1、簡諧振動的描述和波動要求1簡諧振動的描述和波動要求目錄第1章 振動第2章 波動第3章 光的干涉第4章 光的衍射第5章 光的偏振2簡諧振動的描述和波動要求第1章 振動 1 簡諧振動的描述 2 簡諧振動的能量 3 阻尼振動與阻尼受迫振動 4 簡諧振動的合成3簡諧振動的描述和波動要求1 簡諧振動的描述 一、簡諧振動的判據(jù) 二、簡諧振動的描述4簡諧振動的描述和波動要求 機械振動： 物體位置在某一值附近來回往復的變化 廣義振動： 一個物理量在某一定值附近往復變化 該物理量的運動形式稱振動 物理量：等等5簡諧振動的描述和波動要求共振(簡諧振動） 振動受迫振動自由振動阻尼自由振動無阻尼自由振動無阻尼自由非諧

2、振動無阻尼自由諧振動振動的形式:6簡諧振動的描述和波動要求重要的振動形式是 簡諧振動(S.H.V.) simple harmonic vibration物理上：一般運動是多個簡諧振動的合成數(shù)學上： 付氏級數(shù) 付氏積分也可以說 S.H.V.是振動的基本模型或說 振動的理論建立在S.H.V.的基礎上注意：以機械振動為例說明振動的一般性質(zhì)7簡諧振動的描述和波動要求一、簡諧振動的判據(jù)表征了系統(tǒng)的能量位移振幅最大位移由初始條件決定1.運動學表達式廣義：振動的物理量彈簧諧振子特征量：8簡諧振動的描述和波動要求位相 周相系統(tǒng)的周期性 固有的性質(zhì)稱固有頻率圓頻率相位初相位角頻率 取決于時間零點的選擇初位相頻率

3、周期9簡諧振動的描述和波動要求2. 動力學方程以彈簧諧振子為例設彈簧原長為坐標原點由牛頓第二定律令 簡諧振動整理得10簡諧振動的描述和波動要求例1 復擺（物理擺）的振動對比諧振動方程知：但若做小幅度擺動 即當由轉動定律得動力學方程一般情況不是簡諧振動時滿足的方程：11簡諧振動的描述和波動要求振動的物理量 固有圓頻率角位移振動表達式對比12簡諧振動的描述和波動要求思考:1)證明單擺小幅度擺動時的運動是簡諧振動并求出振動的頻率2）若令一單擺的頻率與本例中的復擺的頻率相等 單擺的擺長l應為多少？（此擺長l叫復擺的等值單擺長）13簡諧振動的描述和波動要求例2 電磁震蕩電路振動的物理量是電量電流也是諧振

4、物理量對比14簡諧振動的描述和波動要求1）諧振動表達式從對象的運動規(guī)律出發(fā)（電學規(guī)律 力學規(guī)律等）S.H.V.的標準形式小結2）動力學方程 S. H. V. 的判據(jù)15簡諧振動的描述和波動要求二、 簡諧振動的描述1.解析描述16簡諧振動的描述和波動要求均是作諧振動的物理量頻率相同振幅的關系相位差超前 落后17簡諧振動的描述和波動要求2.曲線描述18簡諧振動的描述和波動要求3.旋轉矢量描述用勻速圓周運動 幾何地描述 S H V規(guī)定端點在x軸上的投影式逆時針轉以角速度19簡諧振動的描述和波動要求1） 直觀地表達振動狀態(tài)優(yōu)點當振動系統(tǒng)確定了振幅以后表述振動的關鍵就是相位 即表達式中的余弦函數(shù)的綜量而

5、旋轉矢量圖可直觀地顯示該綜量分析解析式可知用圖代替了文字的敘述20簡諧振動的描述和波動要求如 文字敘述說 t 時刻彈簧振子質(zhì)點 在正的端點旋矢與軸夾角為零 質(zhì)點經(jīng)二分之一振幅處向負方向運動意味意味21簡諧振動的描述和波動要求質(zhì)點過平衡位置向負方向運動同樣 0向負方向運動 0 0 0或 0 向正向運動23簡諧振動的描述和波動要求由圖看出：速度超前位移加速度超前速度稱兩振動同相2） 方便地比較振動步調(diào)位移與加速度稱兩振動反相若24簡諧振動的描述和波動要求3）方便計算用熟悉的圓周運動代替三角函數(shù)的運算例：質(zhì)量為m的質(zhì)點和勁度系數(shù)為k的彈簧 組成的彈簧諧振子 t = 0時 質(zhì)點過平衡位置且向正方向運動

6、求：物體運動到負的二分之一振幅處時 所用的最短時間25簡諧振動的描述和波動要求解：設 t 時刻到達末態(tài)由已知畫出t = 0 時刻的旋矢圖再畫出末態(tài)的旋矢圖由題意選藍實線所示的位矢設始末態(tài)位矢夾角為因為得繁復的三角函數(shù)的運算用勻速圓周運動的一個運動關系求得26簡諧振動的描述和波動要求2 簡諧振動的能量 如 彈簧諧振子系統(tǒng)機械能守恒以彈簧原長為勢能零點27簡諧振動的描述和波動要求討論1) 普適2) 時間平均值3) 由簡諧振動能量求振動28簡諧振動的描述和波動要求例 勁度系數(shù)為k的輕彈簧掛在質(zhì)量為m半徑為R的勻質(zhì)圓柱體的對稱軸上使之作無滑動的滾動證明：圓柱體的質(zhì)心作諧振動 并求出諧振動的角頻率 水平

7、面有時由諧振動能量求諧振動的特征量會更方便29簡諧振動的描述和波動要求彈簧原長處為坐標原點設原點處為勢能零點質(zhì)心在xc時系統(tǒng)的機械能為 水平面解：分析振動系統(tǒng)機械能守恒 建坐標如圖（注意上式中的是剛體轉動的角速度）30簡諧振動的描述和波動要求兩邊對t求導數(shù)得將代入上式得31簡諧振動的描述和波動要求與動力學方程比較知 物理量xc的 運動形式是諧振動方便圓頻率周期32簡諧振動的描述和波動要求3 阻尼振動與阻尼受迫振動 一、 阻尼振動 二、受迫振動 三、共振 33簡諧振動的描述和波動要求一、 阻尼振動 1.阻尼振動 系統(tǒng)在振動過程中 受到粘性阻力作用后 能量將隨時間逐漸衰減 系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成

8、正比 比例系數(shù) 叫阻力系數(shù) 關系式為: 34簡諧振動的描述和波動要求令稱阻尼因子系統(tǒng)固有頻率2.阻尼振動的動力學方程由牛頓第二定律有整理得式中35簡諧振動的描述和波動要求如果無阻尼是諧振動的形式存在阻尼仍振動但能量會衰減如果能振動起來（欠阻尼情況）上述方程的解是什么形式呢？從物理上考慮：阻尼振動方程為3.振動表達式36簡諧振動的描述和波動要求所以 解的形式必定是在諧振動的基礎上乘上一衰減因子即形式為：可以證明：37簡諧振動的描述和波動要求過阻尼臨界阻尼欠阻尼xt0三種阻尼振動過阻尼：臨界阻尼：欠阻尼：38簡諧振動的描述和波動要求二 、受迫振動 1.受迫振動振動系統(tǒng)在外界驅動力的作用下維持等幅振

9、動 2.受迫振動的動力學方程 設驅動力按余弦規(guī)律變化 即由牛頓第二定律有39簡諧振動的描述和波動要求整理得其中固有頻率阻尼因子40簡諧振動的描述和波動要求3.穩(wěn)定狀態(tài)的振動表達式 受迫振動系統(tǒng)達到穩(wěn)定時 應做與驅動力頻率相同的諧振動 其表達式為：用旋矢法可求出上式的A和41簡諧振動的描述和波動要求42簡諧振動的描述和波動要求畫任意時刻旋矢圖由旋矢圖可知：得驅動力初相為零位移與驅動力的相位差43簡諧振動的描述和波動要求在弱阻尼即 0的情況下系統(tǒng)的振動速度和振幅都達到最大值 共振當 = 0時三、共振 共振現(xiàn)象普遍有利有弊160年前 拿破侖入侵西班牙 橋塌幾十年后 圣彼德堡卡坦卡河1940年 美國

10、橋 大風 流速44簡諧振動的描述和波動要求小號發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎45簡諧振動的描述和波動要求1940年華盛頓的塔科曼大橋建成同年7月的一場大風引起橋的共振 橋被摧毀46簡諧振動的描述和波動要求4 簡諧振動的合成一、兩個振動方向相同 S.H.V.的合成二、N個振動方向相同 S.H.V.的合成三、 拍四、 兩個垂直方向諧振動的合成五、諧振分析47簡諧振動的描述和波動要求 當一個物體同時參與幾個諧振動時 就需考慮振動的合成問題 本節(jié)只討論滿足線性疊加的情況 本節(jié)所討論的同頻率的諧振動合成結果 是波的干涉和偏振光干涉的重要基礎 本節(jié)所討論的不同頻率的諧振動合成結果 可以給出重要的實際應用48簡諧

11、振動的描述和波動要求一、振動方向相同 振動頻率相同的 兩個SHV的合成線性疊加結果：仍是諧振動振動頻率仍是振動的振幅（雙光束干涉的理論基礎）49簡諧振動的描述和波動要求 若反相 合振動減弱同相 合振動加強特殊結果： 若 若兩振動同相兩振動反相可能的最強振動“振動加振動”不振動50簡諧振動的描述和波動要求二、 振動方向相同 振動頻率相同 振幅相同 相鄰相位差相同 的N個SHV的合成 51簡諧振動的描述和波動要求線性相加用旋矢法求解由圖得52簡諧振動的描述和波動要求一般情況特例1）主極大2）的倍數(shù)的整數(shù)極小53簡諧振動的描述和波動要求3）次極大（多光束干涉的理論基礎）特例1）主極大2）的倍數(shù)的整數(shù)

12、極小54簡諧振動的描述和波動要求例：三個同頻率 同振幅A0 同方向的SHV相鄰相位差為 /2 求：合振幅A解：畫旋矢圖/3/3由圖很容易得到 A = 2A0或將已知條件代入公式得出結果（請自解）55簡諧振動的描述和波動要求三、 振動方向相同 頻率略有差別的 振幅相等的 兩個SHV的合成 拍分振動：線性相加：結論： 合成已不再是諧振動 但考慮到 1 2 可以用 諧振動表達式等效 加深認識56簡諧振動的描述和波動要求分析：則較隨時間變化緩慢將合成式寫成諧振動形式57簡諧振動的描述和波動要求合振動可看做是振幅緩變的諧振動合成振動如圖示表達式為58簡諧振動的描述和波動要求 拍 合振動的周期性的強弱變化

13、叫做拍 拍頻 單位時間內(nèi)合振動加強或減弱的次數(shù)叫拍頻測未知頻率的一種方法由式得59簡諧振動的描述和波動要求四、兩個垂直方向諧振動的合成1. 同頻率的諧振動合成線性相加：軌跡方程是橢圓即 合成的一般結果是橢圓60簡諧振動的描述和波動要求不同 橢圓形狀、旋向也不同 = = 3/2 = 5/4 = 7/4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3/4（-3/4）（-/2）（-/4）61簡諧振動的描述和波動要求例1 用旋矢法作圖右旋62簡諧振動的描述和波動要求a)SHVb)振動方向旋轉c)正橢圓若（偏振光干涉的理論基礎）例2 特殊結果圓63簡諧振動的描述和波動要求 2.頻率比是簡單的正整數(shù)合成軌跡為穩(wěn)定的閉合曲線李薩如圖 yxA1A20-A2- A1 例如左圖：應用：測定未知頻率64簡諧振動的描述和波動要求五、諧振分析 利用付里葉分解 可將任意振動分解成若干SHV的疊加(合成