1、2008高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 填空題的常用方法數(shù)學(xué)填空題是一種只要求寫出結(jié)果，不要求寫出解答過程的客觀性試題，是 高考數(shù)學(xué)中的三種?？碱}型之一，填空題的類型一般可分為：完形填空題、多選填 空題、條件與結(jié)論開放的填空題.這說(shuō)明了填空題是數(shù)學(xué)高考命題改革的試驗(yàn)田， 創(chuàng)新型的填空題將會(huì)不斷出現(xiàn).因此，我們?cè)趥淇紩r(shí)，既要關(guān)注這一新動(dòng)向，又要 做好應(yīng)試的技能準(zhǔn)備.解題時(shí)，要有合理的分析和判斷，要求推理、運(yùn)算的每一步 驟都正確無(wú)誤，還要求將答案表達(dá)得準(zhǔn)確、完整.合情推理、優(yōu)化思路、少算多思 將是快速、準(zhǔn)確地解答填空題的基本要求.數(shù)學(xué)填空題，絕大多數(shù)是計(jì)算型(尤其是推理計(jì)算型)和概念(性質(zhì))判斷型的試 題，應(yīng)答時(shí)必

2、須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推演和判斷。求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、 數(shù)行結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等。一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、 公式等知識(shí)，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果。例1設(shè)a =(m +1)i -3i,b = i +(m -1) j,其中i , j為互相垂直的單位向量，又(a +b) 1 (a -b), 則實(shí)數(shù) m = 。解：a+b = (m+2)i +(m4)j, ab = mi(m + 2) j. (a+b)_L(ab),一、.2 _ ,_2,一. ,、.2

3、 一(a+b) (ab) =0 . . m(m+2)j +(m+2) +m(m-4)i j -(m + 2)(m-4)j =0,而i, j為互相垂直的單位向量，故可得 m(m+2)-(m+2)(m-4) =0,m=-2。例2已知函數(shù)f(x);更二1在區(qū)間(-2,2)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍 x 2是0解：f (x) =axt=a+匕紅，由復(fù)合函數(shù)的增減性可知，9(*)=上2a在x 2 x 2x 21(-2,)上為增函數(shù)，.二 1 -2a - 0例3現(xiàn)時(shí)盛行的足球彩票，其規(guī)則如下：全部 13場(chǎng)足球比賽，每場(chǎng)比賽有 3 種結(jié)果：勝、平、負(fù)，13長(zhǎng)比賽全部猜中的為特等獎(jiǎng)，僅猜中12場(chǎng)為一等獎(jiǎng)

4、，其 它不設(shè)獎(jiǎng)，則某人獲得特等獎(jiǎng)的概率為 。解：由題設(shè)，此人猜中某一場(chǎng)的概率為1 ,且猜中每場(chǎng)比賽結(jié)果的事件為相互3獨(dú)立事件，故某人全部猜中即獲得特等獎(jiǎng)的概率為工。3二、特殊化法當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果。例4在4ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差 cos A cosC數(shù)歹U,貝 =。1 cos A cosC3解：特殊化：令 a=3,b=4,c = 5,則 AABC 為直角二角形，cosA=,cosC =0,5. 一 ，一 3從而所求值為3。5例5過拋物線y = ax2(a

5、0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線交于 P、Q兩點(diǎn)，若線段PF、FQ的長(zhǎng)分別為p、q,則1+1=o p q分析：此拋物線開口向上，過焦點(diǎn)且斜率為k的直線與拋物線均有兩個(gè)交點(diǎn) P、Q,當(dāng)k變化時(shí)PF、FQ的長(zhǎng)均變化，但從題設(shè)可以得到這樣的信息：盡管PF、FQ不定，但其倒數(shù)和應(yīng)為定值，所以可以針對(duì)直線的某一特定位置進(jìn)行求解，而 不失一般性。1 11一 、一解：設(shè)k = 0,因拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,，)，把直線方程y=,代入拋物線方程4a4a11 一 11得x 土一，. |PF H FQ| = ,從而一+ =4a2a2ap q例 6 求值 cos2 a + cos2(a+120 j + cos2 (a+2

6、40 )=分析：題目中“求值”二字提供了這樣信息：答案為一定值，于是不妨令a = 0,三、數(shù)形結(jié)合法對(duì)于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡(jiǎn)捷 地解決問題，得出正確的結(jié)果。例7如果不等式J4xx2 (a1)x的解集為A,且Ax |0 x ax + 3的解集為（4, b）,則a=, b=。2解：設(shè)vx = t ,則原不等式可轉(zhuǎn)化為：at2 -t + 3 0,且2與jE（b 4）31是萬(wàn)程at2 -t十士 =0的兩根，由此可得：a=,b=36。28例11 不論k為何實(shí)數(shù)，直線y = kx+1與曲線x2 +y2 -2ax + a2 -2a-4=0恒有交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

7、是。解：題設(shè)條件等價(jià)于點(diǎn)（0, 1）在圓內(nèi)或圓上，或等價(jià)于點(diǎn)（0, 1）到圓（x-a）2+y2 =2a+4 ,-1 a 0. 丁 y與y2有相同的單調(diào)區(qū)問，而 4y2 =11 十4J4x2 +13x3 ,可得結(jié)果為13,3。8總之，能夠多角度思考問題，靈活選擇方法，是快速準(zhǔn)確地解數(shù)學(xué)填空題的關(guān) 鍵。五、練習(xí)1已知函數(shù)f（x）=vG+1,則f九3）=.講解 由3 =4+1,得 f，(3)=x = 4,應(yīng)填4.請(qǐng)思考為什么不必求 f(x區(qū)?1I ，一一 一，一.集合M =x -1 Elog 1 10-,x w N、的真子集的個(gè)數(shù)是 .x 2J講解 M =x lElgx 2,xw N=x10Ex 1

8、00,x W N ,顯然集合 M中有 90 個(gè)元 素，其真子集的個(gè)數(shù)是 290 -1 ,應(yīng)填290 -1.快速解答此題需要記住小結(jié)論 ；對(duì)于含有n個(gè)元素的有限集合，其真子集的個(gè)數(shù)是 22 -1. 若函數(shù)y = x2 +(a2K+3,xw hb】的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，則b =.a 2a b講解 由已知拋物線的對(duì)稱軸為x =一，得 a = Y,而9b=1,有b = 6,故 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 22應(yīng)填6. HYPERLINK l bookmark86 o Current Document 2 x.果函數(shù)

9、f (x )=2，那么xf（1）+f（2）+f 1 1+f（3）+f 口+f（4）+ f 1=313 /4 J1講解 容易發(fā)現(xiàn)f(t)+f - | = 1,這就是我們找出的有用的規(guī)律，于是原式=f 1 3 = 7,應(yīng)填7. HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 2本題是2002年全國(guó)高考題，十分有趣的是，2003年上海春考題中也有一道類似題:、一1設(shè)f (x )=一方，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得2x 2f(-5)+f(-4廣 +f(0)+ + f(5)+f(6)=.已知點(diǎn)P(tanu,cosa )在第三象限，則角 a的終邊

10、在第 象限.講解由已知得tan豆 0,0,COSa 0,COSa 1 ,于是原不等式可變形為2cosx _ 0 ：土 cosx _ 0.而 0 xn,所以 0cxW ,故應(yīng)填,x0 xW , xWR.2.2,如果函數(shù)y =sin 2x+a cos2x的圖象關(guān)于直線 x = -二對(duì)稱，那么8講解 y = d1+a2 sin(2 + 邛),其中 tan = a.: x =是已知函數(shù)的對(duì)稱軸，8 TOC o 1-5 h z 冗、小n2 -廣中=。+一,8)2即邛=kn+史，k wZ4，一 一個(gè) 3. 3C 于是a = tan 中=tan kn + i= -1. 故應(yīng)填 一 1.4 )在解題的過程中，

11、我們用到如下小結(jié)論：x軸的直線分函數(shù)y = Asin(ox +中抑y = Acos(切x +中用圖象關(guān)于過最值點(diǎn)且垂直于 別成軸對(duì)稱圖形.(Jin、將OZi按順時(shí)42，3 二針萬(wàn)向旋轉(zhuǎn) 后得到向重 OZ2 , OZ2對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z2 = r(cos中+ i sin* ),則4tan =8.設(shè)復(fù)數(shù)z1 =2sin+cos8 在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量 OZ1 ,講解 應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，得值是Z2 -z1 cos 4- isin三42sinu2-cos n 2 sin ? cos【i 1,.2sin? -cos?tan :2 sin 1 cos 12 tan 1 故應(yīng)填 :.2 tan -19.設(shè)

12、非零復(fù)數(shù)x, y滿足講解將已知方程變形為解這個(gè)二次方程，得.=i22tanu 12+ xy + y =0,則代數(shù)式2005上x y2005的3顯然有 = 1,而 2005 =3父668 +1，于原式=200501“兩邊同除”的手法達(dá)到了集中變量的目的，這是減少變?cè)囊粋€(gè)上策,在上述解法中, 值得重視.10.已知 4 是公差不為零的等差數(shù)列，如果Sn是n 的前n項(xiàng)和，那么. 飽_Um Sn-講解特別取an = n ,有Sn =31L),于是有2nanUmw 二limn2n22=lim=2.故應(yīng)填 2.n n 11nm 1 . 1n1 I 一 gn,（nzn司數(shù)）11列 Q中，an =3） 2 4

13、 6，2n=n2 n 2n -1 ；凸n邊形內(nèi)角和為f(n)=(n17 (n 3)凸n邊形對(duì)角線的條數(shù)是 f (n )=的一2)(n 4)2其中滿足“假設(shè)n =k(kw N,k之心 洞命題成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.但不滿足“當(dāng)n = n0 (n是題中給定的n的初始值)時(shí)命題成立”的命題序號(hào)是 講解 當(dāng)n=3時(shí)，23 2黑3+1 ,不等式成立； 當(dāng)n=1時(shí)，2。12 +1 +2，但假設(shè)n=k時(shí)等式成立，則2+4+6+ +2(k + 1)=k2 +k+2 + 2(k+1)=(k+lf +(k+1)+2； f(3)#(31 # ,但假設(shè)f(k)=(k-1,成立，則f (k +1 )= f (

14、k )+n=&k +1)11； f(4 )#4(4；2 )假設(shè) f(k)=k(k；2)成立則fk 1 ; fk k-3 k 1,k 1 -22故應(yīng)填.13.某商場(chǎng)開展促銷活動(dòng)，設(shè)計(jì)一種對(duì)獎(jiǎng)券，號(hào)碼從 000000到999999.若號(hào)碼的奇位數(shù) 字是不同的奇數(shù)，偶位數(shù)字均為偶數(shù)時(shí)，為中獎(jiǎng)號(hào)碼，則中獎(jiǎng)面(即中獎(jiǎng)號(hào)碼占全部號(hào)碼的百 分比)為,講解中獎(jiǎng)號(hào)碼的排列方法是：奇位數(shù)字上排不同的奇數(shù)有 P3種方法，偶位數(shù)字上排偶數(shù)的方法有53,從而中獎(jiǎng)號(hào)碼共有 百父53種，于是中獎(jiǎng)面為P? 535一5- 100% =0.75%,1000000故應(yīng)填0.75%.14.(X2+1 (x2的展開式中X3的系數(shù)是 .

15、講解由42 +1a27 =x2(x_2)7+12：7知，所求系數(shù)應(yīng)為儀一2)7的乂項(xiàng)的系數(shù)3與x項(xiàng)的系數(shù)的和，即有c6 -2 6 C； -2 4 =1008,故應(yīng)填1008.15 .過長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)為3、4、5,且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是.講解長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是外接球的直徑2R,即有2R 2 =4R2 = 32 42 52= 50,從而S求=4nR2 =50兀，故應(yīng)填50n.若四面體各棱的長(zhǎng)是1或2,且該四面體不是正四面體，則其體積是（只需寫出一個(gè)可能的值）.講解 本題是一道很好的開放題， 解題的開竅點(diǎn)是：每個(gè)面的三條棱是怎樣構(gòu)造的， 依據(jù) “三角形中兩邊之和大于

16、第三邊”，就可否定1,1,2,從而得出 1, 1, 1, 1,2, 2, 2, 2, 2三種形態(tài)，再由這三類面構(gòu)造滿足題設(shè)條件的四面體，最后計(jì)算出這三個(gè)四面體的體積分別為：U，W，巖，故應(yīng)填.拶、巖、答 中的一個(gè)即可如右圖，E、F分別是正方體的面 ADDA、面BCCB1的中心，則四邊形 BFDE在該正 方體的面上的射影可能是 .（要求：把可能的圖的序號(hào)都填上）講解因?yàn)檎襟w是對(duì)稱的幾何體，所以四邊形BFDE在該正方體的面上的射影可分為：上下、左右、前后三個(gè)方向的射影，也就是在面 ABCD面ABBA、面ADDA1上的射影.四邊形BFDE在面ABCM面ABBA上的射影相同，如圖。2所示；四邊形BF

17、DE在該正方體又面的 ABGD,內(nèi)，它在面ADDA上的射影顯然是一條線段，如 圖CD所示.故應(yīng)填C2.2.18直線y = x -1被拋物線y = 4x截得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是 y = x -1.一講解由y2消去y,化簡(jiǎn)得= 4xx2 - 6x 1 = 0,設(shè)此方程二根為x1，x2,所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（x0, y0 ）,則故應(yīng)填X0y0 xx2二丁 :3, =x0 1 = 2.19橢圓則當(dāng)m取最大值時(shí)，點(diǎn) P2+ ?=1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為 m, 25的坐標(biāo)是講解記橢圓的二焦點(diǎn)為Fi,F2,有PFi +眸| =2a = 10,則知=PFiI TF2I 1PFl| + 2|：= 25.顯然當(dāng)故應(yīng)填PF1I =|PF2| =5,即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時(shí),m取