1、線段的定比分點(diǎn)公式的應(yīng)用一、難點(diǎn)知識(shí)剖析（一）、在運(yùn)用線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式時(shí)，要注意（x1 , y1）是起點(diǎn)的坐標(biāo)，（x2 , y2）是終點(diǎn)的坐標(biāo)，（x , y）表示分點(diǎn)的坐標(biāo)，在每個(gè) 等式中涉及到四個(gè)不同的量，它們分別表示三個(gè)坐標(biāo)和定比入，只要知道其中任意三個(gè)量，便可求第四個(gè)量.（二）、如何確定定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式中的21、由坐標(biāo)確定：入=y - y1 =分點(diǎn)坐標(biāo)-起點(diǎn)坐標(biāo)y 2- y 終點(diǎn)坐標(biāo)-分點(diǎn)坐標(biāo)2、由PP =X Pp確定：先求,I PPII人1=IIPP I（不能錯(cuò)誤的表示為入PP 1 PP 2）再據(jù)PP與PP2的方向決定入的符號(hào).例：設(shè)點(diǎn)P （X, y ），P （x , y ），點(diǎn)

2、P是直線PP上任意一點(diǎn)，且滿足PP =x PF，求點(diǎn)P的坐標(biāo).1112221 212（三）、特殊情況的分析1、入=0時(shí)，分點(diǎn)P與起點(diǎn)P1重合2、入=1時(shí)，分點(diǎn)P為線段P1P2的中點(diǎn)3、 入不可能等于-1 （若入=-1，則P1、P2重合，與P1P2為線段矛盾）.*（ -8，- 1）u（ - 1，+時(shí)4、無論入取何實(shí)數(shù)（當(dāng)然入上-1 ）分點(diǎn)P不可能與終點(diǎn)P2重合二、例題講解 *2*-， *例1、已知點(diǎn)A分有向線段日的比為2，求下列定比入：（1）A分B的比；（2）B分人。的比；（3）C分日人的比.分析：本題直接用公式計(jì)算不太方便，若畫出圖表就一目了然.解答：因?yàn)锳分的比為2,所以A在BC之間，且IB

3、AI = 2IACI (如圖所示)R P；iU Pi = a, U P-i = b例2、已知P分所成的比為入，O為平面上任意一點(diǎn)，12OP=a+b 求證：線段定比分點(diǎn)向量公式I* 1+2RPn 所成比為入，證明：P分帝=麗n存一鬲=從密一司 二3 + 1)而=胡+又魏.而例=a, = EQP = + -b.+ A 1 + A1例3、已知三點(diǎn)A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3) , D點(diǎn)內(nèi)分白巳的比為，e在BC上，且使BDE的面積是ABC面積的一半， 求向量DE的坐標(biāo).(提示：三角形面積等于兩邊與其夾角正弦乘積的半)分析：要求。日的坐標(biāo)，就要求d點(diǎn)的坐標(biāo)，也要

4、求E點(diǎn)的坐標(biāo).由于E點(diǎn)在線段BC上，且已知B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因此我們只要 能確定E分有向線段日。的比，應(yīng)用定比分點(diǎn)公式就能求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，將E點(diǎn)坐標(biāo)減去D點(diǎn)的坐標(biāo)就可得到向量DE .解答： 如圖所示，設(shè)E分有向線段日。的比為久，則 =EC BC 1 + 2:.bS=W.S饋班=_-1BD | -1 BE | - sm B =bBDE =-目地 C，由題設(shè)條件可知：Sc = BA-W-8mB. TOC o 1-5 h z 41+ A2.3A1 =，-A- = E.41+A2X2 + 23 互 + N 珂Xn =.1+23-.:3 .DAB的內(nèi)分點(diǎn)，且定比;l=!此+ N巧用+ N玲 廖=-廠 .

5、彼點(diǎn)的坐標(biāo)為（氣類為+泌兒山+2制+無點(diǎn)的坐標(biāo)為(坪2,鴛M.=停+打3呢+弘_(3豹+死3勺死+ 8死一 9再 為+ 泌-9小=(1212)例 5.已知 a、b 不共線，OA = a + b , OB = 2a b將符合下列條件的OC向量寫成ma + nb的形式:點(diǎn)C分AB所成的比X = 2，求OC ；分析：借助定比分點(diǎn)的概念解題。點(diǎn)C分BA所成的比X =3，求OC .解：（1）由 AC = X CB，得 OC OA = xO OC 即0C = 土 OA *再皿故 OC = OA + oB =1 (a + b)+ 2(2a-b)， TOC o 1-5 h z 故 1 + 21 + 233，

6、51OC = 5 a -1 b.33(2)由上可知 OC = OB + L OA = (2a - b )+二3 (a + b ) 1+ X1+ X1 -31-3OC =上 a + 2b.+ 2K x K 小結(jié)：本題從表面上看不涉及分點(diǎn)的坐標(biāo)問題，但利用定比分點(diǎn)的概念，導(dǎo)出了。OA + - OB 1+ A1+ A這個(gè)與定比X有關(guān)的等式，這實(shí)際上是定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的另一種表現(xiàn)形式，即向量形式 值得注意的是，這個(gè) 等式在解決與向量有關(guān)的一些數(shù)學(xué)問題時(shí)很有用處。例6、如圖所示，已知直線/過點(diǎn)P(4,-9)和點(diǎn)Q(-2,3), l與x軸，軸交于M點(diǎn)和N點(diǎn).求：點(diǎn)M分PQ所成的比人，點(diǎn)N的坐標(biāo).分析：設(shè)點(diǎn)

7、M(x ,0)，則可由X =七二可求得人的值.同樣方法可求N點(diǎn)分PQ所成的比X再用定比 %一 yM分點(diǎn)坐標(biāo)公式求得 -解：設(shè)點(diǎn)M 3。,0)P(4,-9), Q (-2,3),.點(diǎn)M分PQ所成的比X= 5 = 3- 0同理可得人=2設(shè)N點(diǎn)分PQ所成的比為X-9 + 2 x 31=-11+2 N點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-1)小結(jié)：記住定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，要注意起點(diǎn)坐標(biāo)在前不乘以X .本題也可以這樣求點(diǎn)M分PQ所成的比X，設(shè)M(%,0)，根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式得- 2人= T7T o = *1+人在求人時(shí)也要注意討論如已知點(diǎn)P在直線MN上，且|MP| = 2|PN|，求點(diǎn)P分MN所成的比人.MP當(dāng)P點(diǎn)在M、N之

8、間時(shí)，/而=2 ；(2)當(dāng)P點(diǎn)在MN延長(zhǎng)線上時(shí)，X =MP = -2 PN例7、如圖所示，已知矩形ABCD中，A(2,1)，B(5,4)，C(3,6)，E點(diǎn)是CD邊的中點(diǎn)，連結(jié)BE與矩形的對(duì)角線AC交于F點(diǎn)，求F點(diǎn)坐標(biāo).分析：F點(diǎn)在AC上，若知道F點(diǎn)分AC所成的比，則可根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式可求F點(diǎn)坐標(biāo)，由題意知AABF s ACEF 且 |AB| = 2|CE|，由此知 |AF| 二 2|CF，即 F 點(diǎn)分 AC 所成的比X = 2 .解： 四邊形ABCD是矩形，E是CD邊的中點(diǎn)，.AABF s kCEF，且|AB| = 2|CE|AF| = 2CF|即點(diǎn)F分AC所成的比X=213設(shè)F(x,

9、y) .由A(2,1)，C(3,6)，根據(jù)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得+ 2 x 3 8 TOC o 1-5 h z X = = _ _一， HYPERLINK l bookmark109 o Current Document 1 + 23_8 13、F點(diǎn)坐標(biāo)是(3。，解得a V-房或a .3a + 43243故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a -。小結(jié)：定比入的符號(hào)是求解本題的關(guān)鍵.應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)點(diǎn)P在線段I上時(shí)，0 ；當(dāng)點(diǎn)P在線段翌 或PP的延長(zhǎng)線上時(shí)，人V0.切不可將之混為一談.2 1(2)恰當(dāng)?shù)乩枚ū热说膸缀我饬x，可以解決某些看似與定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式無關(guān)的數(shù)學(xué)問題.例9.已知MBC的三頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為aG,

10、1)，B(5,3)，C(4,5)，直線l/ AB，交AC于D，且直線l平分A ABC的面積，求D點(diǎn)坐標(biāo).分析：本題是平面幾何知識(shí)與定點(diǎn)分點(diǎn)公式的綜合應(yīng)用題，解題時(shí)，應(yīng)先確定。分CA的比，再利用公式求解.解：設(shè)直線交BC于E，依題意，Sy : Sacab =1:2，又因?yàn)镈E/AB ,故 CDE s CAB ,所以CD : CA = 1:克,CD : AD =41 +1.即點(diǎn) D 分 CA 的比為 X =41 +1.設(shè)D的坐標(biāo)為G,y)，由定比分點(diǎn)公式有x = 4+? + = 8 :, y = 5+、？ + = 5一2、.：2 .1+2 +121 + +1D點(diǎn)的坐標(biāo)為,5 - 22J小結(jié)：求解定

11、比分點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)鍵是求出定比X的值.求X的值，除注意X的符號(hào)外，還常常用到平面幾何知識(shí)，如相似形的性質(zhì)，比例線段等等.例10. 已知 A(2,3)，B(-1,5)， 且 aC = 3 aB，aD = 3aB，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo).分析：借助線段的定比分點(diǎn)式求解.解：設(shè) C(x , y )，D(x , y ). 1122由 aC =1 aB，可得 aC =1 aC+CB，即 aC =1 cB，x332運(yùn)用定比分點(diǎn)公式可知2, y2y1+1 x(1)二= 11 1 L1 + 21+ x521 + -2113仿上可求得X2 =-7，y2 = 9綜上可知，欲求C、D兩點(diǎn)坐標(biāo)為C 1 ， DQ 7,9). k

12、 3)小結(jié)：對(duì)于本題欲求C點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，也可以由AC = 3AB，得到BA = 3aC，從而由定比公點(diǎn)公有-1 + Q 3)x=i ,5 + l-3得X = 1，* = -1.同理，也可以由= -3 AD求得D點(diǎn)坐標(biāo)，這表明，我們?cè)诶枚c(diǎn)3=-,1 = 3比分點(diǎn)公式時(shí)，既要注意使用公式的前提，同時(shí)也要注意靈活地使用公式。例11、已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,0), B(4,0), C(3,6,)，邊AB, BC, CA的中點(diǎn)分別為D, E, F，且NABC的重心為6，求:AE, BF, CD ；GA,GB,GC ；AE + BF + CD ；GA + GB + GC .分析 解此題可首

13、先利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式分別求得各邊中點(diǎn)D,E,F的坐標(biāo)，再利用三角形重心G的坐標(biāo)公式 求得G的坐標(biāo)，最后利用平面向量坐標(biāo)表示及運(yùn)算法則計(jì)算所求的向量.解A(0,0), B(4,0),C(3,6,)，且 D, E, F 分別為 AB, BC, CA 的中點(diǎn)，G 為 AABC 的重心，7-3- D(2,0), E(如),F(如).重心G(7 G ,2 .13 )(1)AE = (2 - 0,3 - 0) = (2,3) TOC o 1-5 h z 35BF = ( - 4,3 - 0)=(-亍3)CD = (2 3,0 6) = (-1,-6)7八 ，7 GA =(0 3，。一2) = ( 3，-2)

14、7 八-5 一GB = (4-3,0-2)=孑-2)，7 , -2 ,GC = (3 - ,6-2) = (,4)7575-.AE + BF + CD = ( ,3) + (- ,3) + (-1,-6) = (- - -1,3 + 3 - 6) = (0,0)222 2AE + BF + CD = 07.5.2 一 . 7 5 2 _ _. 一 一GA + GB + GC = ( ,-2) + (石,-2) + (石,4) = (- + 雖 + 衣,-2 - 2 + 4) = (,0) TOC o 1-5 h z hKVGA + GB + GC = 0小結(jié)：本題中的(3), (4)具有一般性

15、，我們將在例5中作一般結(jié)論的推證，另外結(jié)論(3)與(4)本身有 著必然的聯(lián)系，因?yàn)镚為ABC的重心，AE是AABC的中線，故A,G, E三點(diǎn)共線，而且AG = | AE，即 22I-GA = - AE，同理 GB = - BF, GC = - CD .332 -故GA + GB + GC = -3 (AE + BF + CD) = 0.例12.已知a 1加| 1，求證:竺侖 1。II II1,71 + ab證明：設(shè)a(-1),b(1),p(m)是數(shù)軸上的三點(diǎn)，p分屈的比是人，則1 + aba + b 1 + 人1 + ab 1 + 人0+L -(-1).a 1 + aba +b + ab +1

16、 (a +1)(b + 】).人=1 a + bab a b +1 (a 1)(b 1)1 + aba 1, b 0, P是AB的內(nèi)分點(diǎn)，.a + b在-1與1之間，即1 + aba + b4V1。1 + ab例 13.已知 x= ,a b且。AB的外分點(diǎn)，則x任a,b。對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果能夠化為y = m + x(x)(t(x)豐-1)，就與y =+ ?2的形式完全相同1 +1 (x)1+ 人P P(只須把t(x)看成人)，用數(shù)軸上兩點(diǎn)PP2分力別表小m、n，不妨設(shè)m0 時(shí)，myn ;當(dāng) t(x)=0 時(shí)，y=m ;當(dāng) t(x)0 時(shí)，ym。例14.已知二次函數(shù)f(x)滿足條件：(1

17、) f(-1)=0； (2)對(duì)一切xG R,都有X f M2成立， 求f(x)的解析式。本題如果應(yīng)用函數(shù)、根的判別式、基本不等式等知識(shí)來解題的話過程比較繁瑣，有些學(xué)生因?yàn)榫C合能力差， 聽完講解后仍然似懂非懂，但如果運(yùn)用定比分點(diǎn)公式解題則非常簡(jiǎn)單：_1 + X 2_ 1 + X PP解：由 x e R, x 0)。1+人特別地，(1)當(dāng)ll2時(shí)，條件為一平行四邊形，結(jié)論仍成立；當(dāng)l1=0時(shí)，條件為一三角形，結(jié)論仍成立；當(dāng)人=1時(shí)，即可得到梯形的中位線公式。證明：設(shè)BA的延長(zhǎng)線與CD的延長(zhǎng)線交于0，由三角形相似可得(1)AOX AO+-AB 1 + XAO l =T AO + AB l2由(1)

18、(2)可得l = 1 +，。1 + X依照命題1的推導(dǎo)方法，不難證明出以下命題：命題1 :設(shè)梯形ABCD的上，下底邊長(zhǎng)分別為七，若平行于底邊的截線EF把梯形的面積分成上12 + Xl 2下兩部分之比為X，則有EF2 = 12 =(特別當(dāng)l0梯形退化為一個(gè)三角形時(shí)，結(jié)論為2、立體幾何中的定比分點(diǎn)：命題2 ：設(shè)棱臺(tái)的上、下底面積分別為S1、S2，平行于底面的截面的面積為S。，此截面到上底面距離與它到下底面距離的比為人，則有:缶、S1 +X*2。特別地，當(dāng)X = 1時(shí)， v 01+ X戒 +? 。證明：將棱臺(tái)補(bǔ)成棱錐，設(shè)所補(bǔ)的小棱錐的高為X，截面到上、下底面的距離分別為人h和h， 則由截面性質(zhì)定理可

19、得：、S x 、S Xh+h+xS -、3茸= Xh+XK = Xh + x 從而有：0可 I Xh+x(2),由(1) + (2)得吏乙匡=X.依照公式2的推導(dǎo)方法，不難證明出以下兩公式：命題2 ：設(shè)棱臺(tái)的上、下底面積分別為S1、S2，平行于底面的截面的面積為S。，若此截面將棱臺(tái)的(.:S )2 + X(. : S )2側(cè)面分成的上、下兩部分的面積之比為入，則有牛二命題2” :設(shè)棱臺(tái)的上、下底面積分別是S、S，平行于底面的面積為S .若此截面將棱臺(tái)分成的 120上、下兩部分的體積比為X，則有 5 )3 = “ S1二S 2)3注：以上三個(gè)公式，對(duì)于圓臺(tái)也同樣成立.上述三個(gè)“定比分點(diǎn)”公式，形

20、式整齊，結(jié)構(gòu)對(duì)稱， 富有美感，便于記憶；而且在求解立體幾何的有關(guān)問題時(shí)，有著廣泛的應(yīng)用。3.數(shù)列中的定比分點(diǎn)：命題3：設(shè)k 是等差數(shù)列，其中na，滿足 X = m,貝U a = a + % （X 豐1）。a =a1+（n-1）dnm n m 1 + X證明：a=a + (p-1)d ， a=a + (m-1)d ， p 1m 1(其中氣、d分別是等差數(shù)列bn的首項(xiàng)與公差)代入X= U中可得a =七+Xanm nm1 + X命題3 ：設(shè)七是等差數(shù)列，Sn是數(shù)列上的前n項(xiàng)和，其中Sp Sm SnL +入土滿足X= N（牛一1），則七二。m nm 1 + 人證明：因?yàn)?S = na + n（n d

21、= - n2 + （a ）n n 1221 2那么S=An2+Bn，即義=An + B，所以數(shù)列j:是等差數(shù)列，七+入由命題3，即有七=P n。m1 +入高二A數(shù)學(xué)講義第十四講（130802 ）課后作業(yè)（本試卷共14題，時(shí)間45分鐘，滿分100分）班級(jí)：姓名：一、選擇填空題（每小題5分，共12個(gè)小題，共60分）1、已知P點(diǎn)分有向線段AB所成的比為3，則點(diǎn)b分有向線段所成的比為（）bW2、設(shè)點(diǎn)P在有向線段AB的延長(zhǎng)線上，p分AB所成的比為入，則（）B- 1A|曲且奇與瓦2、依題意仲-兀PB,p在的延長(zhǎng)線上，所以有的方向相反，.偵-1.， 卜， 小1， 小 ，*， 小， 卜BA = 2AC;AC=

22、-CB;則 BA = CB?敵B 為A。的中點(diǎn).6、由已知可設(shè)A10、設(shè)直線PQ與y軸交點(diǎn)為R(0,y)R分有向線段麗的比為入牝技一幻=口, * 則1 + A11、- 912、(4 , 2)13、(-2,-6)14、提示:1、設(shè)點(diǎn)C分出口的比為4則有3+2(-5)|+：22 = -淑=-9.-77=y2、利用定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得P點(diǎn)坐標(biāo)為(2, 1)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即得B點(diǎn)坐標(biāo).3、利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解.4、如圖所示，由于AC=|cB所以C分AB所成的比為2,設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，fl(4-3)赤=_上豆即C點(diǎn)坐標(biāo)為(一1, 2),由 4知E點(diǎn)坐標(biāo)為則二、1、解法一:如圖所示，若ABCD平行四邊形，.對(duì)角線AC、BD1互相平分，.AC、BD1的中點(diǎn)重合.設(shè)D(x1, y1),由中點(diǎn)公式有X + 53 -1 HYP