1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題解答一教材第一章1.1寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間：某籃球運(yùn)動員投籃時，連續(xù)5次都命中，觀察其投籃次數(shù)。以該運(yùn)動員直至連續(xù)5次投籃命中時的投籃次數(shù)為樣本點，Q=5,6,7,-o擲一顆勻稱的骰子兩次，觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和。以兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為樣本點，0=2,3,12,也可以前后兩次出現(xiàn)點數(shù)的排列為樣本點，則Qr=(a,b):a,b=l,2,-.,6o觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)。以該醫(yī)院一天內(nèi)來就診的人數(shù)為樣本點，Q=0,1,2,。從編號為1,2,3,4,5的五件產(chǎn)品中任意取出兩件，觀察取出哪兩件產(chǎn)品。以抽出的兩件產(chǎn)品的編號形成的組合(不計抽中的次序)為樣本點，Q1=

2、(a,b):lab5,a,b=l,2,-,5；若兩個產(chǎn)品是依次抽取的，它們的編號按抽中的順序形成一個排列，以此排列作為樣本點，則Q2=(a,b):a,b=l,2,3,4,5o檢查兩件產(chǎn)品是否合格。一件產(chǎn)品合格記為G,不合格記為B。以兩件產(chǎn)品各自的合格與否的狀況形成的排列作為樣本點，則Q=(GG),(GB),(BG),(BB)o觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設(shè)最低氣溫不低于T，最高氣溫不高于E)。以該地一天內(nèi)的最低氣溫與最高氣溫形成的排列作為樣本點，則Q=(x,y):xyI；oC7)在單位圓內(nèi)任取兩點，觀察這兩點間的距離。以兩點間的距離作為樣本點，則0=0,2)。若以兩點的坐標(biāo)形成的排列

3、作為樣本點，則。2=(兀，)，(，丫2)：+父Vl,i=l,2。(8)在長為1的線段上任取一點，該點將線段分成兩段，觀察兩線段的長度。若以兩線段的長度形成的排列作為樣本點，則霸=(11，1-1)：011。若以該點的坐標(biāo)作為樣本點，則G?=O,1。1.2設(shè)AB,C為三事件，用AB,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：A與B都發(fā)生，但C不發(fā)生。ABCA發(fā)生，且B與C至少有一個發(fā)生。A(BUC)AE,C中至少有一個發(fā)生。AUBUCAE,C中恰有一個發(fā)生。(ABC)U(ABC)U(ABC)AE,C中至少有兩個發(fā)生。(AB)U(AC)U(EC)AE,C中至多有一個發(fā)生。(AB)U(AC)U(BC)=(B)n(A

4、C)n(BC)=(AB)U(AC)U(BC)C7)AE,C中至多有兩個發(fā)生。ABC(8)AE,C中恰有兩個發(fā)生。(ABC)U(ABC)U(BC)1.3設(shè)樣本空間Q=x|0 x2,事件A=x|0.5xl,B=x|0.8x1.6,具體寫出下列各事件：ABA-BABAUBAB=(0.8,1A-B=0.5,0.8A-B=0,0.5)U(0.8,2AUB=0,0.5)U(1-6,21.7若W表示昆蟲出現(xiàn)殘翅，E表示有退化性眼睛，且P(W)=0.125,P(E)=0.075,P(WE)=0.025。求卜冽事件的概率：昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛；P(W|JE)=P(W)+P(E)-P(WE)=0.125+0.

5、075-0.025=0.175.昆蟲出現(xiàn)殘翅，但沒有退化性眼睛：P(WE)=P(W)-P(WE)=0.125-0.025=0.1.昆蟲未出現(xiàn)殘翅，也無退化性眼睛。P(WE)=P(WUE)=1-P(WIJE)=1-0.175=0.825。1.8設(shè)A和B是兩個事件，P(馮=0.6,P(B)=0.8。試問：在什么條件下P(AB)取到最人值，最大值是多少？在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因為ABuAABuB,故P(AB)niinP(,P(B),P(AB)的最大值為06。當(dāng)AB=A即AuE時可達(dá)到此最人值。因為P(AB)=P(+P(B)-P(AUB),故當(dāng)P(AIJB)達(dá)到最大值時P

6、(AB)達(dá)到最小值。P(AUB)最大值為1,所以PfAB)的最小值為04。當(dāng)AUB=Q時可達(dá)到。19設(shè)P(Q=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,P(AB)=0,P(AC)=0.1,P(BC)=0.2,求事件AB,C中至少有一個發(fā)生的概率。解：因為ABCuAB,所以0P(ABC)P(AB)=0。因此，P(AUEUC)=P(Q+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(_ABC)=0.2+03+0.5-0-0.1-0.2+0=0.7.1.10計算下列各題：設(shè)P(丹=0.5,P(B)=0.3,P(AljB)=0.6,求P(AB):設(shè)P(丹=0.8,P(A-B)=0.4,求

7、P(忑)：設(shè)P(AB)=P(AB),P(舛=0.3,求P(B)o解：(1)P(AB)=P(-P(AB)=P(刃-P(舛+P(E)-P(AUE)=0.6-0.3=0.3P(B)=1-P(AB)=1-P(-P(A-B)=1-0.4=0.6.因為P(_AB)=P(麗)=1P(A|JB)=1-P(刃+P(E)P(_AB),所以P(B)=1-P(=0.7o1.12擲一顆勻稱的骰子兩次，求前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為3,4,5的概率各是多少？解：以兩次擲得的點數(shù)的排列作為樣本點，則樣本空間為G=(bb):a,b=l,2，,6,其中共包拾36個樣本點。根據(jù)經(jīng)驗假定各基本事件發(fā)生的概率相等。記A為“兩次擲得的點數(shù)

8、之和為1”。因為A=(1,2),(2,1),故P(A)=W=J3oloTOC o 1-5 h z31因為爲(wèi)=(1,3),(2,2),(3,1),故P(A)=-361241因為A=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),故P(A)=o369習(xí)題集第一章3.一個工人生產(chǎn)了n個零件，以事件A表示“他生產(chǎn)的第1個零件是正品”(lGSn)。用A表示卞列事件：(1)沒有一個零件是次品；C)至少有一個零件是次品；riA=UAi=li=l(3)僅僅有一個零件是次品；UAna1=1(4)至少有兩個零件不是次品。U(A令)5.設(shè)P(丹=a,P(B)=b,P(AUB)=Co求P(_AB),P(AB),P(麗

9、)。解：P(AB)=P(丹+P(E)-P(A|JB)=a+b-c;P(AB)=P(刃-P(AB)=a-(a+b-c)=c-b;(=P(AUB)-P(B)P(AB)=1-P(A|JB)=l-c.8.對任意事件A,B,證明：P(B)P(AUB)P(P(B)o證明：記a=P(AB)o因為P(AB)P(AUB)-P(A)P(B)=aP(AB)+P(BA)+a-P(AB)+a玖BA)+a=-P(A)P(eA)0,P(AB)P(AUB)-P(P(B)或者=aP(+P(B)-a-P(P(B)=-P(-aP(B)-a|/Nn。24.上題中這些號碼按上升次序（不一定嚴(yán)格）排列的概率。解：以摸出的n個球的編號的排

10、列作為樣本點，則樣本空間包含N個樣本點。假定每個基本事件的發(fā)生概率相等。記A為“摸出的n個號碼按升序排列”，記兀為編號為i的球被抽中的次數(shù)，i則A中的樣本點數(shù)與方程+Xg+=n兀=0丄N+n-l的整數(shù)解個數(shù)一樣多，也與21題（2）中的樣本空間中的樣本點數(shù)一樣多，為。I11丿N+11-1、因此，P（刃=_-ONn28.某班有N個士兵，每人只有一支槍，這些槍外形完全一樣。在一次夜間緊急集合中，若每人隨機(jī)地取走一支槍，問至少有一人拿到自己的槍的概率。解：假如將槍編上1N的號碼，那么N個士兵隨機(jī)拿槍的過程可視為他們每人依次不放回地從1N個號碼中隨機(jī)抽取一個號碼。第1個士兵有N種抽法，第2個有N1種抽法

11、，所有人共有N!種拿法。假定每種拿法等概率。記A為事件“第】個士兵拿到了自己的槍S,N。則P(A)=(N-l)!_1N!一Np（AA）=(N-2)!N!j,N;P（4令4）=（N_；）!,i,j,k互不相同;因此,p（UIiA）p-Sp（AA）+（-i）gp（ft】A）2!3!i=llijNN（N-l）!（N-2）!+.+（_）nt廠N、1Na丿N!N!&丿N!+（-1）2今（-1嚴(yán)i=!i!甲有n+1個硬幣，乙有n個硬幣，雙方投擲之后進(jìn)行比較。求甲擲出的正面數(shù)比乙擲出的正面數(shù)多的概率。解：一枚硬幣擲得正面記為H,擲得反面記為To將甲乙兩人的硬幣編上1n+1,n+22n+l的號碼，以12n+l

12、號硬幣擲得的結(jié)果對應(yīng)的長度為2n+l的由H、T兩個字母組成的有序字串作為樣本點，則樣本空間共含24個樣本點。假定每個基本事件發(fā)生的概率相等。記A為事件“甲擲出的正面數(shù)大于乙”，B為事件“甲擲出的反面數(shù)大于乙”。設(shè)6WGA,若將血中的每個H換成T、每個T換成H,得CO,則顯然厲WB；反之亦然。所以P(=P(B)o再考慮A：“甲擲出的正面數(shù)小于等于乙”，這等價于甲擲出的反面數(shù)大于乙”，即B。所以P(=P(B)O因此，1=P(刃+P(可=2P(B)=P(=P(B)=l/2o假設(shè)甲、乙兩人輪流擲硬幣，先擲出正面者勝。讓甲先擲。試求出甲、乙獲勝的概率。解：假定甲乙擲的是同一枚硬幣，一次擲得正面的概率為p

13、,擲得反面的概率為q，p+q=lo假定每次擲硬幣都是獨(dú)立進(jìn)行的。記H,為“第1次擲得正面”，記W為事件“恰好在擲第1次硬幣后分出勝負(fù)”，i=1,2,。則由獨(dú)立性假定知，P0Y)=P(H1.Hi_1H1)=q11p,i=1,2,因此，8COp1P仲勝)=P(工)=工PP+q2p+q4p+-=-t=-、苗苗1-T2-pP(乙勝)=1-宀尹._q_2-p一個II袋里有3個白球5個黑球，甲、乙兩人依次取出一球，記錄下顏色后放回。規(guī)定誰先取得白球誰獲勝。甲先取。問甲、乙獲勝的概率各為多大？解：上題中取p=3/8=0.375,q=5/8=0.625,即可算得P（甲勝2吉=品呂P（乙勝）4吉洛34.從110

14、0共100個正整數(shù)中任取一數(shù)，在已知該數(shù)為3的整數(shù)倍的條件下，試求該數(shù)能被5整除的概率。解：以取出的數(shù)為樣本點，樣本空間為1100中的100個正整數(shù)組成的集合。假定每個基本事件發(fā)生的概率相等。記A為取出的數(shù)為i的倍數(shù)，i=3,5。由古典概型的概率計算方法知：Pg*著p（AA）=侖，所以p(AIA)=P(AA)一6_2P(4)331135設(shè)P(0o證明P(B|1-P(B)/P(o證明：P(B|=1-P(B|=1-1-P(B)/P(37.設(shè)事件A,B,C滿足P(ABC)H0,P(C|AB)=P(C|B)0證明P(A|BC)=P(A|B)o證明:P(C|AB)=P(C|B)=P(ABC)P(AB)P

15、(BC)P(B)P(ABC)P(BC)P(AB)P(B)=P(A|BC)=P(A|B).38.證明：若事件A,B,C相互獨(dú)立，貝ijAB,AIJB,A-B與事件C相互獨(dú)立。證明：由A,B,C相互獨(dú)立可知，P(ABC)=P(P(B)P(C),P(AB)=P(P(B),因此P(ABC)=P(AB)P(C),即得AB與C相互獨(dú)立。P(AUB)C)=P(AC)U(BC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(刃P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)=P(AUE)P(C),因此，AIJB與C相互獨(dú)立。P(A-B)C)=P(ACB)=P(AC-B)=P(AC)-P(ACB)=P(P(C)-P(

16、AB)P(C)=P(A-B)P(C),因此，A-B與C相互獨(dú)立。40設(shè)A,B,C相互獨(dú)立，且P(AB)H0,證明P(C|AB)=P(C)。證明：由38題知，P(ABC)=P(AB)P(C),再由條件概率的定義即得本題結(jié)論。41.若0VP(馮VI,且P(B|=P(B|A|，證明事件A和事件B相互獨(dú)立。解：由條件概率的定義可知P(AB)_P(AB)_P(B)-P(AB)P(A)P(A)l-P(刃=P(AB)-P(AB)玖舛=P(P(B)-P(AB)=P(AB)=P(P(B)因此，由獨(dú)立性定義知，A與B相互獨(dú)立。43.統(tǒng)能正常工作的概率，并判斷哪一個系統(tǒng)為優(yōu)。解：假定各元件是否正常工作相互獨(dú)立。用A

17、，耳表示相應(yīng)的元件正常工作。那么，第(1)有兩個系統(tǒng)的電路，其中元件A，B，i=l，2，的可靠性都為r，0r1求這兩個系(1)個系統(tǒng)能正常工作的概率為p1=p(A-A)U(B1.-Bn)=p(A-Al)+P(Bi-Bn)-P(A-AlB1-Bn)=flP(A)riPCBi)-HP(A)flP(Bx)i=li=li=li=l=2rn-r2n=rn(2-rn).第(2)個系統(tǒng)能正常工作的概率為P2=p(a(AUBj)=fjp(AUBji=li=l=Hp(A)+p(b1)-p(ab1)i=l=(2r-r2)n=rn(2-r)n.VOr1,Vn,有Pil時，p】p?。44.有四個II袋，內(nèi)裝白球和黑球

18、，數(shù)目以“(白球數(shù)，黑球數(shù))”記之，分別為：(1,2),(2,1),(2,2),(3,1)。今從每個口袋中各取一球，求恰取得2個白球的概率。解：整個隨機(jī)試驗可視為由從第1,2,3,4個【I袋中依次摸取一球四個步驟組成，各步驟之間相互獨(dú)立。記W為事件“從第1個II袋中取出白球”，A為事件“恰好取得2個白球”。顯然a=假定試驗的各個步驟均是從對應(yīng)門袋的所有球中等町能地隨機(jī)取出一球。因此,P0Y)=l/3,P他)=2/3,P()=1/2,卩他)=3/4。再由試驗各步驟的獨(dú)立性假定知，P(WW)=POY)P(Wj)P()P()=2/72,=P回)P()PQP他)=6/72.所以,p(刃=poyww)+

19、TOC o 1-5 h z2134126287=11F11=.727272727272721845.從0X2,9中隨機(jī)地取出兩個數(shù)字,求其和大于10的概率。解：假定兩個數(shù)字是不放回抽取的。記A為事件“兩數(shù)之和人于10”，記斗為事件“第一次取得數(shù)字i：i=9。則由全概率公式知1234456+99999993216904591P(Q二工P(A|EJP(BJ=牯i=047.裝有mQ3)個白球和n個黑球的罐子中失去一球，但不知其顏色。今隨機(jī)地再從罐中取出兩個球。如果這兩個都是白球，問失去的球是白球的概率。解：假定是不放回地抽取兩個球的。記A為“失去的是一個白球SB為“抽出的兩個是白球”。則m-l)(1

20、1?212mnP(B|=/7P(B|A)=P(=，P(A)=，m-1+nni-1+n)m+nm+n因此由Bayes公式知,P(A|B)=P(B|刃P(m_m-2P(B|刃P(刃+P(E|可P(可一m+n-248.在生產(chǎn)螺絲釘?shù)墓S里，機(jī)器甲、乙、丙各生產(chǎn)總量的25%,35%,40%,并且在各自的產(chǎn)品里,廢品各占5%,4%,2%。隨機(jī)地從全部產(chǎn)品中任取一只，發(fā)現(xiàn)恰好是廢品。問此廢品為機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率各是多少？解：記A,B,C分別為“抽得的產(chǎn)品是機(jī)器甲生產(chǎn)的”，“是乙生產(chǎn)的”，“是丙生產(chǎn)的”。記F為“抽得的產(chǎn)品是廢品”。由題目條件知1,P(刃=25%,玖E)=35%,P(C)=40%,P(F|Q=5%,P(F|B)=4%,P(F|C)=2%.再由Bayes公式知,P(A|F)=P(F|刃P(A)P(F|A)P(C)+P(FfB)P(B)+P(F|C)P(C)0.25x0.05=0.3623,0.25x0.05+0.35x0.04+0.40 x0.0269P(B|F)=0.4058,69P(CIF)=-=0.2319.49.一學(xué)生參加選擇題的測驗。每一題有5個答案，其中只有一個答案是正確的。如果此學(xué)生明白如何解題，則他必選擇正確答案，否則的話他隨機(jī)地在5個選項中任選1個。假定該學(xué)生能