1、【最新】數(shù)學(xué)高考計數(shù)原理與概率統(tǒng)計專題解析一、選擇題1.如圖所示，線段 BD是正方形ABCD的一條對角線，現(xiàn)以 BD為一條邊，作正方形（如圖中陰影部分所示），則往五邊BEFD，記正方形 ABCD與BEFD的公共部分為形ABEFD中投擲一點，該點落在內(nèi)的概率為（）.1A.一6【答案】B【解析】【分析】B.C.D. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark226 o Current Document 51五邊形ABEFD的面積S ,陰影 的面積為一，得到概率. HYPERLINK l bookmark92 o Current Document 22【詳解】 HYPERL

2、INK l bookmark11 o Current Document 1 _ 51不妨設(shè)AB 1 ,故五邊形 ABEFD的面積S 2 一，陰影 的面積為一， HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 2221故所求概率為2 匚 2故選：B.【點睛】 本題考查了幾何概型，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力2 .若1路、2路公交車均途經(jīng)泉港一中校門口，其中1路公交車每10分鐘一趟，2路公交車每20分鐘一趟，某生去坐這 2趟公交車回家，則等車不超過 5分鐘的概率是（）A.B.C.D.設(shè)1路車到達(dá)時間為x和2路到達(dá)時間為y. （x, y）可以看做平面中的點，利用

3、幾何概 型即可得到結(jié)果.設(shè)1路車到達(dá)時間為x和2路到達(dá)時間為y. (x, y)可以看做平面中的點，試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為 = (x, v) |0致w 10M 09W20這是一個長方形區(qū)域,面積為 S= 10X20= 2005分鐘，y) |0aW5或0或忘5S= 125,代入幾何概型概率公式,可得A表示某生等車時間不超過 所構(gòu)成的區(qū)域為a= (x, 即圖中的陰影部分，面積為S 125P (A)S 200解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍.當(dāng)考察對象為點， 點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當(dāng)考察對象為線時，一般用角度比計算， 即當(dāng)半徑一定時，由于弧長之比等

4、于其所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上 是所對的弧長(曲線長)之比.3.下列等式不正確的是()A Cm mB Am 1 Am n2Am 1A. CnCn 1B. An 1 An n Ai 1n 1C Am nAm；D. nC： (k 1)0k1 kC：【答案】A【解析】【分析】根據(jù)排列和組合公式求解即可.【詳解】根據(jù)組合公式得0nm n一 皿一區(qū)) mJcm;,則A錯誤; m!(n m)! n 1 (m 1)!( n m)! n 1根據(jù)排列公式得m 1 m (n 1)!A 1An77(n m)!n!(n m)!n! /(n(n m)!1 1) n2 3 (n m)!n2A：i1，則

5、B 正確;根據(jù)排列公式得An!(n m)!n3(n m)!nA：；,則C正確;k 1根據(jù)組合公式得(k 1)Cn(k1)n!(k 1)! n kn!k! n kn!k! n (k 1) !一 k 一k ,.、 n!nCn kCn(n k)k!(n k)!即 nC： (k 1)Ck 1 kC：,則 D正確；故選:A【點睛】本題主要考查了排列和組合公式的應(yīng)用，屬于中檔題4.從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()1A.10【答案】D【解析】 【分析】【詳解】B.C.10D.從分別寫有1, 2, 3, 4,

6、5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張,基本事件總數(shù)n=5X 5=25抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)包含的基本事件有：(2, 1) , (3, 1) , (3, 2) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , ( 5, 1) , (5,2) , ( 5, 3) , ( 5, 4),共有m=10個基本事件，抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率p=0 -.25 5故答案為D.哥德巴赫猜想是每5.我國數(shù)學(xué)家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果”，在不超過20的素數(shù)中，隨機(jī)選取兩個不同的個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和 數(shù)，其和等于20

7、的概率是()1一121一151C.一18D.114【答案】D【解析】【分析】先得到隨機(jī)抽取兩個不同的數(shù)共有28種，再得出選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的共有2中，結(jié)合古典概型的概率計算公式，即可求解【詳解】由題意，在不超過20的素數(shù)有：2,3,5,7,11,13,17,19 ,共有8個數(shù)，2隨機(jī)選取兩個不同的數(shù)，共有C8 28種，其中隨機(jī)選取的兩個不同的數(shù)，其和為20的有3 17 20,7 13 20,共有2種，21所以概率為P 28 14故選：D.【點睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計算，其中解答中利用組合數(shù)的公式求得基本事件的總數(shù)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力n6.設(shè) n N

8、, an 為 x 4nx 1的展開式的各項系數(shù)之和,bn亙-a2L 嘩（x表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)）.則 TOC o 1-5 h z 5525n HYPERLINK l bookmark98 o Current Document 22n tbn c的最小值為（） HYPERLINK l bookmark96 o Current Document A. 2B. C 242D. 3G【答案】A【解析】【分析】令x 1可得，an 5n 2n，求出bn,則（n t）2 （bn c）2的幾何意義為點（n,(3,3)到y(tǒng) 7 t的距離d的平方，然2口）（n N*）到點（t,7 t）的距離的平方，最小值即

9、后由點到直線的距離公式求解即可得答案.【詳解】令 x 1 可得，an 5n 2n,嚓n 5nr2n.設(shè) Cn,所以 Cn + 1 G5n 1(n 1)平n咀5nng2nn5n/2n/_（一）（一0,所以數(shù)列g(shù)單調(diào)遞減，所以數(shù)列n*是單調(diào)遞增數(shù)列,（增函數(shù)+ 增函數(shù)=曾函數(shù)）nn時，咀0且里 n , n HYPERLINK l bookmark223 o Current Document 550,所以詈n吟55bn曲瞪粵1 2555(n 1)22 .則(n t)(bn c)的幾何息義為點2即求點(n , Ry工)(n N*)到y(tǒng) 72, n n(n , 2)(n N*)至U點(t,7t的距離d的

10、最小值，t)的距離的平方,2In71所以“ 121d -2-./22T|nn 141 1(n 1)2 小 HYPERLINK l bookmark76 o Current Document 當(dāng) n 1 時，d 19 57| = - 12=3我； 4 444 HYPERLINK l bookmark78 o Current Document 當(dāng)n 2時，d 近|空57| = 8=2/; 44442 49 57 ,2。.2a n 3時，d | = 2=； HYPERLINK l bookmark84 o Current Document 4 4442當(dāng)n 4時，d四笆5772 6=述; HYPER

11、LINK l bookmark86 o Current Document 4 4 4423 一由函數(shù)的圖象可知當(dāng)n 5,6,7, L時，d-V2.22所以點(n , ny)(n N*)為(3,3)時，它到y(tǒng)7 t的距離d最小,Qd|3 3 7|2. (n t)2 (bn c)2 的最小值.2.2.21ntbn c的最小值為金.故選：A.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了點到直線的距離公式，意在考查學(xué)生對這些知識的 理解掌握水平和分析推理能力.7 .已知1 X n展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，1 x n a0 3)X a2x2 L anxn,若 a a? L an

12、242,貝Ua0 a a? L 1 n an的值為()A. 1B. 1C. 2D. 2【答案】B【解析】【分析】由題意可得n 5 ,利用賦值法可求得2 ,再令x 1即可得解.【詳解】nQ 1 x展開式中第三項的二項式系數(shù)與第四項的二項式系數(shù)相等，C 2 C 3 TOC o 1-5 h z Cn Cn ,n 5 ,5令 x 0,則 1 a0,人i r5令 x 1 ,則 1ao ai a2 L a 1 242 243,2,5令 x 1 ,則 1 2a0 a1a 2 L a51.故選：B.【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.某人研究中學(xué)生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關(guān)系，

13、隨機(jī)抽查了52名中學(xué)生，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表 1至表4,則與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大的變量是成績性別/、及格及格總計男61420女102232總計163652表2視力性別好差總計男41620女122032總計163652智商性別偏(Wj正常總計男81220女82432總計163652表4閱讀量性別豐富/、豐富總計男14620女23032總計163652A,成績【答案】 【解析】B.視力C.智商D.閱讀量【分析】根據(jù)公式K22n ad bca b c d a c b d分別計算得觀察值，比較大小即可得結(jié)果根據(jù)公式K22n ad bc分別計算得:a b c d a c b dA. A: K 252(6

14、22 10 14) cc”-0.009 ;_ 2B: K2C :K2D : K216 36 32 20252(4 20 12 16)216 36 32 2052(8 24 8 12)216 36 32 2052(14 30 6 2)216 36 32 201.769 ；1.3；23.48選項D的值最大，所以與性別有關(guān)聯(lián)的可能性最大，故選D.【點睛】本題主要考查獨立性檢驗的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于.如圖，是民航部門統(tǒng)計的某年春運期間12個城市出售的往返機(jī)票的平均價格以及相比上年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表，下面敘述不正確的是（12個聾校避平整命mloom 7

15、JOM 5.0DMOK -2.WW 5JH -7.50K -10 OOHliiiifnn! Illi will Kill null Uiiiiiiillr舞北州i a3 000 元i mftLO XKSIHMSA.深圳的變化幅度最小，北京的平均價格最高.B.深圳和廈門的平均價格同去年相比有所下降.C.平均價格從高到低居于前三位的城市為北京、深圳、廣州 D.平均價格的漲幅從高到低居于前三位的城市為天津、西安、廈門 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)折線的變化率，得到相比去年同期變化幅度、升降趨勢，逐一驗證即可.【詳解】由圖可知，選項 A、B、C都正確，對于 D,因為要判斷漲幅從高到低，而不是判斷變化

16、幅 度，所以錯誤.故選D.【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖的應(yīng)用，從圖表中準(zhǔn)確獲取信息是關(guān)鍵，屬于中檔題.，- c、52345c c.若（2x 3）aQaixa?xa3xadxa5x,貝Ua0+a+2a2+3a3+4a4+5a5 為（）A. 233B. 10C. 20D. 233【答案】A【解析】【分析】對等式兩邊進(jìn)彳T求導(dǎo)，當(dāng) x=1時，求出ai+2a2+3a3+4a4+5a5的值，再求出a0的值，即可得 出答案.【詳解】對等式兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，得：2X 5(2x - 3) 4= ai+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令 x= 1,得 10= a+2a2+3a3+4a4+5a5；又 a

17、0 = ( - 3) 5= - 243,，a0+ai+2a2+3a3+4a4+5a5= 243+10= - 233.故選A.【點睛】本題考查了二項式定理與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題，考查了賦值法求解二項展開式的系數(shù)和的方法，利用導(dǎo)數(shù)得出式子ai+2a2+3a3+4a4+5a5是解題的關(guān)鍵.根據(jù)中央對 精準(zhǔn)扶貧”的要求，某市決定派 7名黨員去甲、乙、丙三個村進(jìn)行調(diào)研， 其中有4名男性黨員，3名女性黨員現(xiàn)從中選 3人去甲村若要求這 3人中既有男性，又有 女性，則不同的選法共有()A. 35 種B. 30 種C. 28 種D. 25 種【答案】B【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 首先算出7名黨員

18、選3名去甲村的全部情況，再計算出全是男性黨員和全是女性黨員的情 況，即可得到既有男性，又有女性的情況.【詳解】 HYPERLINK l bookmark192 o Current Document 33從7名黨員選3名去甲村共有C7種情況，3名全是男性黨員共有 C4種情況，33名全是女性黨員共有 C3種情況，3333名既有男性，又有女性共有C7 C4 C3 30種情況.故選：B【點睛】本題主要考查組合的應(yīng)用，屬于簡單題.8b ,一12,已知1 2x展開式的二項式系數(shù)的最大值為a,系數(shù)的最大值為b,則一的值a()12612855【答案】B【解析】【分析】C.125D.26根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得

19、a ,系數(shù)的最大值為b求得b ,從而求得-的值.a【詳解】由題意可得a C470 ,又展開式的通項公式為 Tr 1設(shè)第r 1項的系數(shù)最大，則C8 2r y12r1 即 r-5C8 2r12r 1 r, 6求得r = 5或6,此時，b 7 28,故選：B.【點睛】本題主要考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，第 中檔題.b 128a 5n項的二項式系數(shù)與第 n項的系數(shù)之間的關(guān)系，屬于13.若實數(shù)acc19c2c2 810 j一2c10a2 C10aL 2 等于(A. 32B. 32C. 1 024D. 512由題意可得:10a2c嘉91022七裾2L2101032.本題選擇A選項.-113P(1 p)22P(1

20、 P)2 p14.設(shè)0 p 1 ,隨機(jī)變量的分布列是則當(dāng)P在(0,1)內(nèi)增大時，E()減小”是D()增加”的()A.充分不必要條件C.充分必要條件【答案】D【解析】【分析】B.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件首先求E 和D ,然后換元t E1t2 23t 2211 a21,利用函數(shù)的單調(diào)性，判斷充分必要條件228【詳解】由題意可知:2p 1解得:8p2所以當(dāng)8p ，4p 11.14p2p 12p1,p2 14P 1,4p22p 1 p3 4p時，D增大，當(dāng)E減小時，不能推出D8p28p1t 21.2增加;時,減小,斤,此時E1 ,當(dāng)D122 tt增加時,E也增加,1時,，,芋t增加時，E

21、減小，所以當(dāng)D增加，不能推出E減小.綜上可知:E減小”是D 增加”的既不充分也不必要條件故選：D【點睛】 本題考查充分必要條件，離散型隨機(jī)變量的期望和方程，重點考查換元，二次函數(shù)的單調(diào) 性，屬于中檔題型.15.有編號為1,2,3的三個盒子和編號分別為 1,2,3的三個小球，每個盒子放入一個小r 5B.62 C.-3球，則小球的編號與盒子編號全不相同的概率為（8 A. 27【答案】D【解析】 【分析】列舉出所有的基本事件，并確定出事件小球的編號與盒子編號全不相同”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可計算出所求事件的概率【詳解】 以1,2,3表示編號為1、2、3的盒子分別放編號為1、2、3的

22、小球，則所有的基本事件 有：1,2,3、1,3,2、2,1,3、2,3,1、3,1,2、3,2,1 ,共 6種,其中，事件 小球的編號與盒子編號全不相同”所包含的基本事件有：2,3,1、 3,1,2 ,共2個, 一 2 1因此，小球的編號與盒子編號全不相同的概率為- 16 3故選：D.【點睛】本題考查利用古典概型的概率公式計算事件的概率，解題的關(guān)鍵就是列舉出所有的基本事件,遵循不重不漏的原則，考查計算能力，屬于中等題16.內(nèi),已知P是AABC所在平面內(nèi)-點, 則黃豆落在 APBC內(nèi)的概率是（ULUPBUULTPCUUL2PAr0 ,現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在 AABCA.3【答案】B【解析】【分析】

23、1 B.2C.1推導(dǎo)出點P到BC的距離等于A到BC的距離的一.從而2黃豆隨機(jī)撒在 AABC內(nèi)，黃豆落在4PBC內(nèi)的概率.c 1SAPBCFSABC.由此能求出將一粒2【詳解】以PRL, UUU 則PBUUU PB uuin PDPC為鄰邊作平行四邊形 PBDC, UULT UULrPC=PD， uultuul ruur uutPC 2PA 0，PB PCUUU2PA，2PA，P是AABC邊BC上的中線AO的中點,1.點P到BC的距離等于A到BC的距離的一.2S ZPBCF Sabc.2，將一粒黃豆隨機(jī)撒在 AABC內(nèi)，黃豆落在4PBC內(nèi)的概率為:SVPBC 1P=-= SVABC 2故選B.【

24、點睛】本題考查概率的求法，考查幾何概型等基礎(chǔ)知識，考運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思 想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題.a9等于（一 一/ C92.9_17.已知 1 3xaQ aix a?xLagx ,貝U a0 a19C. 39D. 1rC；3x ,可知當(dāng)r為奇數(shù)時,A. 29B. 49【答案】B【解析】【分析】9求出二項式1 3x展開式的通項為Tr 1r為偶數(shù)時，ar 0 ,然后代入x【詳解】. ,9二項式1 3x 展開式的通項Tr 11即可得出%a&的值.C；3x r,當(dāng)r為奇數(shù)時，ar 0 ,當(dāng)r為偶數(shù)時，ar 0,.-9 c因此，a0 ala91 314 .故選：B.【點睛】 查推理能力與計算能力，屬于中等題本題考查利用賦值法求各項系數(shù)絕對值之和,要結(jié)合二項式定理判斷各項系數(shù)的符號,54. x 1 1 2x 的展開式中x4的系數(shù)為（）A. 100B. 120C. 140D. 160【答案】D【解析】【分析】利用二項式定理展開式通項公式求指定項的系數(shù)【詳解】x 1 1 2x 5的展開式中x4的系數(shù)為C3 23 C4 24 160.故選：