1、見中點，想中線一一倍長中線的妙用做幾何題很重要的一個事就是分析圖形的構(gòu)造，同樣一個圖形，可以由不同條件構(gòu)造而成，所以會存在條件與結(jié)論互換的變式題，究其原因，在于圖形是確定一定以及肯定的.了 解構(gòu)造圖形的必要條件，以及圖形中的相關(guān)結(jié)論，各種變式便盡收眼底.而怎么確定條件，換個角度來想，如果是我來畫這個圖，我將從何處下筆？作圖的過程便是 辨識條件必要性的過程.倍長中線法的主要思路表現(xiàn)在：.三角形的中線：三角形的頂點和對邊中點的連線.證明線段不等關(guān)系：在三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊只差小于第三邊.中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用倍長中線法”添加輔助線。所謂倍長中

2、線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法。.添加輔助線方法，并靈活運用。一、原題呈現(xiàn)如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=/C=90, AE平分/ DAB, E是BC的中點.求證：DE平分/CDA.問題本身并不復(fù)雜，一步倍長中線即可解決問題:延長 AE、DC 交于點 F,易證 ABEA FCE ,則/ DAE = /BAE=/F, 易證DEA0DEF, ADE = /CDE, .DE平分/CDA.一般地對問題變式，將條件與結(jié)論互換，比如：其他條件不變，已知 AE平分/ DAB, DE平分/ CDA,證：E是BC中點.問題亦可證明，但方法

3、不同，過點E作EH LAD交AD于點H,HDE易證ABEMHE, CDEA HDE ,，BE=HE = CE.小結(jié)1：條件不同，出發(fā)點不用，解決問題的方法不用，但結(jié)論一致.二、圖形分析我們要看的也不僅僅是這兩個小題怎么解決，而是，他們?yōu)槭裁茨艹深}？回到最初的題目，如果我是編輯，怎么樣能畫出一個標準的圖？首先如果任意畫直角梯形 ABCD,接著作/ DAB角平分線交BC于點巳顯然并不能保 證點E是BC中點，即對于四邊形 ABCD是有要求的.從下圖中不難發(fā)現(xiàn)有： AD=AB+CD .但即便知道如此， 這樣的四邊形也不容易畫，所以作圖的關(guān)鍵不是先畫這個四邊形，而是先滿足條件“ AE平分/ DAB、“E

4、是BC”中點，再去補剩下的邊邊角角.如圖，作AB/DC,作/ BAD角平分線與 DC相交于點G,取AG中點即為點 E, 過點E作AB的垂線即可確定 B、C位置.而如果用兩個角平分線則更容易確定：先作角平分線，再作垂線.小結(jié)2:分析幾何圖形可考慮從構(gòu)成圖形的關(guān)鍵性條件著手分析.而關(guān)鍵性條件從作圖 中找.三、變式設(shè)計根據(jù)前面例子可知，條件：AE平分/ BAD;DE平分/ ADC ;E是BC中點.在本題中滿足兩個即可 確定圖形，即可得第 3個結(jié)論.以上能否加入條件：AD=AB+CD?不妨試一試：變式1:如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=/C=90, AE平分/ DAB, E是BC的中點. 求證：A

5、D=AB+CD.證明：延長 AE與DC延長線交于點 F ,易證ABE0FCE,易證AED0FED, . AD=DF = DC + CF=DC+AB, 即 AD=AB+CD.變式2:如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=Z C=90 ,點E是BC上一點，AE平分/ DAB ,DE 平分/ ADC ,求證：AD=AB+CD .證明：過點 E 作 EHAD 交 AD 于點 H,易證ECDEHD, EBAEHA, ，AD=AH + DH=AB+CD,即 AD=AB+CD.變式 3:如圖，在四邊形 ABCD 中，/ B=/C=90, AE 平分/ DAB , AD=AB+CD . 求證：E是BC的中點.變式4:如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=/C=90, E是BC的中點，AD=AB+CD. 求證：AE平分/DAB.變式3、4證明也顯然，由以上4個變式，可知條件：AD=AB+CD可作為確定圖形的條件之 一，從圖中來看，當確定 AD邊后，DC與AB的長度是唯一確定的.因此在下圖中,DCAEB以下條件：AE平分/ BAD ;DE平分/ ADC ;E是BC中點； AD=AB+CD.有其二便可確定圖形.小結(jié):3:確定圖中等價條件，問題隨便造.四、其他條件呢圖中始終存在/ B=/C=90 ,其作用在于得到 AB/CD,若將條件改為：