1、用時(shí)間序列對(duì)北京市GDP值進(jìn)行分析摘要：本文主要應(yīng)用時(shí)間序列的分析方法對(duì)數(shù)據(jù)自身變化規(guī)律進(jìn)行認(rèn)識(shí)，結(jié)合一些模型進(jìn)行擬合時(shí)序，揭示并預(yù)測(cè)變化規(guī)律，做出科學(xué)指導(dǎo)。這里以北京市 1978年至2012年35個(gè)年度的GDP數(shù)據(jù)為例，結(jié)合SPSS和Eviews軟件進(jìn)行相 關(guān)的分析與處理即進(jìn)行識(shí)別，預(yù)測(cè)。確定ARIMA模型和曲線擬合，并進(jìn)行相應(yīng) 的檢驗(yàn)與分析。關(guān)鍵詞：時(shí)間序列模型;差分階數(shù)；自回歸階數(shù);滑動(dòng)平均階數(shù)；相關(guān)圖；1時(shí)間序列模型的特點(diǎn)時(shí)間序列是指按照時(shí)間的順序把隨機(jī)事件變化發(fā)展的過程記錄，對(duì)時(shí)間序列進(jìn)行 觀察、研究，找尋它變化發(fā)展的規(guī)律，預(yù)測(cè)它將來的走勢(shì)就是時(shí)間序列分析。而 GDP的時(shí)間序列屬于經(jīng)

2、濟(jì)模型，經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列的模型必須是平穩(wěn)的。如果應(yīng)用 非平穩(wěn)的時(shí)間序列模型來建立經(jīng)濟(jì)模型，則會(huì)使得所有的一切分析都是虛假錯(cuò)誤 的。如果變量非平穩(wěn)，應(yīng)對(duì)該變量進(jìn)行差分，即用經(jīng)濟(jì)變量的本期值與滯后一期 值作相減運(yùn)算，差分后得到新時(shí)間序列稱做差分序列，差分序列平衡后再建立經(jīng) 濟(jì)模型。2時(shí)間序列的預(yù)處理2.1時(shí)間序列平穩(wěn)性的判別方法判斷時(shí)間序列是否平穩(wěn)有兩種方法一是利用相關(guān)圖(即自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖)進(jìn)行判斷。二是構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)的方法。2.2純隨機(jī)性檢驗(yàn)純隨機(jī)性檢驗(yàn)也稱白噪聲檢驗(yàn)，是專門用來檢驗(yàn)序列是否為純隨機(jī)序列的一種方 法。若某一隨機(jī)序列為純隨機(jī)序列，則我們可以知道它的序列值之間沒有任何相

3、 關(guān)關(guān)系。即 y (k) = 0, Vk 牛 0但是在實(shí)際的時(shí)間序列中，由于觀察數(shù)據(jù)的有限性，純隨機(jī)樣本序列的自相關(guān)函 數(shù)不會(huì)絕對(duì)為0，所以當(dāng)某序列的自相關(guān)函數(shù)在0值附近擺動(dòng)幅度不是很大時(shí)可 以近似的認(rèn)為該序列為純隨機(jī)序列。根據(jù)Barlett定理，我們可以通過構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的方法來檢驗(yàn)序列的純隨機(jī)性： (1)假設(shè)條件原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨(dú)立H : p = p =p = 0, Vm 1備擇假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間有相關(guān)性H :至少存在某p個(gè)w 0, Vm 1, k m(2)檢1驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q統(tǒng)計(jì)量：Q =品pk2x 2(m)k=1.、一一3 p 2LB 統(tǒng)計(jì)

4、量：LB = n(n + 2)* (-L)x 2(m)k=1n - k判別原則：拒絕原假設(shè)，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于X2 (m)分位點(diǎn)，或者該統(tǒng)計(jì)量的p 1a值小于a時(shí)，則可以用1 -a的置信水平拒絕原假設(shè)，認(rèn)為該序列為非白噪聲序 列。接受原假設(shè)，當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量小于X2 (m)分位點(diǎn)，或該統(tǒng)計(jì)量的P值大于a時(shí)，1a則可以認(rèn)為在1 -a的置信水平下不能拒絕原假設(shè)，即不能顯著拒絕序列為純隨 機(jī)序列的假定。2.3單位根檢驗(yàn)定義：通過檢驗(yàn)特征根是在單位圓內(nèi)還是單位圓外，來檢驗(yàn)序列的平穩(wěn)性。DF檢驗(yàn)只適用于AR(1)過程的平穩(wěn)性檢驗(yàn)。為了使檢驗(yàn)?zāi)苁褂糜贏R(p)過程 的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，人們對(duì)檢驗(yàn)進(jìn)行了一定的修正，得到

5、增廣檢驗(yàn)，稱為ADF檢驗(yàn)。 若AR(p)序列有單位根存在，則自回歸系數(shù)之和恰好為1。, 8 0 18 一8 0 8+8 + ,，+8 = 1p12pp 8 +8 + +8 1Xp頃危一i- 1p1等價(jià)假設(shè)為：H 0: p= 0 f H i： p 0檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量T = S (p)ADF檢驗(yàn)的三種類型第一：無(wú)常數(shù)均值，無(wú)趨勢(shì)的p階自回歸過程x =。x +。x + t 1 t-1p t 一 p t第二：有常數(shù)均值，無(wú)趨勢(shì)的p階自回歸過程x =口 +。x + +8 x + t1 t-1p t 一 p t第三：既有常數(shù)均值，又有線性趨勢(shì)的p階自回歸過程x = + 0t+8x + +8 x + t1 t-1

6、p t - p t2.4模型的定階2.4.1殘差方差圖定階法在建模時(shí)候，自然希望模型與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的差異盡量小，模型能夠盡量反映數(shù) 據(jù)軌道，模型的殘差是描述模型與真實(shí)數(shù)據(jù)差異的重要方法，也是判斷模型是否 合適的重要指標(biāo)。模型殘差一般計(jì)算公式為殘差的方差6 2 實(shí)際觀察值模型的參數(shù)個(gè)數(shù)對(duì)于AR(p),MA(q),ARMA(p,q)模型實(shí)際觀測(cè)值的個(gè)數(shù)是不一樣的。假設(shè)樣本容量為N，對(duì)于AR(p)模型y -8 y -8 V -，模型有滯后階數(shù)為1，2，,p階t 1 tp t 一 pt的項(xiàng)，因此，第一個(gè)有效的觀測(cè)值應(yīng)該從p+1開始，模型有效的樣本容量為N-P，估計(jì)的參數(shù)為p+1，所以AR(P)的殘差方

7、差為：八 殘差平方和十殘差平方和6 2 或N - p - (p +1)N - 2qMA(q)是由構(gòu)成的，模型有效觀測(cè)值仍然為N個(gè)，在估計(jì)的時(shí)候，有q+1個(gè) 待估參數(shù)，因此模型殘差方差為八殘差平方和T殘差平方和6 2 或N - (q +1)N - qARMA(p,q)的模型存在AR(p)部分，因此第一個(gè)有效的觀測(cè)值也是從p+1期開始 的，模型待估參數(shù)有p+q+1個(gè)，因此殘差方差為：殘差平方和殘差平方和6 2 =小8 J 5”_ 或N - p - (p + q +1)N - p - (p + q) 在選擇模型的時(shí)候，模型會(huì)選擇殘差方差小的模型。一般來說，增加模型的階數(shù)， 通常會(huì)減少模型的殘差方差，

8、但是會(huì)導(dǎo)致自由度的損失。在選擇模型的時(shí)候除了 需要使得殘差方差盡量小的以外，還要考慮“約簡(jiǎn)”原則，如果在模型殘差相差 不大的時(shí)候，盡量選擇階數(shù)低的模型，以免造成損失過多自由度。4.2ACF和PACF定階法我們將平穩(wěn)時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的統(tǒng)計(jì)特征歸納如下。模型AR(p)MA(q)ARMA(p,q)自相關(guān)函數(shù)(ACF)拖尾截尾拖尾偏相關(guān)函數(shù)(PACF)截尾拖尾拖尾建立模型后，根據(jù)殘差序列的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)是否截尾或者拖尾，就可 以對(duì)模型階數(shù)是否合適進(jìn)行判斷。4.3模型定階的最佳準(zhǔn)則函數(shù)法模型定階的最佳準(zhǔn)則函數(shù)，既要考慮到模型對(duì)原始數(shù)據(jù)的擬合程度，又要兼顧模 型中所包含的待定參數(shù)個(gè)

9、數(shù)，并對(duì)二者做出合理的權(quán)衡。赤池提出了最小誤差預(yù) 報(bào)準(zhǔn)則，即為AIC準(zhǔn)則。AIC準(zhǔn)則是一種廣泛使用的ARMA模型定階準(zhǔn)則，其函數(shù)是由Kullback-Leibler 信息量導(dǎo)出的。AIC(p, q,u) = Ln(c 2) + 2k / N (k=p+q+1)kAIC準(zhǔn)則函數(shù)由兩項(xiàng)構(gòu)成：第一項(xiàng)是模型殘差方差的函數(shù)，隨著待估參數(shù)的個(gè)數(shù) 增加，此項(xiàng)單調(diào)下降；第二項(xiàng)隨K的增加而增加。所以，AIC準(zhǔn)則函數(shù)的含義 是很明顯的，盲目的增加模型階數(shù)，盡管AIC準(zhǔn)則函數(shù)前一項(xiàng)小了，但是后一 項(xiàng)卻大了。選擇不同的p,q對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，并計(jì)算相應(yīng)的AIC值，若AIC( k )= min AIC(k)01 k

10、M (N)則k0是最佳模型的階數(shù)。2.5差分運(yùn)算一階差分：Vx = x - xP 階差分：Vpx =Vp-1 x -Vp-1 xK 步差分：V = x -x I差分方法是一種非常簡(jiǎn)便：有效的確定性信息提取方法，Cramer分解定理在理 論上保證了適當(dāng)階數(shù)的差分一定可以提取確定性充分信息。差分運(yùn)算的實(shí)質(zhì)就是 使用自回歸的方式提取確定性信息：Vdx = (1 B)d x = S (1)iCi xi =0差分的選擇：序列有顯著的線性趨勢(shì)，則通過一階差分即可實(shí)現(xiàn)趨勢(shì)平穩(wěn)。若序列表現(xiàn)出曲線趨勢(shì)，通常低階(二階或者三階)差分就可以提 取曲線趨勢(shì)的影響。2.6時(shí)間序列模型有4種基本類型：自回歸模型AR( p

11、 ) , p是自回歸的階數(shù)；x =8 x +8 X +稱為p階自回歸模型。實(shí)參數(shù)e, e ,稱為自回歸系 t 1 t-1p t - p t1 2 p數(shù)，是模型的待估參數(shù)。隨機(jī)項(xiàng)gt是相互獨(dú)立的白噪聲序列，服從均值為0,方 差為a 2的正太分布。若記Bk為K步滯后算子，即Bky = ，則自回歸模型又 可以寫為：8( B ) x =AR(p)過程平穩(wěn)的條件是滯后多項(xiàng)式8 (B)的根均在單位圓外，即8 (B) = 0的根大 于1.滑動(dòng)平均模型MA(q) ,q為滑動(dòng)平均的階數(shù)；X =b 稱為移動(dòng)平均序列，實(shí)參數(shù)b , b -b為移動(dòng)平均系數(shù)，是模型待估tj t - j1 2 qj =1參數(shù)。利用滯后算

12、子也可以簡(jiǎn)寫為：xt =6(B)t移動(dòng)過程無(wú)條件平穩(wěn)。ARMA( p,q )是自回歸滑動(dòng)平均模型；t差分方程以寫為x =La x +Lb & 為一個(gè)自回歸滑動(dòng)平均模型。引入推移算子可j=1j=0A( P) X = B (P )ttARMA(p,q)過程平穩(wěn)的條件為推遲多項(xiàng)式A(P )的根均在單位圓外，可逆條件是 B(P )的根都在單位圓外。；ARIM A( p, d,q)是求和自回歸滑動(dòng)平均模型，d是差分階數(shù)。利用相關(guān)圖可判別時(shí)間序列模型的類型，如果自相關(guān)函數(shù)圖為指數(shù)衰減，偏相關(guān) 函數(shù)圖具有p個(gè)峰值然后結(jié)尾，則此種時(shí)間序列模型為p階自回歸模型;如果自 相關(guān)函數(shù)圖具有q個(gè)峰值然后結(jié)尾，偏相關(guān)函數(shù)

13、圖為指數(shù)衰減，則此種時(shí)間序列 模型為q階滑動(dòng)平均模型。ARIMA 模型全稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average Model)，簡(jiǎn)記ARIMA，是由博克思(Box)和詹金斯(Jenkins)提出的著名時(shí) 間序列預(yù)測(cè)方法， 又稱為Box- Jenkins模型、博克思 一詹金斯法。其中 ARIMA(p,d,q)稱為差分自回歸移動(dòng)平均模型，AR是自回歸，p為自回歸項(xiàng)，MA 為移動(dòng)平均，q為移動(dòng)平均項(xiàng)數(shù)，d為時(shí)間序列成為平穩(wěn)時(shí)所做的差分次數(shù)。所 謂ARIMA模型，是指將非平穩(wěn)時(shí)間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時(shí)間序列，然后將因變量 僅對(duì)它的滯后值以及

14、隨機(jī)誤差項(xiàng)的現(xiàn)值和滯后值進(jìn)行回歸所建立的模型。ARIMA模型根據(jù)原序列是否平穩(wěn)以及回歸中所含部分的不同，包括移動(dòng)平均過 程(MA)、自回歸過程(AR)、自回歸移動(dòng)平均過程(ARMA)以及ARIMA過程。ARIMA(p,q)模型的的一般形式為：8(B)VdX = 0(B) tt其中8 (B)是非平穩(wěn)自回歸算子多項(xiàng)式。即8(B) = 1-%B-P2B2甲Bp ；0( B)是平穩(wěn)自回歸算子多項(xiàng)式。0( B) = 1-0B-0 B 2-0 Bq ；Vd = 1-B表示差分算子。3數(shù)據(jù)處理及建模 時(shí)間序列分析的步驟為:3.1 ARIMA模型的建模步驟時(shí)間序列模型是建立在隨機(jī)序列平穩(wěn)性的假設(shè)基礎(chǔ)上的，所以

15、序列的平穩(wěn)性是建 立模型的基礎(chǔ)。ARMA模型和ARIMA模型都是建立在平穩(wěn)時(shí)間序列的基礎(chǔ)上 的。而對(duì)于任何非平穩(wěn)時(shí)間序列只要經(jīng)過適當(dāng)階數(shù)的差分用算就可以實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)，這樣就可以對(duì)差分后的 數(shù)列進(jìn)行ARMA模型的擬合了。ARIMA模型建模分為下列5個(gè)步驟。3.1.1數(shù)據(jù)平穩(wěn)性檢驗(yàn)首先要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)，可通過時(shí)間序列的折線圖進(jìn)行觀察判斷。對(duì) 非平穩(wěn)的時(shí)間序列，如果存在上升或者下降的趨勢(shì)，可以對(duì)該序列取對(duì)數(shù)或者差 分處理。然后判斷序列的平穩(wěn)性。反復(fù)做幾次直到序列變?yōu)槠椒€(wěn)性的序列。差分 的次數(shù)d即為模型ARIMA模型參數(shù)的d值。在理論上來說，足夠多的差分次數(shù) 可以充分提取非平穩(wěn)序列的信息。但并不是差

16、分的次數(shù)越多越好。過度的差分會(huì) 造成信息的損失。對(duì)平穩(wěn)隨機(jī)序列還要進(jìn)行純隨機(jī)性檢驗(yàn)，即白噪聲檢驗(yàn)，就是 去判斷序列是否為白噪聲序列，白噪聲檢驗(yàn)通常進(jìn)行Q統(tǒng)計(jì)量的卡方檢驗(yàn)。3.1.2對(duì)差分后的平穩(wěn)序列進(jìn)行ARMA擬合對(duì)差分后的序列進(jìn)行ARMA擬合，首先要計(jì)算出時(shí)間序列樣本的自相關(guān)函數(shù) （ACF）和偏相關(guān)函數(shù)（PACF）。然后根據(jù)自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)來估計(jì) 自相關(guān)階數(shù)p，移動(dòng)平均階數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)腁RMA模型進(jìn)行擬合。由于樣本的隨機(jī)性，樣本的相關(guān)系數(shù)不會(huì)呈現(xiàn)出理論的截尾的完美情況，本應(yīng) 截尾的相關(guān)系數(shù)仍會(huì)呈現(xiàn)出小值振蕩的情況。又由于平穩(wěn)時(shí)間序列通常都具有短 期相性，隨著延遲階數(shù)的增大，相關(guān)系

17、數(shù)都會(huì)衰減到零值附近作小值波動(dòng)。根據(jù) Barlett和Quenouille的證明，樣本相關(guān)系數(shù)近似服從正態(tài)分布。我們知道，一個(gè) 正態(tài)分布的隨機(jī)變量在任意方向上超出2的概率約為0.05。所以，可以自相關(guān) 和偏自相關(guān)估計(jì)值序列的直方圖來大致判斷在5%的顯著水平下模型的自相關(guān)系 數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)不為零的個(gè)數(shù)，進(jìn)而大致判斷序列應(yīng)該選擇的具體模型形式。 那么，要對(duì)模型的p和q兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行多種組合選擇，從ARMA（p,q）模型中 選擇一個(gè)擬合最好的曲線最為最后的方程結(jié)果。一般利用Akaike提出的AIC準(zhǔn) 則和Schwartz提出的SBC準(zhǔn)則評(píng)判擬合模型的相對(duì)優(yōu)劣，即使上述兩個(gè)AIC和 SBC函數(shù)值達(dá)到最

18、小的模型為相對(duì)最優(yōu)模型。3.1.3參數(shù)檢驗(yàn)參數(shù)檢驗(yàn)就是要檢驗(yàn)每個(gè)參數(shù)是否顯著非零，通常應(yīng)該剔除不顯著參數(shù)所對(duì) 應(yīng)的自變量并且從新擬合模型，以構(gòu)造出結(jié)構(gòu)更精練的擬合模型。本文主要利用 SPSS軟件進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，一般選擇最小二乘法。3.1.4模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證主要是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)時(shí)間序列的擬合效果，就是檢驗(yàn)整個(gè)模型對(duì)信息 的提取是否充足，即檢驗(yàn)殘差序列是否為白噪聲序列。如果擬合模型通不過檢驗(yàn)， 即殘差序列不是白噪聲序列，那么要重新選擇模型進(jìn)行擬合。如果殘差序列是白 噪聲序列，就認(rèn)為擬合模型是有效的。模型的有效性檢驗(yàn)仍然是利用上述Q統(tǒng) 計(jì)量對(duì)殘差序列進(jìn)行卡方檢驗(yàn)。4實(shí)例分析關(guān)于數(shù)據(jù)的選取方面，由于考慮到改

19、革開放近30年北京市的經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，相 比之前的二三十年這個(gè)時(shí)間段的GDP增速較高，如果很籠統(tǒng)的囊括了六七十年代 的數(shù)據(jù)的話，模型的分析以及預(yù)測(cè)效果可能并不是非常的理想，或者說和改革開 放后的30多年相比，之前的發(fā)展階段不一樣的年代的數(shù)據(jù)對(duì)本文所構(gòu)建模型的 分析及預(yù)測(cè)顯得并不是很重要。下面以北京市1978-2012年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值數(shù)據(jù)為例，該數(shù)據(jù)從中國(guó)統(tǒng)計(jì) 年鑒2013中查找。介紹用時(shí)間序列分析法對(duì)數(shù)據(jù)分析的過程，并通過其預(yù)測(cè) 2011及2012兩年的生產(chǎn)總值與實(shí)際的生產(chǎn)總值比較，選取最為合理的預(yù)測(cè)方法 對(duì)未來5年北京市GDP的做出預(yù)測(cè)。實(shí)際上2013年的GDP數(shù)據(jù)已經(jīng)可以查閱， 但為了數(shù)據(jù)的權(quán)

20、威性，選擇了中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒2013中GDP數(shù)據(jù)，而且并不影 響模型的分析和預(yù)測(cè)效果。根據(jù)應(yīng)用時(shí)間序列的基本原理知識(shí)我們得知，在進(jìn)行建模之前，首先要對(duì)數(shù) 據(jù)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的處理。本文主要是對(duì)GDP時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢查，然后 再進(jìn)行平穩(wěn)化處理。另外本文的實(shí)證分析，采用了 Eviews軟件來對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行各 種處理和分析。4.1時(shí)間序列平穩(wěn)性檢查首先我們繪制原始GDP的時(shí)間序列圖，從圖1可以看出我國(guó)GDP具有很明顯的上 升趨勢(shì)，可以看出原始序列顯然是非平穩(wěn)的。進(jìn)一步進(jìn)行ADF單位根檢驗(yàn)，從圖 2 （原始GDP序列ADF檢驗(yàn)）可以看出，檢驗(yàn)未能通過，表明原始GDP序列是非 平穩(wěn)的。圖1原始GDP時(shí)序圖圖

21、2原始GDP的ADF檢驗(yàn)Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on GDPNull Hypothesis: GDP has a unit rootExogenous: ConstantLag Length: 4 Automatic based on SIC, MAXLAG =S)t-StatisticProb *Augmented Dickey-Fuller test statistic1.9731770.9997Test critical values:1% level-3.6701705% level-2.96397210% level-2.6210

22、07* MacKinnon (1996) one-sided p-values.為了能夠?qū)υ撔蛄羞M(jìn)行分析，則要先使其平穩(wěn)化。故將選擇兩種方法：取對(duì)數(shù)法 和差分法，對(duì)序時(shí)間列進(jìn)行平穩(wěn)化處理，從而才可能進(jìn)一步分析和預(yù)測(cè)。4.2平穩(wěn)化處理首先對(duì)北京市的GDP數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)處理，試圖消除此時(shí)間序列的非平穩(wěn)性。把對(duì)數(shù)化處理過的GDP數(shù)據(jù)繪制成圖，如下所示：圖3 LNGDP時(shí)序圖LNGDP圖4 LNGDP的ADF檢驗(yàn)Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LNGDPNull Hypothesis: LNGDP has a unit rootExogenous: C

23、onstantLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG =S)t-StatisticProb *Augmented Dickey-Fuller test statistic-0.2066830.92S0Test critical values:1% level-3.6463425% level-2.95402110% level-2.615817MacKinnon (1996) one-sided p-values.DLNGDP通過上面的兩個(gè)圖可以看出，顯然對(duì)數(shù)處理后時(shí)間序列仍有明顯上升趨勢(shì)，而且 通過單位根檢驗(yàn)后可知此序列非平穩(wěn)。在時(shí)間序列的

24、分析應(yīng)用中，一般來說，可 以通過對(duì)數(shù)據(jù)的低階的差分來提取出曲線趨勢(shì)的影響，因此下面我們對(duì)取對(duì)數(shù)后 的數(shù)據(jù)分別進(jìn)行一、二階差分，并且驗(yàn)證其平穩(wěn)性。利用軟件操作后的結(jié)果如下 圖所示。.28.24.20.16.12.08.04圖5 LNGDP 一階差分時(shí)序圖.00-Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on DLNGDPNull Hypothesis: DLNGDP has a unit root Exogenous: ConstantLag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG =3)t-Statistic Pr

25、ob*Augmented Dickey-Fuller test statistic-3.3510750.0060Test critical values:1% level-3.6463425% level-2.9&402110% level-2.615817* MacKinnon (1996) one-sided p-values.圖6 LNGDP 一階差分的ADF檢驗(yàn)可以看出，檢驗(yàn)結(jié)果表明T統(tǒng)計(jì)量均大于1%、5%、10%下的檢驗(yàn)值，所以 我們可以認(rèn)定差分后的序列是非平穩(wěn)的。很顯然還要再次進(jìn)行差分，通過軟件分 析，二階差分時(shí)序圖如下：現(xiàn)在可以很明顯的看出，我們可以認(rèn)為該時(shí)序圖其是平穩(wěn)的，進(jìn)一步

26、做單位 根檢驗(yàn)如下：圖7LNGDP二階差分圖DDLNGDP圖8 LNGDP二階差分的ADF檢驗(yàn)Ajgmented Dickey-Full&r Unit Root Test on LNGDP,2)Null Hypothesis: DCLNGDP) has a unit rootExogenous: NoneLag Length: 1 (Automatic based on SIC, MAXLAG =8)t-StatisticProb*Augmented Dickey-Fuller test statistic-7.0676960.0000Test critical values:1% level

27、-2.6416725% level-1.95206610% level-1.610400MacKinnon (1996) one-sided p-values.根據(jù)上面的檢驗(yàn)結(jié)果顯示，二階差分序列在1%的顯著性水平下拒絕原假設(shè)， 接受不存在單位根的結(jié)論，P值為0.000，顯著小于0.001，從而我們可以確定二 階差分后序列平穩(wěn)。根據(jù)實(shí)際序列的基本知識(shí)，我們可以確定Ln(GDP)序列是2 階單整序列，即Ln(GDP)1(2)。至此，我們對(duì)本文的數(shù)據(jù)進(jìn)行了基本的分析，并且對(duì)該非平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行 了平穩(wěn)化的處理，下面我們可以開始模型的構(gòu)建與具體分析了。5時(shí)間序列模型的構(gòu)建與分析5.1模型的識(shí)別在平穩(wěn)

28、時(shí)間序列自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)上初步識(shí)別 ARMA模型階 數(shù)P和q，然后利用AIC定則準(zhǔn)確定階數(shù)。Ln(GDP)二階差分后自相關(guān)與偏自 相關(guān)系數(shù)如下：Correlogram of D(LhlGDP,2)ate: 05/20/15 Time: 13:20Sample: 197S2012Included observations: 33AutocorrelationPartial CorrelationACPACQ-StatProb匚1匚11-0.260-0.2602.50200.-108匚1112-0.300-0.4005.93870.0511Zl 11 1130.192-0.0367.352

29、30.061| E11匚14-0.091-0.-1937.68520.104| 111 115-0.027-0.0727.71540.173111匚160.015-0.1347.72470.2591 11匚17-0.074-0.1577.9647033611 11 1180.059-0.0068.12590.42111 11190.062-0.0198.31270.503111110-0.0140.0138.32190.597從上圖可以看出，二階差分后序列的自相關(guān)系數(shù)在滯后二期后呈衰減趨于零，表 現(xiàn)為拖尾性；在偏自相關(guān)分析圖中，滯后二期的偏自相關(guān)系數(shù)顯著不為零，但之后逐漸衰減趨于零，也可以認(rèn)為

30、序列的偏自相關(guān)系數(shù)也具有拖尾性，因此階數(shù)p可由顯著不為零的偏自相關(guān)系數(shù)的數(shù)目決定，從圖中可以看出可以取1也可以取 2。為了檢驗(yàn)所選模型是否合適，可以采用上面以介紹到的AIC定則做最優(yōu)模型 識(shí)別PqAIC模型平穩(wěn)檢驗(yàn)11-3.056通過12-3.440不通過20-3.184通過21-3.292通過22-3.467通過30-3.205通過10-2.87通過40-3.1644通過表1AIC定則模型識(shí)別定階表AIC值可以通過Eviews軟件得出，利用表1的結(jié)果分析可知，在所有 ARMA(p,q)模型中，除去未通過的，ARMA(2,2)最優(yōu)，ARMA(2,1)次之，接下 來我們分別選擇ARIMA(2,2

31、,2)和 ARIMA(2,2,1)模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。5.2模型參數(shù)的估計(jì)與建立利用統(tǒng)計(jì)軟件，我們分別對(duì)ARIMA(2,2,2)和 ARIMA(2,2,1)這兩個(gè)模型來進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，相應(yīng)的圖示結(jié)果分別如下所示：CoefficientStd. Errort-StatisticProb.AR(1)-0 8333230.160417-5.5101450.0000AR-0.4250200.147115-2E890O50.0074MA0.9623670.02699235.653650.0000R-squared0354347Mean dependent var0.003055Adjusted R-squa

32、red0.303229S.D. dependent var0.053579S.E. of regression0.044563Akaike info criterion-3.292044Sum squared resid0.055605Schwarz criterion-3.15S271Log likelihood54.02663Hannan-Quinn criter.-3.246307Durbin-Watson stat2.072465Inverted AR Roots-.44-.48i-,44+.48iInverted MA Roots -.96圖9 ARIMA(2,2,1)模型估計(jì)參數(shù)C

33、oefficientStd. Errort-StatisticProb.AR(1)-0.2749170.191439-1.4S60560.1625AR(2)0.03604701851310.1947130.S471MA(1)0.0402090.0669640.6004600.5532MA(2)-0.9324270.06S397-13.6S2620.0000R-squared0.491642Mean dependent var0.003055Adjusted R-squared0.435158S.D. dependent var0 DK3579S.E. of regression0.040263

34、Akaike info criterion-3.466604Sum squared resid0.043781Schwarz criterion-3.281574Log likelihood57.73237Hannan-Quinn criter.-3.406209Durbin-Watson stat1.015632Inverted AR Roots.10-37Inverted MA Roots.95-.99圖10 ARIMA(2,2,2)模型估計(jì)參數(shù)AR rootsMA rootsInverse Roots of AR/MA Polynomial(s)Inverse Roots of AR/M

35、A Polynomial(s)1.5 III II II I1.0 -.I.I0.5-AR roots 0.0 -*又.MA roots I-0.5 -1.0-1.5 H i i i i i-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5圖11 ARIMA(2,2,1)和ARIMA(2,2,2)滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根的分布圖通過分析上面四圖中數(shù)據(jù)以及相應(yīng)參數(shù)估計(jì)的結(jié)果，我們可以得知， ARIMA(2,2,1)和模ARIMA(2,2,2)型的滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根均落在單位圓內(nèi)，滿足過程的平穩(wěn)要求。雖然，由于因調(diào)整后的Adjusted R2值前者較后者大，而且AIC和SC值前者較后者小，但是相比而言，ARI

36、MA(2,2,2)模型比ARIMA(2,2,1)的模 型估計(jì)參數(shù)的P值較大。因此下面我們分別對(duì)ARIMA(2,2,1)和ARIMA(2,2,2)及 修改后的ARIMA(2,2,2)進(jìn)行建模。5.3模型的檢驗(yàn)首先對(duì)模型ARIMA(2,2,1)做殘差序列檢驗(yàn)，殘差相關(guān)系數(shù)如下圖12AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob1 11 11 -0.061 -0.061 0.1273 0.7211 11 12 -0.074 -0.078 0.3199 0.8521匚11匚13 -0.137 -O.US 1.0035 0.80011114 0.

37、002 -0.025 1.0036 0.9091匚11匚15 -0.175 -0.206 2.2096 0.8191 11匚16 -0.079 -0.14S 24671 0.8721 11 17 0.189 0.138 3.9098 0.7811匚1ICZ18 -0.193 -0.273 5.6434 0.6871 11 19 0.187 0.177 7.2737 0.60811 111 110 0.042 0.020 7.3651 0.6911 11 111 0.193 0.U9 9.2734 0.597111112 0.043 0.21 9.3979 0.66911 111n 0.029

38、0.056 9.4449 0.7391匚11匚114 -02253 -0 184 13.297 0.5031匚11115 -0.125 0.046 14.239 0.50411 11116 0.083 -0.020 14.763 0.542圖12ARIMA(2,2,1)模型殘差序列檢驗(yàn)上面的結(jié)果顯示，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q值均小于對(duì)應(yīng)自由度卡方分布的檢驗(yàn)值， 且Prob列讀出拒絕原假設(shè)的概率較大，均大于0.05。所以殘差序列為白噪聲序 列，即模型ARIMA(2,2,1)通過檢驗(yàn)，所以我們選擇ARIMA(2,2,1)模型對(duì)我國(guó)GDP進(jìn)行分析預(yù)測(cè)。在前面的敘述中，我們以及得出了 ARIMA(2,2,1)模型

39、參數(shù)的估計(jì)圖見圖9,這樣就可以根據(jù)這個(gè)圖中的數(shù)據(jù)得到我們想要估計(jì)的模型方程了。A2ln(GDP) =0.883923A2ln(GDP) -0.425020&ln(GDP) +8 -0.962367e tt1t2tt1去掉差分形式可得模型為：ln(GDP) = 1.116ln(GDP) + 0.345ln(GDP) - 0.034ln(GDP) - 0.0425ln(GDP) tt1t2t3t4+ 8 - 0.96248 1將對(duì)數(shù)形式指數(shù)化即可得到GDP的值。6模型驗(yàn)證與估計(jì)在進(jìn)行正式預(yù)測(cè)之前，我們先對(duì)已經(jīng)得知事實(shí)的兩年數(shù)據(jù)進(jìn)行一下預(yù)測(cè)，然后用 這個(gè)預(yù)測(cè)值和實(shí)際值進(jìn)行比較，這樣我們就可以得出預(yù)測(cè)

40、的誤差有多大以及我們 預(yù)測(cè)的精度如何。下面我們利用ARIMA(2,2,1)模型對(duì)2011年和2012年ln(GDP) 進(jìn)行預(yù)測(cè)并且與實(shí)際值進(jìn)行比較。然后由此可計(jì)算得到相應(yīng)的北京市2011年 2012年預(yù)測(cè)GDP值，并且與其實(shí)際值進(jìn)行比較。結(jié)果如下：表2 2011年一2012年GDP 預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較年份預(yù)測(cè)值實(shí)際值相對(duì)誤差201116300.583216251.930.0029937201218325.44517879.40.0249474通過2011年一2012年的數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)合上面的兩個(gè)表，我們可以得出預(yù)測(cè)相對(duì) 誤差誤差均小于2.5%，這樣的誤差還是很小的，表明模型的選擇還是可行的， 預(yù)

41、測(cè)效果也是比較優(yōu)良的。二對(duì)模型ARIMA(2,2,2)進(jìn)行擬合分析首先對(duì)模型ARIMA(2,2,2)做殘差序列檢驗(yàn)，殘差相關(guān)系數(shù)如下圖Correlogram of RESIDate: 05729/15 Time: 17:27Sample: 1973 2012Included observations: 32AutocorrelationPartial CorrelationAC PAC Q-Stat Prob11111 -0.012 -0.012 0.0043 0.94511112 0.042 0.042 0.0692 0.96611113 0.062 0.063 0.2111 0.97611

42、1 114 -0.027 -0.027 0.2396 0.99J1匚11匚15 -0.113 -0.120 0.7545 0.900111 116 -0.025 -0.040 0.8054 0.99211 1117 0.034 0.043 0.8553 0.99711118 -0.023 -0.004 0.8801 0.99911 111 19 0.109 0.105 1.4431 0.9981111 110 0.053 0.03S 1.582S 0.999可以看出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Q值均小于對(duì)應(yīng)自由度卡方分布的檢驗(yàn)值，且Prob列讀出 拒絕原假設(shè)的概率較大，均大于0.05，接近于1。所以殘差序列為白

43、噪聲序列， 即模型ARIMA(2,2,2)通過檢驗(yàn)。ARIMA(2,2,2)模型參數(shù)的估計(jì)圖見圖10，這樣就可以根據(jù)這個(gè)圖中的數(shù)據(jù)得到我們想要估計(jì)的模型方程了。& ln(GDP) = 0.274917& ln(GDP) - 0.036047& ln(GDP) tt1t2+ - 0.040209s 1 - 0.932427s 2去掉差分形式可得模型為：ln(GDP) = 1.725083 ln(GDP) - 0.414119 ln(GDP) - 0.347011ln(GDP)+ 0.036047ln(GDP) 4 +s - 0：040209 1 - 0.932427s 2將對(duì)數(shù)形式指數(shù)化即可得到

44、GDP的值。同樣。我們用2011年和2012年的真實(shí)數(shù)據(jù)跟估計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如下:年份預(yù)測(cè)值實(shí)際值相對(duì)誤差201116649.7993151756216251.930.02448201218501.2486163958717879.40.03478我們可以得出預(yù)測(cè)相對(duì)誤差誤差均小于3.5%。相比于ARIMA(2,2,1)誤差較大。三，對(duì)模型ARIMA(2,2,2)進(jìn)行的改進(jìn)從圖10可以看出AR(1),AR和MA的系數(shù)對(duì)應(yīng)的p值較大，所以統(tǒng)計(jì)上不顯 著。因此剔除AR(1),AR和MA(1)這兩項(xiàng)，再對(duì)模型進(jìn)行擬合。結(jié)果如下：CoefficientStd. Error t-StatisticP

45、rob.MA(2)-0.9453570.044930-21.039230.0000R-squared0.454765Mean dependent var-0.000102Adjusted R-squared0.454765S.D. dependent var0.05S652S.E. of regression0.043308Akaike info criterion-S.411110Sum squared resid0.060020Schwarz criterion-3.365761Log likelihood57.23331Hannan-Quinn criter.-3.395851Durbi

46、n-Watson stat2.177139Inverted MA Roots.97-.97.08 -.04 -.00-.04 -.08-.15-.10-.05-.00-.05-.10-.151980198519901995200020052010同樣可知滯后多項(xiàng)式倒數(shù)根均落在單位圓內(nèi)。為平穩(wěn)過程-.12畫出改進(jìn)模型ARIMA(2,2,2)的殘差序列圖，如下Residual Actual Fitted再對(duì)其進(jìn)行殘差分析，殘差相關(guān)系數(shù)圖如下:Correlogram of RESIDAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob1匚11

47、11 -0.178 -0.173 1 1496 0.20411 111 12 0.101 0.071 1.5262 0.4661111 13 0.021 0.052 1.5423 0.672111 114 -0.023 -0.019 1.5647 0.3151 11 115 -0078 -0.096 1.3172 0.87411116 0.024 -0.003 1.3411 0.93411 111 17 0.032 0.057 1.3363 0.9661匚11 18 -0.132 -0.120 2.6949 0.9521Zl 11 19 0.221 0.176 5.0446 0.8301 1111 110