1、課時過關(guān)檢測(四十五) 立體幾何中的綜合問題1如圖，C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，平面PAC平面ABC，PAPCAC2，BC4，E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點(1)求證：BC平面PAC；(2)記平面AEF與平面ABC的交線為直線l，點Q為直線l上動點，求直線PQ與平面AEF所成的角的取值范圍解：(1)證明：C是以AB為直徑的圓O上異于A，B的點，BCAC，又平面PAC平面ABC，且平面PAC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面PAC(2)由E，F(xiàn)分別是PC，PB的中點，BCEF，又EF平面AEF，BC平面AEF，BC平面AEF，又BC平面ABC，平面EFA平面ABCl，BCl以C為

2、坐標(biāo)原點，CA，CB所在直線分別為x軸，y軸，過C且垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(2,0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，eq r(3)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0，f(r(3),2)，F(xiàn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，2，f(r(3),2)，eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，0，f(r(3),2)，eq o(EF,sup7()(0,2,0)，BCl，可設(shè)Q(2，y,0)，平面AEF的一個法向量為m(x，y，z)，則eq blcrc (avs4alc

3、o1(eq o(AE,sup7()mf(3x,2)f(r(3)z,2)0，,eq o(EF,sup7()m2y0，)取zeq r(3)，得m(1,0，eq r(3)，又eq o(PQ,sup7()(1，y，eq r(3)，則|coseq o(PQ,sup7()，m|eq blc|rc|(avs4alco1(f(eq o(PQ,sup7()m,|eq o(PQ,sup7()|m|)eq f(1,r(4y2)eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,2)直線PQ與平面AEF所成角的取值范圍為eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,6)2在長方體ABCDA1B1C1D1中，已知A

4、BAD，E為AD的中點(1)在線段B1C1上是否存在點F，使得平面A1AF平面ECC1？若存在，請加以證明；若不存在，請說明理由；(2)設(shè)AD2，AA14，點G在AA1上且滿足eq o(AA1,sup7()8eq o(AG,sup7()，求EG與平面EBC1所成角的余弦值解：(1)存在，當(dāng)點F為線段B1C1的中點時，平面A1AF平面ECC1證明：在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1CC1，ADB1C1又因為CC1平面ECC1，AA1平面ECC1，所以AA1平面ECC1又E為AD的中點，F(xiàn)為B1C1的中點，所以AEFC1，且AEFC1故四邊形AEC1F為平行四邊形，所以AFEC1，又因為E

5、C1平面ECC1，AF平面ECC1，所以AF平面ECC1又因為AFAA1A，AA1平面A1AF，AF平面A1AF，所以平面A1AF平面ECC1(2)在長方體ABCDA1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，如圖所示因為AD2，AA14，所以A(2,0,0)，E(1,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,4)，A1(2,0,4)，所以eq o(EC1,sup7()(1,2,4)，eq o(EB,sup7()(1,2,0)，eq o(AA1,sup7()(0,0,4)設(shè)平面EBC1的法向量為n(x，y，z)，則eq blcr

6、c (avs4alco1(neq o(EC1,sup7()0，,neq o(EB,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(x2y4z0，,x2y0.)令x2，則y1，z1，所以n(2，1,1)，因為eq o(AA1,sup7()8eq o(AG,sup7()，設(shè)G(x0，y0，z0)，則(0,0,4)8(x02，y0，z0)，所以Geq blc(rc)(avs4alco1(2，0，f(1,2)，則eq o(EG,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)設(shè)EG與平面EBC1所成角為，則sin |coseq o(EG,sup7()，n|eq f

7、(|eq o(EG,sup7()n|,|eq o(EG,sup7()|n|)eq f(2f(1,2),r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2)r(6)eq f(r(5),r(6)，即cos eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(5),r(6)2)eq r(1f(5,6)eq f(r(6),6)故EC與平面EBC1所成角的余弦值為eq f(r(6),6)3如圖，在梯形ABCD中，BCAD，AD4，BC1，ADC45，梯形的高為1，M為AD的中點，以BM為折痕將ABM折起，使點A到達(dá)點N的位置，且平面NBM平面BCDM，連接NC，ND，如圖(1)證明：平面NMC

8、平面NCD；(2)求圖中平面NBM與平面NCD夾角的余弦值解：(1)證明：如圖，在梯形ABCD中，過點C作CHDM于點H，連接CM，由題意知，CH1，AMDMeq f(1,2)AD2由ADC45，可得DHeq f(1,tan 45)1，則HMDMDH1，CMDCDM45，CMCD，BCMH，BCMH又BCCH，CHMH，四邊形BCHM為正方形，BMAD在四棱錐NBCDM中，平面NBM平面BCDM，平面NBM平面BCDMBM，MNBM，NM平面BCDMCD平面BCDM，NMCDNMCMM，且NM，CM平面NMC，CD平面NMC又CD平面NCD，平面NMC平面NCD(2)在四棱錐NBCDM中，以M

9、為原點，MB，MD，MN所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Mxyz，可得M(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，N(0,0,2)平面NBM平面BCDM，平面NBM平面BCDMBM，BMMD，MD平面NBM，eq o(MD,sup7()(0,2,0)是平面NBM的一個法向量設(shè)平面NCD的一個法向量為m(x，y，z)，eq o(NC,sup7()(1,1，2)，eq o(ND,sup7()(0,2，2)，eq blcrc (avs4alco1(meq o(NC,sup7()0，,meq o(ND,sup7()0，)即eq blcrc (av

10、s4alco1(xy2z0，,2y2z0，)取y1，則z1，x1，m(1,1,1)coseq o(MD,sup7()，meq f(eq o(MD,sup7()m,|eq o(MD,sup7()|m|)eq f(r(3),3)，平面NBM與平面NCD夾角的余弦值為eq f(r(3),3)4請從下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并作答eq o(BA,sup7()(eq o(PA,sup7()eq o(PD,sup7()0；PCeq r(7)；點P在平面ABCD的射影在直線AD上如圖，平面五邊形PABCD中，PAD是邊長為2的等邊三角形，ADBC，AB2BC2，ABBC，將PAD沿AD翻折

11、成四棱錐PABCD，E是棱PD上的動點(端點除外)，F(xiàn)，M分別是AB、CE的中點，且_(1)求證：ABFM；(2)當(dāng)EF與平面PAD所成角最大時，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分解：(1)證明：如圖所示，取AD，CD的中點分別為O，G，連接PO，F(xiàn)G，MG選擇：因為eq o(BA,sup7()(eq o(PA,sup7()eq o(PD,sup7()0，eq o(PA,sup7()eq o(PD,sup7()2eq o(PO,sup7()，所以eq o(BA,sup7()eq o(PO,sup7()0，即BAPO又BAAD，ADPOO，所以B

12、A平面PAD因為M，G分別為CE，CD的中點，所以MGPD，且MG平面PAD，PD平面PAD，所以MG平面PAD同理可得：FG平面PAD因為MGFGG，所以平面FGM平面PAD，所以BA平面FGM又FM平面FGM，所以BAFM選擇：連接OC，則OCAB2，OPeq r(3)，因為PCeq r(7)，PC2OP2OC2，所以POOC又OCAB，所以BAPO又BAAD，ADPOO，所以BA平面PAD因為M，G分別為CE，CD的中點，所以MGPD，且MG平面PAD，PD平面PAD，所以MG平面PAD同理可得：FG平面PAD因為MGFGG，所以平面FGM平面PAD，所以BA平面FGM又FM平面FGM，

13、所以BAFM選擇：因為點P在平面ABCD的射影在直線AD上，所以平面PAD平面ABCD因為平面PAD平面ABCDAD，OP平面PAD，ADPO，所以O(shè)P平面ABCD，所以BAPO又BAAD，ADPOO，所以BA平面PAD因為M，G分別為CE，CD的中點，所以MGPD，且MG平面PAD，PD平面PAD，所以MG平面PAD同理可得：FG平面PAD因為MGFGG，所以平面FGM平面PAD，所以BA平面FGM又FM平面FGM，所以BAFM(2)連接EF，由(1)可知：AB平面PAD，所以AEF即為EF與平面PAD所成的角因為tanAEFeq f(AF,AE)eq f(1,AE)，所以當(dāng)AE最小時，AE

14、F最大，所以當(dāng)AEPD，即E為PD中點，AE最小以點O為坐標(biāo)原點，以O(shè)C所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，1,0)，Eeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)，f(r(3),2)，C(2,0,0)所以eq o(AE,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)，f(r(3),2)，eq o(AC,sup7()(2,1,0)設(shè)平面CAE的一個法向量為m(x1，y1，z1)，則eq blcrc (avs4alco1(f(3,2)y1f(r(3),2)z10，,2x1y10，)令z1eq r(3

15、)，得meq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，1，r(3)由題意可知：平面PAD的一個法向量為n(1,0,0)，所以|cosm，n|eq f(|mn|,|m|n|)eq f(r(17),17)，所以平面ACE與平面PAD夾角的余弦值為eq f(r(17),17)5蘇州博物館由華人建筑師貝聿銘設(shè)計，體現(xiàn)了濃郁的江南派系和蘇州園林的風(fēng)格它的現(xiàn)代簡約，既不同于蘇州傳統(tǒng)園林，又不脫離中國人文氣息和神韻，清晰地營造出了中國水墨山水畫的意境蘇州博物館的一座屋頂形狀獨具特色，如圖所示，底面ABCD是邊長為4的正方形，點A1，B1，C1，D1在底面的垂足分別為DA，AB，BC，CD的中點，且

16、到底面的距離均為2(1)求直線CC1與平面AB1A1所成角的正弦值；(2)求直線BC1到平面AB1A1的距離；(3)求平面BC1B1與平面AB1A1夾角的余弦值；(4)已知線段CD1上一點P到平面AB1A1的距離為eq f(5r(3),3)，求PD的長度解：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC所在直線分別為x軸，y軸，過D作底面的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，A1(2,0,2)，B1(4,2,2)，C1(2,4,2)，D1(0,2,2)，(1)設(shè)平面AB1A1的法向量為n1(x1，y1，z1)，由題有eq o(AA1,s

17、up7()(2,0,2)，eq o(AB1,sup7()(0,2,2)，則eq blcrc (avs4alco1(n1eq o(AA1,sup7()0，,n1eq o(AB1,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x12z10，,2y12z10，)令x11，則n1(1，1,1)，又eq o(CC1,sup7()(2,0,2)，設(shè)CC1與平面AB1A1所成角為，則sin |cosn1，eq o(CC1,sup7()|eq f(|n1eq o(CC1,sup7()|,|n1|eq o(CC1,sup7()|)eq f(r(6),3)故直線CC1與平面AB1A1所成角的正弦值

18、為eq f(r(6),3)(2)由已知易得AA1BC1，又AA1平面AB1A1，BC1平面AB1A1，BC1平面AB1A1，直線BC1到平面AB1A1的距離即為點B到平面AB1A1的距離eq o(AB,sup7()(0,4,0)，點B到平面AB1A1的距離為eq f(|eq o(AB,sup7()n1|,|n1|)eq f(|0，4，01，1，1|,r(3)eq f(4r(3),3)(3)設(shè)平面BC1B1的法向量為n2(x2，y2，z2)，由題有eq o(BC1,sup7()(2,0,2)，eq o(BB1,sup7()(0，2,2)，則eq blcrc (avs4alco1(n2eq o(B

19、C1,sup7()0，,n2eq o(BB1,sup7()0，)即eq blcrc (avs4alco1(2x22z20，,2y22z20，)令x21，則n2(1,1,1)，設(shè)平面BC1B1與平面AB1A1的夾角為，則cos |cosn1，n2|eq f(|n1n2|,|n1|n2|)eq f(1,3)故平面BC1B1與平面AB1A1的夾角的余弦值為eq f(1,3)(4)設(shè)eq o(CP,sup7()eq o(CD1,sup7()，0,1，由題知(xP，yP4，zP)(0，2,2)，可得P(0,42，2)，eq o(AP,sup7()(4,42，2)，點P到平面AB1A1的距離為eq f(|

20、eq o(AP,sup7()n1|,|n1|)eq f(|4，42，21，1，1|,r(3)eq f(5r(3),3)，即|48|5，解得eq f(13,4)(舍)或eq f(3,4)，Peq blc(rc)(avs4alco1(0，f(5,2)，f(3,2)，|eq o(PD,sup7()|eq f(r(34),2)6如圖所示，四棱錐PABCD中，PA底面ABCD四邊形ABCD中，ABAD，ABAD4，CDeq r(2)，CDA45(1)求證：平面PAB平面PAD；(2)設(shè)ABAP若直線PB與平面PCD所成的角為30，求線段AB的長；在線段AD上是否存在一點G，使得點G到點P，B，C，D的距離都相等？說明理由解：(1)證明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，又ABAD，PAADA，AB平面PAD，又AB平面PAB，平面PAB平面PAD(2)以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，如圖()所示在