1、第一節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì) 本節(jié)要點(diǎn) 本節(jié)通過(guò)原函數(shù)引出了不定積分的概念, 并得到不定一、原函數(shù)與不定積分二、不定積分的計(jì)算積分的簡(jiǎn)單性質(zhì).一、原函數(shù)和不定積分的概念 1.原函數(shù) 在第二章中曾提出對(duì)已知 求 的求導(dǎo)問(wèn)題, 而現(xiàn)在的問(wèn)題是:的 這類問(wèn)題就是求原函數(shù)問(wèn)題.若已知, 求滿足即對(duì)任一 都有定義3.1 如果在區(qū)間 內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為或則稱函數(shù) 為 在區(qū)間 內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).例如 函數(shù) 的一個(gè)原函數(shù)為又如,這是因?yàn)楣? 的原函數(shù)為 我們知道, 對(duì)函數(shù)而言, 如果導(dǎo)函數(shù)存在的話, 導(dǎo)函數(shù)是唯一的, 但某個(gè)函數(shù)的原函數(shù)是否唯一呢？為此, 先引入:間 內(nèi)存在可導(dǎo)函數(shù) 使得對(duì)任一 都有即連續(xù)

2、函數(shù)一定存在原函數(shù).如果 是 的原函數(shù), 則 的原函數(shù). 其中 為任意常數(shù); 并且 的原函數(shù)一定可寫成 的形式.原函數(shù)存在定理如果函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)連續(xù), 則在區(qū)也是 2.不定積分 由上面的討論, 可得到如下定義:定義3.2 在區(qū)間 內(nèi), 函數(shù) 的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為 在區(qū)間 內(nèi)的不定積分, 記作其中記號(hào)稱為被積函數(shù)，稱為積分號(hào)，稱為被積表達(dá)式，稱為積分變量 由此定義知, 若 是 的一個(gè)原函數(shù), 則的不定積分為 可見, 要計(jì)算函數(shù)的不定積分, 只需找出它的一個(gè)原函數(shù)即可.例3.1 容易得到下面的不定積分: 注1 在不定積分表達(dá)式中最后的常數(shù) 不能漏掉. 注2 如果不計(jì)任意常數(shù)，不定積分運(yùn)算與求

3、導(dǎo)運(yùn)算是互逆的因?yàn)?，由定義可知二、基本積分公式 由原函數(shù)的定義, 以及求導(dǎo)公式, 可以得到下面這些基本積分公式.例3.2 求解倒數(shù)關(guān)系例3.3 求解例3.4 求解三、不定積分的性質(zhì)和應(yīng)用舉例 由原函數(shù)與不定積分的定義不難得到如下不定積分的性質(zhì): 不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 兩個(gè)函數(shù)和（差）的不定積分等于這兩個(gè)函數(shù) 的不定積分的和（差）, 即（3.1）性質(zhì)2 求不定積分時(shí), 被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái), 即（3.2）例3.5 求積分解 先將 展開, 然后再利用積分公式及運(yùn)算法則, 得例3.6 求積分解例3.7 求積分解例3.8 求積分解 將被積函數(shù)拆成兩項(xiàng)的和, 可得例3.9 求積

4、分解 分子部分減1加1后, 得 例3.10 求積分解 利用三角公式得例3.11 求積分解 利用半角公式得例3.12 求積分解 由三角公式得例3.13 求積分解 由倍角公式得例3.14 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2), 且其上任一點(diǎn)處的切線斜解 設(shè)此曲線的方程為 由題設(shè)得關(guān)系即, 是 的一個(gè)原函數(shù), 因 且曲率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍, 求此曲線的方程.線過(guò)(1, 2), 代入曲線方程得 故所求曲線的方程為 對(duì)本例說(shuō)明: 函數(shù) 的原函數(shù)的圖形稱為 積分曲線. 當(dāng)常數(shù) 取不同值時(shí), 曲線間是平行的. 因而可通過(guò)某條積分曲線的平移得到所求曲線.例3.15 以初速 將質(zhì)點(diǎn)鉛直上拋, 不計(jì)阻力, 求其運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解 所謂運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 是指質(zhì)點(diǎn)的位置關(guān)于時(shí)間 的函數(shù)關(guān)系, 為此建立坐標(biāo)系統(tǒng)如下: 把質(zhì)點(diǎn)所在的鉛直線取作 軸, 方向向上, 軸與地面的交點(diǎn)取作坐標(biāo)原點(diǎn). 開始時(shí)刻為 此時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在的位置的坐標(biāo) 為 在時(shí)刻 時(shí)質(zhì)點(diǎn)的坐