1、學(xué)習(xí)必備 歡迎下載數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計 平遙中學(xué) 史宏剛【教學(xué)目標(biāo) 】學(xué)問與技能 ：1. 明白由歸納法得出的結(jié)論具有不行靠性, 懂得數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì); 2. 把握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟及其簡潔應(yīng)用；3. 培育同學(xué)觀看、探究、分析、論證的才能 過程與方法 : , 體會類比的數(shù)學(xué)思想1. 創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)愛好,讓同學(xué)體驗(yàn)學(xué)問的發(fā)生與進(jìn)展過程 ; 2. 通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用,逐步體驗(yàn)觀看、歸納、猜想、論證的過程,培 養(yǎng)同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律推理意識,并初步把握論證方法 ; 3. 通過發(fā)覺問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程,培育同學(xué)創(chuàng)新才能 . 情感與價值觀 : 1. 通

2、過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究,培育同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探究的精神；2. 通過對數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的爭論,培育同學(xué)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神；3. 通過置疑與探究,培育同學(xué)獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神；【教學(xué)重點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的分析,初步懂得數(shù)學(xué)歸納法的原理并能簡潔應(yīng)用 . 【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中兩個條件的歸納,提煉和懂得, 及數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個步驟. 【教學(xué)方法】 師生互動爭論、共同探究的方法【教學(xué)手段】 多媒體幫助課堂教學(xué)【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題學(xué)習(xí)必備 歡迎下載情境一、“ 摸球試驗(yàn)”這盒子中裝的不是糖,而是乒乓球,下面抽幾個同學(xué)從盒中分別摸出一個球,并判定乒乓球的顏色,由此猜想

3、這盒子中全部乒乓球的顏色；問：這個猜想對嗎？答：不對問：怎樣判定這個猜想是對的？答：把它全部倒出來看或一個一個摸出來看；問：為什么可以一個一個摸出來看？答：由于是有限的；問：假如是無限的呢？再看一個數(shù)學(xué)問題：答：不能采納一個一個摸出來看；情境二：已知a n25 n52（n* N ）,a ；a ；a 的值,老師播放幻燈片）1分別求a ；a ；a ；a （由同學(xué)齊答a ；2由此猜想出a 的值？這個猜想正確嗎？檢驗(yàn)：a 41,a 5251所以這個猜想是錯的；由上面兩個例子看出：由幾個特別的事例得出一般的結(jié)論有時是對的,有時是錯的；由此引出歸納法的定義：歸納法：由一些特別事例推出一般結(jié)論的推理方法.

4、分為完全歸納法和不完全歸納法；完全歸納法 : 把爭論對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；不完全歸納法 : 依據(jù)事物的部分 而不是全部 特例得出一般結(jié)論的推理方法 .下面看一個比較熟識的數(shù)學(xué)問題：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：a na 1n1 d （由同學(xué)齊答,老師在黑板上書寫）2 d（同學(xué)齊答, 老師放幻燈）回憶等差數(shù)列a n通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程：a 2a 1da 3a 2da 11 da 4a 3da 13 d猜想a na 1n問：這個猜想對嗎？學(xué)習(xí)必備 歡迎下載同學(xué)答：不肯定對但我們已把它當(dāng)成一個公式在用,說明這個猜想是對的,怎樣證明？法一：一個一個的檢驗(yàn),由于n 是無限的,這個方法不行

5、行,除非我們把有限的生命投入到無限的驗(yàn)算中去；問：有沒有更好的方法呢？從而引出課題：數(shù)學(xué)歸納法；二、師生互動,探究學(xué)問（放幻燈片）先看一個大家比較熟識的嬉戲：演示多米諾骨牌嬉戲視頻 . 我們把剛才的視頻簡化一下,得到這樣的一個試驗(yàn)（老師彈出事先預(yù)備好的簡化的 多米諾骨牌嬉戲的動畫 , 并再次演示一遍）提問：滿意什么條件能使全部的骨牌全部倒下？（把同學(xué)按前后四個同學(xué)分組,每組選一個代表發(fā)言,爭論時間大約 3 分鐘左右）同學(xué)代表發(fā)言（老師在黑板上書寫） ：條件 1：第一塊要倒下 ; 條件 2：當(dāng)前面一塊倒下時,后面一塊必需倒下 問：其它組仍有其它看法嗎？（給同學(xué)提出的條件老師進(jìn)行歸納整理）問：是否

6、滿意這兩個條件就可以保證全部的骨牌倒下？給出推理（播放幻燈片） ：由條件 1 第 1 塊倒下由條件 2 第 2 塊倒下由條件 2 第 3 塊倒下由條件 2 第 n 塊倒下由條件 2 全部的骨牌全部倒下；對多米諾骨牌嬉戲的原理進(jìn)行推廣：由于骨牌是 1 塊,2 塊, , 很多塊 , 而我們要證的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也是要證明n1,n2,成立 , 所以可將多米諾骨牌嬉戲的原理類比到與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題上. 學(xué)習(xí)必備 歡迎下載多米諾骨牌嬉戲的原理與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題1 第一塊要倒下 1 n 1 時命題成立2 當(dāng)前面一塊倒下時,后面一塊 2 假 設(shè) n k k 1, k N * 成 立 , 就必需倒下

7、 ; n k 1 時結(jié)論也成立；依據(jù) 1 和 2, 可知無論多少塊骨 依據(jù)1 和2, 可知對任意的正整數(shù) n,牌都能全部倒下 命題都成立；（全部由同學(xué)總結(jié)提煉,老師播放幻燈片）進(jìn)一步總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟：1n1時命題成立；N*成立,就nk1時結(jié)論也成立；2 假設(shè)nk k1,k我們把用這種模式來證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題叫作數(shù)學(xué)歸納法；下面說明一下用數(shù)學(xué)歸納法來證題是可行的,有效的：1. 推理過程：依據(jù)第 1 步n1成立依據(jù)第 2 步n2成立依據(jù)第 2 步n3成立2,依據(jù)第 2 步 依據(jù)第 2 步對全部的正整數(shù) n 都成立；2. 假設(shè) nk 成立的依據(jù)依據(jù)第 1 步,n1成立,取k1,這時假

8、設(shè)nk1 成立就不是假設(shè)而是一個已經(jīng)成立的事實(shí)了,再依據(jù)第 2 步,由nk1 成立就可推出nk11 12成立,再取k這時假設(shè)nk2成立就不是假設(shè)而是一個已經(jīng)成立的事實(shí)了；如此取下去,每一個假設(shè) nk 成立都是有依據(jù)的；所以用數(shù)學(xué)歸納法來證明數(shù)學(xué)問題是有效的和牢靠的,大家可以放心大膽使用；三、通過實(shí)例,運(yùn)用學(xué)問例：用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式 an a 1 n 1 d 師生共同完成 , 老師在黑板上書寫并強(qiáng)調(diào)步驟及留意點(diǎn) 證明： 1 當(dāng) n1 時, 左= a ,右 = a 1 1 1 d a ,所以左 =右,即 n=1 時結(jié)論成立；2 假設(shè)當(dāng)nk k1,kN*學(xué)習(xí)必備歡迎下載a ka 1k1

9、 d, 時結(jié)論成立 , 即就nk1 時,ak 1akd=a 1k1 1 d, 即 nk1 時等式也成立綜合1,2, 對一切的n* N ,ana 1n1d成立數(shù)學(xué)歸納法原理的強(qiáng)調(diào) 同學(xué)表述 , 老師補(bǔ)正 ：（1）（遞推奠基）：驗(yàn)證n1時命題成立；nk1時結(jié)論也正（2）（遞推依據(jù)）：假設(shè)nk k1,kN*時結(jié)論正確； 去證明當(dāng)確. （肯定要用到假設(shè)）數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)： 無窮的歸納 有限的演繹（遞推關(guān)系）四、反饋練習(xí) , 鞏固學(xué)問用數(shù)學(xué)歸納法證明：多邊形的內(nèi)角和為ann2 180（同學(xué)獨(dú)立完成,通過投影儀指出同學(xué)在書寫過程中的不足,最終老師播放幻燈片寫出規(guī)范的解答）通過這個練習(xí),我們發(fā)覺數(shù)學(xué)歸納法的

10、第一步不肯定是從n1開頭的,所以對數(shù)學(xué)歸納法的兩步略作改動：1n1時命題成立；N*成立,就nk1時結(jié)論也成立；nk k1,k2 假設(shè)改為：1 驗(yàn)證nn n01,n 0N*時命題成立；1時結(jié)論也成立；2 假設(shè)nk kn kN*成立,就nk五、總結(jié)歸納,加深懂得（先由同學(xué)總結(jié),最終老師再總結(jié),最終播放幻燈片）1、兩個方法：歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；2、歸納法是一種由特別到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種；學(xué)習(xí)必備 歡迎下載歸納法的本質(zhì)： 特別到一般歸納法的作用： 發(fā)覺規(guī)律歸納法的缺陷： 具有不行靠性 3、數(shù)學(xué)歸納法 基本思想： 遞推的思想 適用范疇： 與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 兩個步驟： 1驗(yàn)證nn 0n 01,n 0N*時命題成立；（遞推的基礎(chǔ) ）2 假設(shè)nk kn 0,kN*成立,就nk1時接結(jié)論也成立；（遞推的依據(jù) ）兩個條件缺一不行,相互依存附數(shù)學(xué)歸納法打油詩一首：兩個步驟一結(jié)論,遞推基礎(chǔ)不行少,歸納假設(shè)要用到