1、專題14平行線分線段成比例閱讀與思考平行線分線段成比例定理是證明比例線段的常用依據(jù)之一，是研究比例線段及相似形 的最基本、最重要的理論.運用平行線分線段成比例定理解題的關(guān)鍵是尋找題中的平行線.若無平行線，需作平 行線，而作平行線要考慮好過哪一個點作平行線， 一般是由成比例的兩條線段啟發(fā)而得.此 外，還要熟悉并善于從復(fù)雜的圖形中分解出如下的基本圖形：例題與求解【例1】如圖，在梯形ABCm，AD/ BG AD= a , BO b , E, F分別是AR BC的中點， 且AF交BE于P, CE交DF于Q,則PQ的長為.（上海市競賽試題）解題思路：建立含PQ的比例式，為此，應(yīng)首先判斷 PQ與AD（或B

2、Q的位置關(guān)系，關(guān)鍵是從復(fù)雜的圖形中分解出基本圖形，并能在多個成比例線段中建立聯(lián)系【例2】如圖，在 ABC中,D, E是BC的三等分點，M是AC的中點，BM庚AR AE于 G, H,則 BG： GH HM于（）A. 3 ： 2 ： 1B. 4 ： 2 ： 1C. 5 ： 4 ： 3D, 5 ： 3 ： 2（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：因題設(shè)條件沒有平行線，故須過 M作BC的平行線，構(gòu)造基本圖形.【例3】如圖，UABC葉，P為對角線BD上一點，過點P作一直線分別交BA BC的延 長線于Q, R,交CD, AD于S, T.求證：PC?PT= PR中S（吉林省中考試題）解題思路：要證PQ?PT=

3、 PR妥S,需證詈=PR,由于PQ PT, PR, PS在同一直線上，故不能直接應(yīng)用定理，需觀察分解圖形.【例 4】梯形 ABCg, AD/ BQ AB= DC（1）如圖1,如果P, E, F分別是BQ AC, BD的中點，求證：A五PE+ PF；（2）如圖2,如果P是BC上的任意一點（中點除外），PE/ AB, PF/ DG那么AB= PE+ PF這個結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由.（上海市閔行區(qū)中考試題）解題思路：（1）不難證明；對于（2）,先假設(shè)結(jié)論成立，從平行線出發(fā)證明AB= PE+pf，即要證明ai+m，將線段和差問題的證明轉(zhuǎn)化為與成比例線段相關(guān)問題的證明.【例

4、5】如圖，已知AB/ CQ AD/ CE, F, G分別是AC和FD的中點，過G的直線依次 交 AB, AR CR CE于點 M N P, Q求證：MmPO 2PN解題思路：考慮延長BA, EC構(gòu)造平行四邊形，再利用平行線設(shè)法構(gòu)造有關(guān)的比例式（浙江省競賽試題）【例6】已知： ABO任意三角形.（1）如圖1,點M, P, N分別是邊AB, BC, CA的中點，求證：/ MPNt /A；（2）如圖2,點M N分別在邊AB, AC上，旦旦=】，幽=1 ,點Pi, P2是AB 3 AC 3邊BC的三等分點，你認(rèn)為/ MPN+ /MPN= /A是否正確？請說明你的理由；（3）如圖3,點M N分別在邊AB

5、, AC上，且Pi, P2,，Ao9是邊BC的2010等分點, 則/MPN+ /MPN+- +/ MP0o9N=.（濟南市中考試題）解題思路：本題涉及的考點有三角形中位線定理、平行四邊形的判定、相似三角形的 判定與性質(zhì).能力訓(xùn)練1.設(shè) K=abc abc abc（鎮(zhèn)江市中考試題）BC 21, 2Ap EB,則 EF=2.如圖,AD/ EF/ BC,AD= 15,C F第4題第5題B陣3MC AD= DM 貝U BD： DNk（杭州市中考試題4.如圖，ABCM正方形，E, F是AB,EG: GH: HC=BC的中點，連結(jié)EC交DBB交DF于G, H,（重慶市中考試題5.如圖，在正 ABC的邊BQ

6、 CA上分別有點E, F,且滿足BE= C曰a , E捻FA= b （ab）,當(dāng)BF平分AE時，則與的值為（C.工2D.工26.如圖， ABC中，AD是BC邊上的中線， 結(jié)CF并延長交AB于E,貝U AE: EB等于（）F是AD上的一點，且AF： FD= 1 : 5,連A. 1 ： 101 ： 91 ： 81 ： 7則PC等于BP= 4, AB= 8,)7.如圖，PQ/ AB,PO 6,A. 4B. 8C.12D.16（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.如圖，EF/ BQ FD/ AB, BD= 3 BC,貝U BE： EA等于()53 ： 52 ： 52 ： 33 ： 2. （1）閱讀下列材料，補全證

7、明過程.已知，如圖，矩形 ABC時，AG BD相交于點O, OELBC于E,連結(jié)DE交OC于點F,作FGL BC于G求證：點G是線段BC的一個三等分點.（2）請你依照上面的畫法, 不寫畫法及證明過程）在原圖上畫出BC的一個四等分點.（要求：保留畫圖痕跡,（山西中考試題）E為AB邊的中點,10.如圖，已知在UABCM,AF= 1 FD,2FE與AC相交于G.求證：A五1AC11.(1)如圖,求證:5梯形 ABC時，AD/ BQOE= OF；EF經(jīng)過梯形對角線的交點O,且 EF/ AD求OE+ OE的值;AD BC求證:工+AD1 _ 2BC EF（宿遷市中考試題）12.如圖,四邊形ABCD1梯形

8、，點E是上底邊AD上的一點,CE的延長線與BC的延長線交于點F,過點E作BA的平行線交CD的延長線于點M MBW AD交于點N.求證：/ AF* / DME（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.如圖，工地上豎立著兩根電線桿 AB, CR它們相距15cmi分別自兩桿上高出地面4m, 6m的A, C處，向兩側(cè)地面上的E, D和B, F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿，那么鋼絲純AD與BC的交點P離地面的高度為B.如圖，UABCD勺對角線交于。點，過O任作一直線與CD BC的延長線分別交于F, E點.設(shè) BC= a, C* b , C曰 c ,則 CE=（黑龍江省中考試題）.如圖，D, F分別是 ABC邊AB,

9、 AC上的點，且AD： DB= CF： FA= 2 : 3,連結(jié)DF交BC邊的延長線于點E,那么EF： F*（“祖沖之杯”邀請賽試題）.如圖，設(shè) AF= 10, FB= 12, BD= 14, DC= 6, CE= 9, EA= 7,且 KL/ DF, LM/ FE,MIN/ ER WJ EF： FD=（江蘇省競賽試題） TOC o 1-5 h z .如圖，AB/ EF/ CR已知A五20, C* 80,那么EF的值是（）A. 10B. 12C. 16D. 18（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.如圖，CE; CF分別平分/ ACB /ACD AE/ CF, AF/ CE,直線 EF分別交 AB, AC

10、 于點M N.若B最a , A最b , A五c ,且c a b ,則EM勺長為（）A.ab（山東省競賽試題）.如圖，在UABCD勺邊AD延長線上取一點F, BF分別交AC與CD于E, G.若EF= 32, G曰24, WJ BE等于（）48101216（美國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）.如圖，在梯形ABCg, AB/ CR AB-3CR E是對角線AC的中點，直線BE交AD于點F,則AF： FD的值是（）253D. 1（黃岡市競賽試題）9.如圖,P是梯形ABCD勺中位線直線 CDT E, F.求證：MNNP_ 1 AE BF()2 EP FP（寧波市競賽試題）.如圖，在四邊形ABC，AC與BD相交于Q直線l平行于BD且與AB, DQ BQAD及AC的延長線分別交于點 M N, R, S和P.求證：PM- PN= PR - PS.（山東省競賽試題）.如圖，AB BC, CDL BQ B, D是垂足，AD和BC交于E, EF BD F.我們可以證明： 工=工成立（不要求證出）.以下請回答：若將圖中垂直改為 AB/ CD/ AB CD EFEF,那么，（1） 工=工還成立嗎？如果成立，請給出證明；如果不成立，請說明理由. AB CD EF（2）請找出Sa ABD, Sa be而Sa bdcB關(guān)系式，并給出證明.(黃岡市競賽試題).在RtzXA