1、PAGE 中考總復(fù)習(xí)：整式與因式分解知識講解（基礎(chǔ)）【考綱要求】1.整式部分主要考查冪的性質(zhì)、整式的有關(guān)計算、乘法公式的運用，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；2.因式分解是中考必考內(nèi)容，題型多以選擇題和填空題為主，也常常滲透在一元二次方程和分式的化簡中進行考查.【知識網(wǎng)絡(luò)】【考點梳理】考點一、整式1.單項式數(shù)與字母的積的形式的代數(shù)式叫做單項式單項式是代數(shù)式的一種特殊形式，它的特點是對字母來說只含有乘法的運算，不含有加減運算在含有除法運算時，除數(shù)(分母)只能是一個具體的數(shù)，可以看成分?jǐn)?shù)因數(shù)單獨一個數(shù)或一個字母也是單項式要點詮釋：（1）單項式的系數(shù)是指單項式中的數(shù)字因數(shù)（2）單項式的次數(shù)是指單項式中

2、所有字母的指數(shù)和2.多項式幾個單項式的代數(shù)和叫做多項式也就是說，多項式是由單項式相加或相減組成的要點詮釋：（1）在多項式中，不含字母的項叫做常數(shù)項（2）多項式中次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)（3）多項式的次數(shù)是n次，有m個單項式，我們就把這個多項式稱為n次m項式 （4）把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母降冪排列另外，把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來，叫做把這個多項式按這個字母升冪排列3.整式單項式和多項式統(tǒng)稱整式4.同類項所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項，叫做同類項5.整式的加減整式的加減其實是去括號法則

3、與合并同類項法則的綜合運用把多項式中的同類項合并成一項，叫做合并同類項.合并同類項后，所得項的系數(shù)是合并前各同類項的系數(shù)的和，且字母部分不變.如果括號外的因數(shù)是正數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號后原括號內(nèi)各項的符號與原來的符號相反.整式加減的運算法則：一般地，幾個整式相加減，如果有括號就先去括號，然后再合并同類項.6.整式的乘除冪的運算性質(zhì)：單項式相乘：兩個單項式相乘，把系數(shù)、相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式單項式與多項式相乘：單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加用式子表達

4、：多項式與多項式相乘：一般地，多項式乘以多項式，先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項，再把所得的積相加用式子表達：平方差公式：完全平方公式： 在運用乘法公式計算時，有時要在式子中添括號，添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.單項式相除：兩個單項式相除，把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式多項式除以單項式：多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的有理數(shù)，也可以是單項式

5、、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)， 即（都是正整數(shù)）. （3）公式的推廣： (，均為正整數(shù)) （4）公式的推廣： (為正整數(shù)).考點二、因式分解1.因式分解 把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這樣的式子變形叫做把這個多項式因式分解2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法： （2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：3.因式分解的一般步驟（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及

6、添、拆項法.要點詮釋：（1）因式分解的對象是多項式；（2）最終把多項式化成乘積形式；（3）結(jié)果要徹底，即分解到每個因式都不能再分解為止（4）十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.【典型例題】類型一、整式的有關(guān)概念及運算1若3xm+5y2與x3yn的和是單項式，則nm 【答案】【解析】由3xm+5y2與x3yn的和是單項式得3xm+5y2與x3yn是同類項， 解得 ， nm=2-2= 【點評】本題考查同類項定義結(jié)合求解二元一次方程組，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計算. 同類項的概念為：所含字母相同，

7、并且相同字母的指數(shù)也相同的單項式.舉一反三：【變式】若單項式是同類項，則的值是( ) A、-3 B、-1 C、 D、3【答案】由題意單項式是同類項， 所以，解得 ，應(yīng)選C.2下列各式中正確的是( ) A. B.a2a3=a6 C.(-3a2)3=-9a6 D.a5+a3=a8【答案】A；【解析】選項B為同底數(shù)冪乘法，底數(shù)不變，指數(shù)相加，a2a3=a5，所以B錯；選項C為積的乘方，應(yīng)把每個因式分別乘方，再把所得的冪相乘，(-3a2)3=-27a6，所以C錯；選項D為兩個單項式的和，此兩項不是同類項，不能合并，所以D錯；選項A為負(fù)指數(shù)冪運算，一個數(shù)的負(fù)指數(shù)冪等于它的正指數(shù)冪的倒數(shù)，A正確.答案選A

8、.【點評】考查整數(shù)指數(shù)冪運算.舉一反三：【變式1】下列運算正確的是 ( )A B C D【答案】A.2-3 = ； B. ；C. 正確 ；D. 故選C.【高清課程名稱： 整式與因式分解 高清ID號：399488關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例1-例2】【變式2】下列運算中，計算結(jié)果正確的個數(shù)是( )(1)a4a3a12； (2)a6a3a2； (3)a5a5a10；(4)(a3)2a9； (5)(ab2)2ab4； (6)A無 B1個 C2個 D3個【答案】A.3利用乘法公式計算： (1)(a+b+c)2 (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)【答案與解析】(1)(a+b+c)2可

9、以利用完全平方公式，將a+b看成一項，則(a+b+c)2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc. (2)(2a2-3b2+2)(2-2a2+3b2)兩個多項式中，每一項都只有符號的區(qū)別，所以，我們考慮用平方差公 式，將符號相同的看作公式中的a，將符號相反的項，看成公式中的b，原式=2+(2a2-3b2)2-(2a2-3b2) =4-(2a2-3b2)2=4-4a4+12a2b2-9b4.【點評】利用乘法公式去計算時，要特別注意公式的形式及符號特點，靈活地進行各種變形.舉一反三：【變式】如果a2+ma+9是一個

10、完全平方式，那么m=_.【答案】利用完全平方公式：(a3)2=a26a+9. m=6.類型二、因式分解4（2015春興化市校級期末）因式分解（1）9x281（2）（x2+y2）24x2y2（3）3x（ab）6y（ba）（4）6mn29m2nn3【思路點撥】（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法；（4）最后考慮用分組分解法及添、拆項法.【答案與解析】解：（1）原式=9（x29）=9（x+3）（x3）；（2）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y22xy）=（

11、x+y）2（xy）2；（3）原式=3（ab）（x+2y）；（4）原式=n（9m2+n26mn）=n（3mn）2【點評】把一個多項式進行因式分解，首先要看多項式是否有公因式，有公因式就要先提取公因式，再看是否還可以繼續(xù)進行分解，是否可以利用公式法進行分解，直到不能進行分解為止.舉一反三：【高清課程名稱： 整式與因式分解 高清ID號：399488關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例3（1）-（2）】【變式】（2015春陜西校級期末）分解因式：（1）（2x+y）2（x+2y）2（2）8a2b+2a3+8ab2【答案】解：（1）原式=（2x+y）+（x+2y）（2x+y）（x+2y）=3（x+y）（xy）

12、；（2）原式=2a（a24ab+4b2）=2a（a2b）25若能分解為兩個一次因式的積，則m的值為（ ） A. 1B. -1C. D. 2【思路點撥】 對二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積，再通過待定系數(shù)法確定其系數(shù)，這是一種常用的方法.【答案】C.【解析】解： -6可分解成或，因此，存在兩種情況： 由（1）可得：，由（2）可得：. 故選擇C. 【總結(jié)升華】十字相乘法分解思路為“看兩端，湊中間”，二次項系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號，分解括號里面的二次三項式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號添上.舉一反三：【變式】因式分解：_.【答案】類型三、因式分解與

13、其他知識的綜合運用6已知a、b、c 是ABC的三邊的長,且滿足: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,試判斷此三角形的形狀.【思路點撥】 式子a2+2b2+c2-2b(a+c)=0體現(xiàn)了三角形三邊長關(guān)系，從形式上看與完全平方式相仿，把2b2寫成b2+b2，故等式可變成2個完全平方式，從而得到結(jié)論【答案與解析】 解: a2+2b2+c2-2b(a+c)=0 a2+b2+ b2+c2-2ba-2bc=0 (a-b) 2+(b-c) 2=0 即: a-b=0 , b-c=0，所以a=b=c.所以ABC是等邊三角形.【總結(jié)升華】通過對式子變化，化為平方和等于零的形式，從而求出三邊長的關(guān)系中考總復(fù)習(xí)

14、：整式與因式分解鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）【鞏固練習(xí)】一、選擇題1.下列計算中錯誤的是( )A.B.C.D.2. 已知與一個多項式之積是，則這個多項式是( )A. B.C.D.3把代數(shù)式分解因式，下列結(jié)果中正確的是（ ）A B C D4（2015佛山）若（x+2）（x1）=x2+mx+n，則m+n=（）A1 B2 C1 D25. 如果，則為 ( )A5 B6 C5 D66把進行分組，其結(jié)果正確的是（ ） A. B. C. D. 二、填空題7已知，則的值為 8(1)已知3，2，_(2)已知6，8，_9分解因式：_10（2015秋烏海校級期中）在邊長為a的正方形中挖去一個邊長為b的小正方形（ab）（如圖甲）

15、，把余下的部分拼成一個矩形（如圖乙），根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，可以驗證 （填寫序號）（a+b）2=a2+2ab+b2 （ab）2=a22ab+b2a2b2=（a+b）（ab） （a+2b）（ab）=a2+ab2b211多項式可分解為，則,的值分別為_.12.分解因式：_ _. 三、解答題13將下列各式分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）.14.（2015春故城縣期末）（1）實驗與觀察：（用“”、“=”或“”填空）當(dāng)x=5時，代數(shù)式x22x+2 1；當(dāng)x=1時，代數(shù)式x22x+2 1；（2）歸納與證明：換幾個數(shù)再試試，你發(fā)現(xiàn)了什么？請寫出來并證明它是正確的；（3）拓展與應(yīng)用：求

16、代數(shù)式a2+b26a8b+30的最小值15. 已知 ，求下列代數(shù)式的值：(1)； (2).16.若三角形的三邊長是，且滿足，試判斷三角形的形狀. 小明是這樣做的： 解：，. 即 ，. 該三角形是等邊三角形. 仿照小明的解法解答問題： 已知： 為三角形的三條邊，且，試判斷三角形的形狀.【答案與解析】一、選擇題1.【答案】D； 【解析】.2.【答案】C； 【解析】這個多項式為.3.【答案】D；【解析】運用提取公因式法和公式法因式分解.4.【答案】C； 【解析】原式=x2+x2=x2+mx+n，m=1，n=2m+n=12=1故選：C5.【答案】B； 【解析】由題意.6.【答案】D； 【解析】原式.二、填空題7【答案】5；【解析】由得 8【答案】(1)；(2)； 【解析】（1）；（2）.9【答案】；【解析】原式令，.10【答案】； 【解析】圖甲中陰影部分的面積=a2b2，圖乙中陰影部分的面積=（a+b）（ab），而兩個圖形中陰影部分的面積相等，a2b2=（a+b）（ab）故可以驗證故答案為：11【答案】； 【解析】，所以，.12.【答案】；【解析】.三、解答題13.【答案與解析】（1）；（2）.（3）；（