1、10:00:35第八章 無窮級數(shù)8.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 8.2 數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法 問題: 其原函數(shù)都不能用初等函數(shù)表示，利用無窮級數(shù)作為工具就可以處理這類問題。離散量之和的數(shù)學(xué)模型.無窮級數(shù)也是以極限為理論基礎(chǔ) 無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，是研究無限個(gè)的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)工具。無窮級數(shù)是一個(gè)與數(shù)列極限有著密切聯(lián)系的概念，是一種特殊形式的數(shù)列極限。 無窮級數(shù)作為一種處理數(shù)據(jù)的理論與方法，它在表示等方面都有它獨(dú)特的貢獻(xiàn)。函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)，求解微分方程以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算第八章 無窮級數(shù) 在經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，如股票定價(jià)、年金、現(xiàn)金流貼現(xiàn)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用.第八章 無窮級數(shù)

2、8.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 8.2 數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法 返 回微積分CALCULUS 第八章 無窮級數(shù) 第一節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 1.理解數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念教學(xué)目的:常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂與發(fā)散的概念及收斂級數(shù)的 基本性質(zhì)重點(diǎn)：2.掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)的斂散性3.掌握無窮級數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件 無窮級數(shù)是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)研究中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。早在我國古代的魏晉時(shí)期，我國數(shù)學(xué)家劉徽在利用割圓術(shù)求圓的面積時(shí)，就萌發(fā)了無窮級數(shù)的思想。18-19世紀(jì),無窮級數(shù)在并伴隨著極限理論的產(chǎn)生歐洲逐步得到發(fā)展，建立起了一套完整的理論。導(dǎo)言：8.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì) 求和運(yùn)算

3、是數(shù)學(xué)的最基本運(yùn)算，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)隨時(shí)都可以遇到，這些求和主要是有限項(xiàng)之和.例：等比數(shù)列求和 在實(shí)際問題中, 除了要遇到有限項(xiàng)求和外, 經(jīng)常還要遇到無窮個(gè)數(shù)量相加的問題.例：數(shù)值相加、函數(shù)相加、數(shù)列求和等.一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念例：8.1 數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念 圓的面積問題:則有這里就出現(xiàn)了無窮個(gè)數(shù)量相加問題.半徑為 的圓的面積為 邊為底、頂點(diǎn)在圓周上作三角形其面積和 為 以正六邊形在圓內(nèi)作圓的內(nèi)接正六邊形其面積為 例：以此類推正六邊形的面積正十二邊形的面積正 形的面積正二十四邊形的面積割圓術(shù)（無窮級數(shù)）一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)給定數(shù)列u1, u2, , un , ，或一般

4、項(xiàng). 其中第n 項(xiàng)un稱為通項(xiàng)稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)或無窮級數(shù), 記為 用加號將其連接起來所得和式按其給定次序 1.定義1 （1）（2）都是數(shù)項(xiàng)級數(shù).例：簡稱為級數(shù), （1） 無窮級數(shù)的定義只是在形式上表達(dá)了無窮多個(gè)數(shù)的和。 無窮級數(shù)的定義只是在形式上表達(dá)了無窮多個(gè)數(shù)的和。應(yīng)該怎樣理解其意義呢？例：用 表示上式的前n 項(xiàng)和，即這樣就得到一個(gè)數(shù)列 （部分和數(shù)列）解 由數(shù)列極限概念，可知數(shù)列 在 時(shí)的極限，一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念可以看成上式的和.由等比數(shù)列求和公式得于是所以 此例說明為了解決無窮項(xiàng)相加問題，按照有限與無限之間的辨證轉(zhuǎn)化關(guān)系。而由于任意有限個(gè)數(shù)的和 因此，我們可以通過考察無窮級數(shù)的前n項(xiàng)的和隨著

5、n的變化趨勢來認(rèn)識這個(gè)級數(shù)。是可以完全確定的，部分和數(shù)列2.級數(shù)的前n項(xiàng)部分和與部分和數(shù)列：當(dāng)n依次取1,2,3,時(shí),即它們構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列稱為級數(shù)的前n項(xiàng)部分和. 部分和數(shù)列,級數(shù) 的前n項(xiàng)和一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念則稱級數(shù) 收斂, 若 不存在, 則稱級數(shù) 發(fā)散.若級數(shù) 的部分和數(shù)列記為并稱此極限值 S 為級數(shù)的和, 定義3.級數(shù)收斂與發(fā)散注：發(fā)散的級數(shù)沒有和.當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，因?yàn)榘l(fā)散的級數(shù)沒有和，如果使用了發(fā)散級數(shù)的和，就會導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)果，故判別級數(shù)是否收斂是非常重要的級數(shù)斂散性的判定方法由此，判斷一個(gè)級數(shù)是收斂的還是發(fā)散的，只要看它的部分和數(shù)列 有無極限即可。 這樣，數(shù)項(xiàng)級

6、數(shù)的斂散性問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)列的斂散性問題(定義法)一 、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念例1解得所以故該級數(shù)收斂，其和為1.分析：（折項(xiàng)法）（裂項(xiàng)相消法） 例2 判定等比級數(shù) 的斂散性. 解當(dāng)|q|1時(shí), 即級數(shù)收斂.即級數(shù)發(fā)散.即級數(shù)發(fā)散.即級數(shù)發(fā)散.不存在，（又稱為幾何級數(shù)）(結(jié)論） 幾何級數(shù)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)級數(shù)它可作為討論其它級數(shù)斂散性的參照級數(shù)。根據(jù)幾何級數(shù)的斂散性結(jié)論，可以直接從公比的值來判定級數(shù)的斂散性將一個(gè)函數(shù)展開成無窮級數(shù)等等各個(gè)方面都有廣泛而幾何級數(shù)是收斂級數(shù)中最著名的一個(gè)級數(shù).幾何級數(shù)在判斷無窮級數(shù)的收斂性、求無窮級數(shù)的和以及重要的應(yīng)用。例解因?yàn)楣扔兴云浜徒庖驗(yàn)楣扔兴?，例級?shù) 是否收斂的基本

7、方法， 根據(jù)級數(shù)的部分和數(shù)列 有無極限雖然是判定但是，大多數(shù)級數(shù)的 部分和數(shù)列是很難求得的，因此，有必要研究級數(shù)的基本性質(zhì)，尋求比較簡單的判別級數(shù)斂散性的方法。 由于對無窮級數(shù)的斂散性的討論可轉(zhuǎn)化為對它的部分和數(shù)列的斂散性的研究，因此，根據(jù)收斂數(shù)列的基本性質(zhì)可得關(guān)于收斂級數(shù)的基本性質(zhì)。二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)二、數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本性質(zhì)若級數(shù) 收斂于S, 則級數(shù) 收斂于k S. 設(shè)級數(shù) 與 的部分和分別為 與由于 ，從而級數(shù) 與 的斂散性相同.性質(zhì)1（數(shù)乘性）證或同時(shí)發(fā)散，同時(shí)收斂于是極限 對任意常數(shù)結(jié)論: 級數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.則有則級數(shù)二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì) 若級數(shù) 與 分

8、別收斂于則 必收斂, 其和為設(shè) 的部分和為 ， 與因?yàn)橛谑撬裕墧?shù) 收斂于證所以（可加性）性質(zhì)2S和T，結(jié)論: 收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減.則有推論：例 判定 的收斂性.所以由級數(shù)收斂性質(zhì)知因?yàn)榈缺燃墧?shù) 與 均收斂.解二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)例 判斷級數(shù)的斂散性.解由幾何級數(shù)的斂散性結(jié)論知，發(fā)散，收斂，由性質(zhì)2的推論得，注：有可能收斂，也有可能發(fā)散。例發(fā)散，發(fā)散，收斂二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)例收斂，則也收斂.發(fā)散，則也發(fā)散.在級數(shù) 中添加、去掉或改變有限項(xiàng),所得新級數(shù)與原來級數(shù)的斂散性相同.（有限項(xiàng)性） 性質(zhì)3收斂時(shí)其和可能發(fā)生變化.二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)注：在需討論級數(shù)的斂散性而不關(guān)心其和

9、為多少時(shí)，可只考慮該級數(shù)中從某項(xiàng)以后的項(xiàng)組成的新級數(shù)的斂散性。 收斂級數(shù)加括號后所得新級數(shù)仍收斂且和不變. （順項(xiàng)可括性） 性質(zhì)4注收斂級數(shù)去括號后所得的新級數(shù)不一定收斂. 收斂 發(fā)散發(fā)散級數(shù)加括號后所得的新級數(shù)不一定發(fā)散.如果加括號后所得的新級數(shù)發(fā)散， 推論則原級數(shù)也發(fā)散.該性質(zhì)說明收斂級數(shù)滿足加法的結(jié)合律.二、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)例 定理(收斂必要條件)若 收斂,又證由于 收斂，.注意：這個(gè)定理的逆命題不正確.但若 則 發(fā)散.則因此由極限的運(yùn)算法則可知三、收斂的必要條件（逆否命題）即 （必要不充分）當(dāng)考察一個(gè)級數(shù)是否收斂時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)考慮趨于零。例 判定級數(shù) 的斂散性.解 所以級數(shù)為發(fā)散級數(shù).

10、所給級數(shù)的通項(xiàng) 定理(收斂必要條件)若 收斂,則但必須注意的是，而不是充分條件，而不能用即 定理(收斂必要條件)若 收斂,則例 證明調(diào)和級數(shù) 發(fā)散.但級數(shù)發(fā)散.有分析 構(gòu)造幾何圖形，例 證明調(diào)和級數(shù) 發(fā)散.此部分和大于曲邊梯形的面積所以故調(diào)和級數(shù)發(fā)散.1 2 3 4 n n+1證明一即但級數(shù)發(fā)散.有分析等于圖形中矩形面積之和由圖可知級數(shù)的部分和 定理(收斂必要條件)若 收斂,則注:當(dāng)n越來越大時(shí),調(diào)和級數(shù)的項(xiàng)變得越來越小,然而,慢慢地 -非常慢慢地-它的和將增大并超過任何有限值.調(diào)和級數(shù)的這種特性使一代又一代的數(shù)學(xué)奧雷姆(1323-1382)在極限概念被完全理解之前約400年首次證明的.下面的

11、數(shù)字將有助于我們更好地理解此級數(shù).家們困惑并為之著迷.它的發(fā)散性是由法國學(xué)者尼古拉.此級數(shù)的前1000項(xiàng)相加約為7.485;相加約為14.357;前100萬項(xiàng)前10億項(xiàng)相加約為21;前10000億項(xiàng)相加約為28等等;更有學(xué)者估計(jì)過,為了使調(diào)和級數(shù)的和等于100,必須把如果我們試圖在一 調(diào)和級數(shù) 發(fā)散.個(gè)很長的紙帶上寫下此級數(shù),直到它的和超過100,即使每個(gè)項(xiàng)只占1mm長的紙帶,也必須使用的紙帶,這大約為但是宇宙的已知尺寸調(diào)和級數(shù)的某些特性至今仍未得到解決. 調(diào)和級數(shù) 發(fā)散.（一）數(shù)項(xiàng)級數(shù)的基本概念1.數(shù)乘性（二）級數(shù)的基本性質(zhì)2.可加性3.有限項(xiàng)性4.加括號性部分和數(shù)列前n項(xiàng)部分和5.收斂的必

12、要條件小結(jié)（三）基本審斂法(四)結(jié)論1.幾何級數(shù)2.調(diào)和級數(shù)發(fā)散.繼續(xù)判斷.則級數(shù)發(fā)散。且級數(shù)收斂時(shí)，小結(jié)作業(yè): P269 4（1，2，5）；5 下次課內(nèi)容第二節(jié) 數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性判別法 (1) 若 收斂， 發(fā)散, 則 必定發(fā)散. (2) 若 發(fā)散， 也發(fā)散, 則 不一定發(fā)散. (4) 若 發(fā)散, 思考與練習(xí)：以下命題請給出證明或反例.(3) 若級數(shù) 發(fā)散, 則級數(shù) (k0) 必定發(fā)散.則添括號的新級數(shù)不一定發(fā)散.思考題例求這個(gè)級數(shù)。解因?yàn)樗詮亩仕蟮募墧?shù)為例2 判定級數(shù) 的收斂性.解可知故所給級數(shù)收斂，且和為1.所給級數(shù)的前n項(xiàng)和 例 (芝諾悖論)烏龜與阿基里斯賽跑問題:芝諾(古希臘哲學(xué)家)認(rèn)為如果先讓烏龜爬行一段路程后,再讓阿基里斯(古希臘神話中的賽跑英雄)去追它,那么阿基里斯將永遠(yuǎn)追不上烏龜. 芝諾的理論根據(jù)是：阿基里斯在追上烏龜前,必須先到達(dá)烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn),這時(shí)烏龜已向前爬行了一段路程,于是,阿基里斯必須趕上這段路程,可是烏龜此時(shí)又向前爬行了一段路程如此下去,雖然阿基里斯離烏龜越來越接近,但卻永遠(yuǎn)追不上烏龜. 該結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,但從邏輯上講這種推論卻沒有任何矛盾這就是著名的芝諾悖論. 在此,我們用