1、13.1 三角形中的邊角關(guān)系第13章 三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明第3課時(shí) 三角形中幾條重 要線段逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2三角形的角平分線三角形的中線三角形的高定義課時(shí)導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問(wèn) 引出問(wèn)題 三角形中，三條邊、三個(gè)角是它的基本元素.此外，三角形還有如下一些重要元素.知識(shí)點(diǎn)三角形的角平分線知1講感悟新知11. 定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，頂 點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做這個(gè)三角形的角平分線2. 位置圖例：任何三角形的三條角平分線都交于一點(diǎn)， 且該點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，這點(diǎn)叫 這個(gè)三角形的內(nèi)心如圖.感悟新知知1講3. 表達(dá)方式： (1)AD是ABC的角平分線；

2、 (2)AD平分BAC交BC于點(diǎn)D； (3)BADCAD 注:上述三種情況都表示同一意義,即AD是ABC的 角平分線,選用哪種表示法,應(yīng)根據(jù)解題需要來(lái)定4. 易錯(cuò)警示:角平分線是一條射線,而三角形的角平分線 是一條線段,不要混淆感悟新知知1練例 1 如圖，AD 是ABC 的角平分線，DE AB，DFAC，EF交AD于點(diǎn)O.試問(wèn)：DO是否為DEF的角平分線？并說(shuō)明理由. 導(dǎo)引：根據(jù)三角形角平分線的定義進(jìn)行說(shuō)明. 解：DO是DEF的角平分線. 理由如下：因?yàn)锳D是ABC的角平分線， 所以 1= 2. 因?yàn)镈EAB，DFAC，所以 3=2， 1=4. 所以 3= 4.所以DO是DEF的角平分線.總

3、結(jié)感悟新知知1講本題在解題過(guò)程中，先利用三角形的角平分線的定義，得出相等的角,再結(jié)合相關(guān)條件推 出一組新的相等的角，最后由三角形角平分線的定義說(shuō)明是三角形的角平分線.它經(jīng)歷了 定義條件定義的過(guò)程，這就是定義法.感悟新知知1練例2 如圖所示，AD是ABC的角平分線，AE是 ABD的角平分線，BAC80，則EAD 的度數(shù)是() A20B30 C45D60A感悟新知知1練導(dǎo)引：由角平分線的定義，可得出EAD與BAD、 BAC之間的數(shù)量關(guān)系 因?yàn)锳D平分BAC，BAC80， 所以BAD40. 又因?yàn)锳E平分BAD， 所以EAD20.總 結(jié)感悟新知知1講 三角形的角平分線將三角形的內(nèi)角分成相等的兩部分，

4、特別是兩角之間的數(shù)量關(guān)系在求角的度數(shù)時(shí)起著關(guān)鍵作用感悟新知知1練 如圖，在ABC中，AD是ABC的角平分線， DEAC，DFAB，EF 交AD于點(diǎn)O，請(qǐng)問(wèn)DO是 DEF的角平分線嗎？ 說(shuō)明理由導(dǎo)引：要知道DO是不是DEF的角平分線，只需要知 道EDO與FDO是否相等若相等，根據(jù)三 角形的角平分線的定義即可判定例 3感悟新知知1練解：DO是DEF的角平分線理由如下： 因?yàn)锳D是ABC的角平分線， 所以DABDAC(角平分線定義) 因?yàn)镈EAC，DFAB， 所以DACADE，DABADF(兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等) 所以ADEADF(等量代換) 所以DO是DEF的角平分線感悟新知知1練如圖，12，

5、34，下列結(jié)論中錯(cuò)誤 的是() ABD是ABC的角平分線 BCE是BCD的角平分線 C DCE是ABC的角平分線三角形的中線知2講感悟新知知識(shí)點(diǎn)21.定義：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)，所得的 線段叫做該三角形這條邊上的中線2.位置圖例：任何三角形的三條中線都交于一點(diǎn)，且該 點(diǎn)在三角形內(nèi)部，如圖，這 個(gè)點(diǎn)叫做三角形的重心感悟新知知2講3. 表達(dá)方式： (1)AD是ABC中BC邊上的中線； (2)D是BC邊的中點(diǎn)； (3)BDDC， 注：上述三種情況都表示AD是中線，選用哪種表 示法，應(yīng)根據(jù)解題需要來(lái)定4. 易錯(cuò)警示：中線是線段，不要將它與線段所在直線混淆感悟新知知2練例4 如圖，在ABC

6、中，AD，BE 分別是ABC， ABD的中線. （1）若ABD與ADC的周長(zhǎng)之差為 3，AB=8，求 AC的長(zhǎng). （2）若SABC=8，求SABE.導(dǎo)引：利用中線將三角形分成的兩個(gè)三角 形的周長(zhǎng)之間的關(guān)系和面積之間的關(guān)系解題. 感悟新知知2練 解：（1）因?yàn)锳D為BC邊上的中線， 所以BD=CD， 所以ABD與ADC的周長(zhǎng)之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）= AB-AC. 因?yàn)锳BD與ADC的周長(zhǎng)之差為 3，AB=8， 所以 8-AC=3，解得AC=5. （2）因?yàn)锳D是ABC的中線，所以SABD= SABC=4. 因?yàn)锽E是ABD的中線，所以SABE= SABD=2. 知2講總

7、 結(jié)感悟新知三角形的中線把邊分成相等的兩條線段，故BD=CD， 且 ABD 的邊BD上的高與ACD 的邊CD上的高相同，根據(jù)等底同高的三角形的面積相等，可得所分得的兩個(gè)三角形的面積相等，即S ABD=S ADC= SABC.感悟新知知2練例5 張大爺?shù)膬蓚€(gè)兒子都長(zhǎng)大成人了，也該分家了 于是張大爺準(zhǔn)備把如圖所示的一塊三角形田地 平均分給兩個(gè)兒子，兩個(gè)兒子要求分成的兩塊 田地的形狀仍然是三角形，請(qǐng)你幫助張大爺提 出一種平分的方案 感悟新知知2練導(dǎo)引：根據(jù)等底等高的三角形的面積相等，要等分三角形的面積，只需要作出一條邊上的中線即可解：根據(jù)要求，平分田地的直線一定經(jīng)過(guò)三角形的頂點(diǎn) 畫(huà)ABC的中線AD(

8、如上頁(yè)圖)， 則AD就把ABC的面積平分成兩份 這是因?yàn)锳D是ABC的中線， 所以BDDC. 過(guò)點(diǎn)A作AEBC于點(diǎn)E.感悟新知知2練在ABD和ACD中，因?yàn)锽D，CD邊上的高都是AE，所以由三角形的面積公式，知ABD和ACD的面積相等因此，要把ABC平分成兩個(gè)三角形，只需畫(huà)中線AD即可，這是一種平分的方案(本題答案不唯一，作AB，AC邊上的中線也可以)知2講總 結(jié)感悟新知(1)三角形的任意一條中線都能把三角形分成面積相 等的兩部分，即等底等高的三角形面積相等；(2)拓展：在兩個(gè)三角形中：底、高、面積這三個(gè)量， 如果有其中的兩個(gè)量分別相等，那么第三個(gè)量也 相等感悟新知知2練1 三角形一邊上的中線

9、把原三角形一定分成兩個(gè)() A形狀相同的三角形 B面積相等的三角形 C直角三角形 D周長(zhǎng)相等的三角形2 如圖，已知BD是ABC的中線，AB5，BC3， ABD和BCD的周長(zhǎng)的差是() A2B3 C6D不能確定三角形的高知3講感悟新知知識(shí)點(diǎn)31. 定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線 作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做該三角形這條 邊上的高一個(gè)三角形有三條高2. 位置圖例： (1)銳角三角形：三條高都在三角 形內(nèi)部，其交點(diǎn)也在三角形內(nèi) 部(如圖)感悟新知知3講(2)直角三角形：一條高在三角形內(nèi)部， 兩條高在三角形邊上，其交點(diǎn)為直 角頂點(diǎn)(如圖1)(3)鈍角三角形：一條高在三角形內(nèi)部， 兩條

10、高在三角形外部，其交點(diǎn)在三 角形外部(如圖2)圖1圖2感悟新知知3講3表達(dá)方式： (1)AD是ABC的邊BC上的高； (2)ADBC于D； (3)ADC90,ADB90或ADCADB90. 注：上述三種情況都表示AD是高，選用哪種表示 法，應(yīng)根據(jù)解題需要來(lái)定感悟新知知3講4易錯(cuò)警示： (1)三角形中大于90的角的兩邊上的高的作法(高均 在三角形外部) (2)任何三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)(垂心)知3練感悟新知 (動(dòng)手操作題，易錯(cuò)題)畫(huà)出圖中ABC的三條 高(要標(biāo)明字母，不寫(xiě)畫(huà)法) 例6知3練感悟新知導(dǎo)引：“作一邊上的高”可看作“過(guò)一點(diǎn)(這邊所對(duì)角 的頂點(diǎn))作已知直線(這邊所在直線)的垂線”

11、 按照“過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線”進(jìn)行作圖， 頂點(diǎn)與垂足之間的線段即為該邊上的高；需注 意AB， BC邊上的高在三角形的外部，作高時(shí) 先延長(zhǎng)AB與CB.知3練感悟新知解：如圖所示知3講總 結(jié)感悟新知(1)作三角形的高時(shí)，找準(zhǔn)頂點(diǎn)和對(duì)邊是關(guān)鍵，作高的 步驟就是“過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線”的步驟： 一靠(三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上)、 二找(移動(dòng)三角尺使另一條直角 邊通過(guò)要作高的頂點(diǎn))、三畫(huà)線 (畫(huà)垂線段)，如圖.(2)注意：高是線段，垂線是直線知3練感悟新知 (動(dòng)手操作題)如圖，在32的正方形網(wǎng)格中， 小正方形的邊長(zhǎng)為1，以圖中A，B，C，D， E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，面積為1的三 角形

12、有哪些？ 例7知3練感悟新知 導(dǎo)引：首先要清楚以五點(diǎn)中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有 多少個(gè)，注意C，D，E三點(diǎn)在一條直線上，不 能組成三角形；再?gòu)倪@些三角形中找出面積為 1的三角形；而要找面積為1的三角形，根據(jù)這 些三角形的特征，實(shí)質(zhì)上是要找底為1，高為2 和底為2，高為1的所有三角形知3練感悟新知 解：以A，B，C，D，E中的三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有 ABC，ABD，ABE，ACD，ACE， ADE，BCD，BCE，BDE其中面積 為1的有ABC，ADE，BCE，ACD.知3講總 結(jié)感悟新知(1)三角形的面積與高是密不可分的，只要涉及三角 形的面積就要聯(lián)想到高，因?yàn)槿切蔚拿娣e等于 底與高乘積的一半；

13、(2)解答本例的關(guān)鍵是找準(zhǔn)底和高，注意鈍角三角形 中大于90的角的兩邊上的高在三角形外部，這 是難點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)知3練感悟新知 如圖，AEEC于點(diǎn)E，CDAD于點(diǎn)D，AD交 EC于點(diǎn)B.（1）ABC的邊BC上的高為_(kāi)， 邊AB上的高為_(kāi). （2）若AB=5，BC=2，CD= ，則AE= _ .導(dǎo)引：（1）緊扣“三角形高的定義”進(jìn)行判斷. （2）分別以BC，AB為底邊計(jì)算ABC的面積， 列式求解. 例8知3練感悟新知解：(1) ABC是鈍角三角形，由鈍角三角形高的定義和位置可知， 組成鈍角的兩條邊上的高在三角形的外部， 故邊BC上的高為AE，邊AB上的高為CD. (2)因?yàn)镾ABC= BCAE=

14、 ABCD，所以 2AE= 5 ，所以AE= .答案：（1）AE；CD （2）知3講總 結(jié)感悟新知 求三角形的面積聯(lián)想三角形的高，求三角形的高聯(lián)想三角形的面積是解三角形問(wèn)題中常用的思想方法之一用同一個(gè)三角形不同的面積表達(dá)式建立求線段長(zhǎng)度的等量關(guān)系是一種很重要的數(shù)學(xué)方法等積法知3練感悟新知操作：1. 分別畫(huà)出圖中各個(gè)三角形三條邊上的高.2. 任意畫(huà)一個(gè)三角形，畫(huà)出三邊上的中線.再任意畫(huà)一 個(gè)三角形，畫(huà)出三角形三個(gè)角的平分線.知3練感悟新知一個(gè)三角形中共有幾條角平分線，它們是否交于 一點(diǎn)？同樣，各有幾條中線、幾條高，它們是否 各交于一點(diǎn)？知3練感悟新知1 (中考長(zhǎng)沙)過(guò)ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以 下作法正確的是()知3練感悟新知2 下列說(shuō)法中正確的是() A三角形的三條高都在三角形內(nèi) B直角三角形只有一條高 C銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi) D三角形每一邊上的高都小于其他兩邊定義知4講感悟新知知識(shí)點(diǎn)4 像這樣能明確界定某個(gè)對(duì)象含義的語(yǔ)句叫做定義.今后我們還會(huì)學(xué)習(xí)許多定義. 知4練感悟新知1 下列不屬于定義的是()A兩點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度叫做這