1、專題4.4立體幾何中最值問題高考試題將趨于關(guān)注那些考查學(xué)生運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)處理問題的題目，而幾何問題中的最值與范圍類 問題，既可以考查學(xué)生的空間想象能力，又考查運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)處理問題的能力，因此，將是有中等難 度的考題.此類問題，可以充分考查圖形推理與代數(shù)推理，同時(shí)往往也需要將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，比如求 一些最值時(shí)，向平面幾何問題轉(zhuǎn)化，這些常規(guī)的降維操作需要備考時(shí)加強(qiáng)關(guān)注與訓(xùn)練.立體幾何中的最值問題一般涉及到距離、面積、體積、角度等四個(gè)方面，此類問題多以規(guī)則幾何體為載體，涉及到幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等，題目較為綜合，解決此類問題一般可從三個(gè)方面思考：一是

2、函數(shù)法，即利用傳統(tǒng)方法或空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，建立所求的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解；二是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，變動(dòng)態(tài)為靜態(tài)，直觀判斷在什么情況下取得最 值；三是將幾何體平面化，如利用展開圖，在平面幾何圖中直觀求解。二.解題策略類型一距離最值問題【例1】如圖，矩形ADFE ,矩形CDFG ,正方形ABCD兩兩垂直，且AB 2 ,若線段DE上存在點(diǎn)P 使得GP BP ,則邊CG長(zhǎng)度的最小值為（）【解析】J以DAi DC, DF為坐標(biāo)軸建立空間坐標(biāo)系，如圖所示:設(shè)。G = & 7W.6，則二=三，即N又 B(2,2,0),G0,2, a)uuuax uuu，所以 BP x 2, 2,至,GP

3、2x,2,ax2uur uuir PBn PG xax2ax a 0 .顯然x 0且x 22 .所以a2因?yàn)閤 0,2,所以2x x220,1 .所以當(dāng)2x x1,a2取得最小值12.所以a的最小值為2百.故選D.【指點(diǎn)迷津】利用圖形的特點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)uuu uuuCG長(zhǎng)度為a及點(diǎn)P的坐標(biāo)，求BP與GP的坐標(biāo),2根據(jù)兩向量垂直，數(shù)量積為 0,得到函數(shù)關(guān)系式 a3 42-2x x ,利用函數(shù)求其最值。1、如圖，在棱長(zhǎng)為 1的正方體 ABCD-ABGD中，點(diǎn)E、F分別是棱BC, CC的中點(diǎn)，P是側(cè)面BCGB內(nèi)一點(diǎn),AP長(zhǎng)度的取值范圍是解析】如下圖所示:9時(shí)棱施L、瓦C1的中點(diǎn)隊(duì)力 連接

4、抽，連接阻，* % Ex F弛所在核的中點(diǎn),JlfflUBC” EFf/BCu /.IN/fEFj兄MN評(píng)面AEFj EFu平面AEF,，MN”平面AEFg*JaaM則為二NE,，四邊形AOA為書亍四邊形又&N仁平面AEF,肥匚平面由,氏口，呼 面越F,又&NC1HN，平面AJO平面AEF*.P是側(cè)面BCCBi內(nèi)一點(diǎn)，且 AiP/平面AEF, 點(diǎn)P必在線段 MNLh。在 RtABiM中，amJab2同理在RtABN中，可求得AN. AMNtt1等腰三角形,當(dāng)P在MN43點(diǎn)O時(shí)AFLMN此時(shí)AP最短,P位于M或N處時(shí)AF最長(zhǎng),又 AO ,AM2 OM 2、；:2呼所以線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是3

5、2 .5,422、12017甘肅省天水市第一中學(xué)上學(xué)期期末】如圖所示 ，在空間直角坐標(biāo)系中，D是坐標(biāo)原點(diǎn)，有一棱長(zhǎng)為a的正方體AKD-*F%,e和F分別是體對(duì)角線M和棱3上的動(dòng)點(diǎn)，則IEFI的最小值為（）A.B.C. a D.【答案】Bdf【解析】題圖所示的空間直角坐標(biāo)系中易得削同地的出。坪也叫F血前，則出小（-力-x.設(shè)-* &E - AAjCIDS X M。則 E（a - ,誦稿-勒般網(wǎng)阪0）伯 f 15 11 （IEF | = x（a - ak - a1 + （-BX - El）2 + （a -以）, a （X - t） + 2（X , T，l于是J 2 %t-X=- |EF| .顯然當(dāng)

6、他L2戢選B.3、如右圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD A1B1C1D1中，E為棱CCi的中點(diǎn)，點(diǎn)P,Q分別為面AiBQiDi和線段BiC上的動(dòng)點(diǎn)，則 PEQ周長(zhǎng)的最小值為【答案】10【解析】將面 ABiCiDi與面BBiCiC折成一個(gè)平面，設(shè) E關(guān)于BiCi的對(duì)稱點(diǎn)為 M E關(guān)于BC對(duì)稱點(diǎn)為N, 則 PEQ周長(zhǎng)的最小值為MN 7321 斤.類型二面積的最值問題【例2】已知球O是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）A BCD的外接球,BC3,AB 2向，點(diǎn)E在線段BD上，且BD3BE,過點(diǎn)E作圓O的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）A.,4 B, 2 ,4 C, 3 ,

7、4 D,0,4【答案】B【解析】如圖j設(shè)abcd的中心為烏.球。的半徑為r 連接四，易求得 。1。=丸海0、| =道 ，則記二.在RMO0D 中，由勾股 定理，r=3+(3 R/,解得R=2 J由配=站左,如QEII且C,DE = ：Jff=21所以5晝=加Jq胃-8； = & ,當(dāng)過點(diǎn)X的截距與。耳垂直時(shí)，截面圓的面積 最小，此時(shí)截面圖的半隅尸=依,-口片=& ,此時(shí)截面圖的面積為2足；當(dāng)過點(diǎn)耳的截面過球心時(shí), 截面圄的面積最大，此時(shí)截面圓的面積為4加,故選R【指點(diǎn)迷津】本題主要考查正三棱錐的性質(zhì)及空間想象能力、圓的性用、句股定理的應(yīng)用.屬于難題一化立體 問題為平面問題結(jié)合平面幾何的相關(guān)知識(shí)

8、求解.在求解過程當(dāng)中，通常會(huì)結(jié)合一些初申階段學(xué)習(xí)的平面幾 何知識(shí)j例如三角形的中位線P平行四邊形的成定與性質(zhì)j相似三角形的判定與性質(zhì)等，在復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以 關(guān)注.1、在三棱錐 P-ABC中,PAa面ABC AB AC且AC=1, AB=2, PA=3,過AB作截面交 PC于D,貝U截面 ABD的最小面積為（）A.B.C.亞 d.105105【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)PC 面ABD時(shí)，截面ABD的面積最小，此時(shí)應(yīng)有1133.10，Vp ABC- SvABC PA - Smin PC&inf=。故選 Co33, 10102、如圖，在正四棱柱 ABCDAB1C1D1 中，AB 1,AA2,點(diǎn)P是平面

9、ABC1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐 P ABC 的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為 （)A. 1由題意，得三楂錐-六C的正視圖始終是一個(gè)底為1,高為2的三角形，其面枳為1,而當(dāng)產(chǎn)2在底面ABCDV的投哥點(diǎn)在AABC的內(nèi)部或邊界上時(shí),其俯視圖的面積最小，最小值為工，此時(shí)，三棱錐2P ABC的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為2；故選B.3、正三棱錐V-ABC的底面邊長(zhǎng)為 2a, E,F,G,H分別是VA,VB,BC,AC的中點(diǎn)，則四邊形 EFGH勺面積的取值范圍是（A. 0,.3 2a ,3.3【解析】不妨設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)尾2b ,則 2b2. 32a 2由已知條件得，四邊形EFGH的面積s ab類型

10、三體積的最值問題【例3】如圖，已知平面口 ”平面E二L仃上外 &歸是直線上的兩點(diǎn),匚、口是平面S內(nèi)的兩點(diǎn)，且D*a2,故選BoBC J. i D兇二4 4舊= 6 CB = 8 P是平面口上的一動(dòng)點(diǎn)，且有/加口二貝PJ則四棱錐PBC體積的最大值是（A. - B. : C.D. -【答案】A【解析】由題知：APR *甌直危三第形，又力昨 加,所以/加松田因?yàn)榕cCB = 8；所以陽mZM.作FMX闋于M,則PMS.令翻二t,則*-產(chǎn)=始1匕可得限72-%即*W=反而？即為四棱錐的氤又屁面為5二三歸十=35 V=非* 二軌二季直啟梯形，,所以 3&Q物F-W2j故選M【指點(diǎn)迷津】本題主要考查面面垂直

11、的性質(zhì)，棱錐的體積公式以及求最值問題.求最值的常見方法有配方法：若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域；換元法；不等式法；單調(diào)性法；圖像法，本題首先根據(jù)線面關(guān)系將體積最值轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，然后應(yīng)用方法解答的舉一反三 1、已知AD與BC是四面體ABCD中相互垂直的棱，若 AD BC 6,且 ABD ACD 60,則四面體ABCD的體積的最大值是A. 18.2 B. 36.2 C. 18 D. 36【答案】A【解析】作于連接CR,因?yàn)椋?C,所以加上平面月CE作職_LC于尸,所以* _1_即，從而 二?4D$C.即二6項(xiàng)要使體積最

12、大，則要即最大,則要求A反CE最大, 6而NMD=N/a)=60%所次在力/ 二區(qū)時(shí)，BE最大，所以方E=C近二3指，尸是EC中點(diǎn),即=33 =，所以 A=6冢4a n 1&a-故選A.E2、如圖，已知平面 I l , A、B是l上的兩個(gè)點(diǎn)，C、D在平面 內(nèi)，且DA ,CB , AD 4 ,AB 6,BC 8,在平面 上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使得 APD BPC ,則P ABCD體積的最大值是（）aA. 24,3 B. 16 C. 48【答案】C【解析】Q DA 面，DA ,形.Q APD BPC, PADsD. 144.Q DA ,CB , PBC.Q AD 4,BC 8, PBPAD和 PBC均為

13、直角三角2PA.過P作PM AB,垂足為M .則PM.令 AM t, t RPA2 12 4t, PM .12 4t t2 .則 PA2 AM2 PB2 BM2,即 PA2 t2 4PA2 TOC o 1-5 h z 、一一 1底面四邊形 ABCD為直角梯形面積為 S 1 4 8 6 36. 2VP abcd 1 36 2 4t t2 12J t 2 2 16 12V16 48 .故 C正確. 3,3、（2016 全國(guó)出卷）在封閉的直三棱柱 ABC- ABC內(nèi)有一個(gè)體積為 V的球.若ABL BC AB= 6, BC= 8, AAA.4兀C.6兀D.32兀3=3,則V的最大值是（）【答案】B1解

14、析】 由ABlEC蛇二6A貿(mào)二孔得AC-W.要使琮的體積V最大,則猱與直三楂柱的部分面相切，若球與三個(gè)側(cè)面相切，謾底面A的的內(nèi)切圖的格生 為工.Ji!lJX6X8=1x (64-8+10)工所以 i二丸 2r=4+ 不合題意球與三桂柱的上、下底面相切寸，球的半徑R最大.由2R=力即R=,敵球的最大體枳甘=:五期=|冗.故選B。類型四角的最值問題【例4】如圖，四邊形 ABCD ADPQ勻?yàn)檎叫?，它們所在的平面互相垂直，?dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,分別為AB BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線 EM與AF所成的角為 ，則COS的最大值為.-2【答案】-5unu EM1E(,0,0).設(shè) M(0,y,1)(0 y 1

15、),則UUJT1【解析】建立坐標(biāo)系如圖所示.設(shè)AB 1,則AF (1- ,0)COS21T12yy2 1普，令8y 1 t,1 t 9,則4y 58y4y25,當(dāng)1時(shí)取等號(hào).所以cos121T1-y2124 y 12(1 y)2：5當(dāng)y 0時(shí)，取得最大值.【指點(diǎn)迷津】空間的角的問題，只要便于建立坐標(biāo)系均可建立坐標(biāo)系，然后利用公式求解。解本題要注意,M在點(diǎn)P處時(shí),空間兩直線所成的角是不超過90度的。幾何問題還可結(jié)合圖形分析何時(shí)取得最大值。當(dāng)點(diǎn)EM與AF所成角為直角，此時(shí)余弦值為 0 （最?。?dāng)點(diǎn)M向左移動(dòng)時(shí)，.EM與AF所成角逐漸變小，點(diǎn) M到1、矩形ABCDK陽二6，比二工達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，角最小，

16、余弦值最大。,將 ABC ADCgAC所在的直線進(jìn)行隨意翻折，在翻折過程中直線AD與直線BC成的角范圍（包含初始狀態(tài)）為（C.二 D. -【解析】初始狀態(tài)直線40與宣線,的角為翻折過程卬自自寸，直統(tǒng).口與直線也士成的角力直角，因此亙線內(nèi).與直線配成的角范圍為，選C.2、在正方體ABCD ABiCiDi中，O是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段B1D1上，直線OP與平面ABD所成的角,則sin的取值范圍是（）A.淀昌33、.3 .3- T，T10【解析】試題分析二由題意得,分別以atDCR叫為工抽建立空間直角坐穩(wěn)系，則療=a-W A 占 至平面4班的法向量右二（-UD,所以疝期日二,1,故選乩6 M一撲 1U

17、JUZ uuv3、在正四面體P ABC中，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，且 AN AB ,設(shè)異面2一時(shí)，則cos的取值氾圍是3一 , ,1直線NM與AC所成角為，當(dāng)-3【答案5 -19 7 1938 , 38【解析】設(shè)P到平面ABC勺射影為點(diǎn)O取BC中點(diǎn)D,以O(shè)為原點(diǎn)，在平面 ABC以過O作DB的平行線為x軸，以O(shè)D為y軸，以O(shè)以z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,設(shè)正四面體P-ABC勺棱長(zhǎng)為4 .3,則 A 0, 4,0 ,B 2,3,2,0,C273,2,2 72 ,P 0,0,4 衣,M73,1,272 ,uuuruuu_由ANAB ,得N 2百,6uuuu. NM2 3 ,5

18、 6 ,2 2 ,AC2,3,6,0 ,異面直線NM1 AC所成角為uuuur uulTiNM ACUUUU-UUUr- -f= NM 11 AC 2V43_2_2 47一 cos31t2212 4t 626（；）214 t3 1 一蒯一7 t5 19蒯cos387 .1938cos,m 5 19 7、. 19a的取值范圍是 ,3838強(qiáng)化訓(xùn)練1、正方體ABCDA1B1c1D1中，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則BP與AD1所成角的取值范圍是（）11A. 一，_ B. 一，_ C. _,_ D. _,4 34 26 26 3【答案】D【解析】以點(diǎn)口為序點(diǎn)f DA. DC. g 分另優(yōu)i小尸、工

19、建立空間直角坐標(biāo)系f設(shè)正方體校長(zhǎng)為b設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（*1T，則族=（.Tx,西=（-LQl）設(shè)不翳 的夾角為，所以b(Z= o 當(dāng) # = 1 時(shí) j2617T003(2取而小值,ts = - 0因?yàn)镋CJ J / AD1 0故選Do2 .如圖，在矩形 ABCD中， AB 2, AD 1,點(diǎn)E為CD的中點(diǎn),F為線段CE （端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)平面ABC設(shè)直線FD與平面ABCF所成角為,則sin 的最現(xiàn)將 DAF沿AF折起，使得平面 ABD大值為（）A. 1 B.2C. 1 D. 23423【答案】C如圖：在矩形芳中,過點(diǎn)A作金尸的垂線交W聲于點(diǎn)0 , 交于點(diǎn)也設(shè)開二工（0*工.），AM = t【解

20、析】12AM AD1= 二 由AD且UDF ,得上。 。尸即有 2q1 1-t 1由0 J得2在翻折后的幾何體中，產(chǎn)，?？诳偖a(chǎn)，。加/肅_L平面從而平面。口網(wǎng)工平面出C ,又平面咒30 平面域J則9_L平面jiBC連接通則/洶7。是直線尸與平面就CF所成再,即/比即=&r口 = 2 一工二 1 見n 日二二 fJl-3 = Jt，+/而如二J17 ,則 DF工1?=11由于，則當(dāng)- 5時(shí),揖n日取到最大值m其最大值為5,選匚3、如下圖，正方體 ABCD AB1c1D1中， E是DD-勺中點(diǎn)， F是側(cè)面CDD1cl上的動(dòng) 點(diǎn)，且B1F/平面A1BE ,則B1F與平面CDD1cl所成角的正切值的最

21、小值是 【答案】2設(shè)G,H,I分別為CD CC、CD的中點(diǎn)，則 ABPEG,故A1BGE四點(diǎn)共面，且平面 ABGE /平面BH ,又BF/面A BEE, .F在線段HI上，又BB 平面CDDiCi，.二BFCi即為直線BF與平面CDDQ所成的角，從而B1FCi = -BC1 ,FC1故當(dāng)CiF最大時(shí)，BiFCi的正切值最小。由題意知，當(dāng)F與H或I重合時(shí)， CiF 最大，BiFCi=2。故B F與平面CDDCi所成角的正切值有最小值 2。i34、12014四川，理8】如圖，在正方體ABCD AB1clD1中，點(diǎn)O為線段BD的中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)P在線段CC1上,則sin 的取值范圍是（）A l B -91 c 33【答案