3）若限定系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則收斂域包括單位圓，為當(dāng)n0時(shí)，圍線C內(nèi)只有一個(gè)極點(diǎn) 當(dāng)n0時(shí)，圍線C內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn) 3.6.4 系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何確定法3綜合以上結(jié)果，可得 （4）系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 3.6.4 系統(tǒng)頻率響應(yīng)的